2023届河北省部分学校高三下学期第一次高考模拟演练数学试题含解析

2023届河北省部分学校高三下学期第一次高考模拟演练数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,由集合的并运算即可求解.

【详解】由于

所以，，所以.

故选：D.

2．已知复数，，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】若，可得复数，都为实数，当时，，充分性不成立；

反之，若取复数，，满足，但此时复数，均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件；

故选：D.

3．若函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.

【详解】由于，所以，故，

故选C.

4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（    ）

A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2

【答案】C

【分析】根据题意，由频率之和为1，可得的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由条件可得，则，故得分的平均数为：.

故选：C

5．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可.

【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，

由室内地面是面积为的圆，故，①对；

且，则，又不全相等，故，②错；

若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；

若，则，故，④对.

故选：B.

6．已知是第三象限角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据是第三象限角，，利用二倍角公式整理得，求得，再利用基本关系求解.

【详解】∵是第三象限角，，

∴，

∴，

解得或(舍去)，

∴，

∴，

故选：A.

7．直线与圆相切，则的最大值为（    ）

A．16 B．25 C．49 D．81

【答案】C

【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.

【详解】由直线与圆相切可得：

圆心到直线的距离等于圆的半径，

即，

故，即点在圆O上，

的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，

由圆心为，

因为，

所以点在圆外，

所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，

即，

所以的最大值为.

故选：C.

8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（    ）

A．144种 B．162种 C．216种 D．288种

【答案】A

【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.

【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，

第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，

剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；

第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，

分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，

从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.

故这三名同学选取图书的不同情况有种.

故选：A.

二、多选题

9．已知函数的最小正周期为，若，则（    ）

A．关于直线对称 B．关于点对称

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AD

【分析】根据辅助角公式化简，利用周期的公式求解，进而根据可判断为的对称轴，即可判断AB,利用对称中心可求解DC.

【详解】由的最小正周期为可得，即，故，

由可得，分别为的最大值和最小值，故关于直线对称，不关于点对称，故A正确，B错误；

由可得，故的对称中心，则，当时，取得最小值，没有最大值，故C错误，D正确.

故选：AD

10．已知双曲线的虚轴长为2，过C上点P的直线l与C的渐近线分别交于点A，B，且点P为AB的中点，则下列正确的是（    ）

A．若且直线l的斜率存在，直线l的方程为

B．若，直线l的斜率为1

C．若离心率，

D．若直线l的斜率不存在，

【答案】BCD

【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A，利用A选项的求解可判断B，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C，根据顶点和渐近线方程可求解D.

【详解】由题意，双曲线.

对于A，若，则，即.

设，，则，，

利用点差法可得，

所以直线l的方程为，即，

所以，即，故A错误；

对于B，若，可得,则，由前面解答过程可知直线l的斜率为，即B正确；

对于C，若离心率，可得.则双曲线，其渐近线方程为，

设，，

直线，令，

则，由A知方程为，

联立方程可得，同理可得，

所以，故C正确；

对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以，

双曲线的渐近线方程为，当时，代入渐近线方程易得A，B两点的纵坐标为，

所以，故D正确；

故选：BCD.

11．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点P，Q，M分别为，，的中点，下列结论正确的有（    ）

A．平面 B．该四棱柱有外接球，则四边形为正方形

C．与平面不可能垂直 D．

【答案】ABC

【分析】根据线线平行即可判断A，利用外接圆的对角互补，则可判断B，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C, D.

【详解】对A，连接，由点P，Q，分别为，可得，

，所以四边形为平行四边形，

则，故，平面,平面,则平面，即A正确；

对B，若四棱柱有外接球，则四边形有外接圆，则对角互补，则为正方形，即B正确；

对C，若平面，平面,则，由可得，与条件矛盾，故与平面不可能垂直，即C正确；

对D，取的中点N，连接，，则，,

平面，平面，平面，，

，则，故与不垂直，即D错误.

故选：ABC.

12．设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当时，，若方程在上恰有个实数解，则（    ）

A．的周期为4 B．在上单调递减

C．的值域为 D．

【答案】AD

【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A、B，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C，画出函数与的图象，数形结合，即可判断D.

【详解】由的图象关于对称可得，

再由为偶函数可得，故，即的周期为4，即A正确；

当时，由，可得在上单调递增，故在上单调递增，即B错误；

又，，故的值域为，即C错误；

在同一坐标系下画出函数与的图象如图所示.

