2023届山东省淄博实验中学高三第三次模