由图可知，要使与在上恰有个不同交点，

只需，即，解得，即的取值范围为，故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知O为的外心，若，且，则__________.

【答案】

【分析】由平面向量数量积公式进行求解.

【详解】由圆的性质可得，，

故.

故答案为：

14．若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为__________.

【答案】

【分析】根据奇函数的性质根据，即可求解.

【详解】依题意，，即,所以，解得，当时，，定义域不关于原点对称，故舍去，

当时，，定义域为，符合要求，故，

故答案为：

15．函数的最小值为__________.

【答案】/

【分析】根据二倍角公式化简，即可求解最值.

【详解】因为，所以当时，，此时的最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．如图，在三棱锥中，，，且，点E，F分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为__________，与所成角的余弦值为__________.

【答案】         

【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.

【详解】

取的中点G，连接，，则，，故或其补角为异面直线与所成的角，

过A作平面于点O，连接，，，则，

又，且，故平面，故，同理可得，

即为的垂心，故，又，，平面，

平面，故平面，故，即与所成角为；

所以，由可得，故，

即异面直线与所成角的余弦值为；

故答案为：①，②.

五、解答题

17．已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）由（1）可得：，利用错位相减法求和.

【详解】（1）设数列的公差为d，

因为是，的等比中项，则，

即，且，

整理得①，

又因为，整理得②

由①②解得，，，

所以.

（2）由（1）知，，

则，

可得，

两式相减得

，

所以.

18．为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为.

(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列列联表；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？

附：，.

【答案】(1)表格见解析

(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关

【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p，再求出男职工中支持养宠物的人数；

（2）根据卡方公式求解.

【详解】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为，则2人中至少有一名支持养宠物是都不支持养宠物的对立事件，

，解得，则男职工中支持养宠物的人数为，

列联表如下：

（2）零假设为：：性别与态度无关联；由于，

∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；

综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.

19．在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使.

(1)若，求的余弦值；

(2)若，求线段的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，由结合余弦定理求解即可求出，在中，由余弦定理即可求出答案.

（2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出，连接，在中，由余弦定理即可求出线段的长.

【详解】（1）因为，，所以，

因为，所以，

设，则，即，

解得，所以，

在中，由余弦定理知，.

（2）在中，由余弦定理知，，

所以，化简得，解得，

因为是的中点，所以，

在中，由余弦定理知，，

所以，

因为，所以，

在中，由余弦定理知，

，

连接，在中，由余弦定理知，

，

所以.

20．如图，在三棱锥中，平面平面，若为等边三角形，为等腰直角三角形，且，点E为的中点，点D在线段上，且.

(1)证明：⊥平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；

（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.

【详解】（1）如图，取的中点G，由可得，

由可得D为的中点，由E为的中点可得为的中位线，

∴，

∴，

∵E为的中点，，

∴，

∵平面平面，且平面平面，PE在面PAC内，

∴平面，而平面，

∴，又，且平面，

∴⊥平面.

（2）以C为原点，CA、CB为x、y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，

设.则，，，，则，，

∴，，，

设平面的一个法向量为，由，解得，

令可得，故，

由（1）可知为平面的一个法向量，

∴，

又平面与平面所成二面角为锐角，故所成二面角的余弦值为.

21．已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，当时，.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.

【详解】（1）  

当时，直线，

与联立消去y，

整理可得，

由得，

即.

设，，

可得，

所以，

由题意可得，准线方程为，

根据抛物线的定义可得，，

所以，

解得，满足，

所以抛物线C的方程为.

（2）  

直线与联立可得

，由得，即或（舍）

设，，则；

直线与联立消去y，

整理可得，

由得，

即或（舍），

故，

设，，

则；

因为，

同理，

所以，

所以由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.

22．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若函数有两个零点，，且，求证：.

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导，判断的单调性，即可求出的极值；

（2）根据极值点的概念整理原不等式可得即，构建新函数，求导，利用导数证明即可.

【详解】（1）的定义域为，当时，，

设，则，

由可得，当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴的极大值为，无极小值；

（2）由可得，即.

设，则.

由可得，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减.

∴有极大值，当时，，当时，.

要使有两个零点，，需有，即.

∵，由比例的性质可得，

即，故，

设，由可得，

设函数，则，

设，则，

∴在上单调递增，故，故，

∴在上单调递增，故，

∴，故，故，即.

【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出，建立关系，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.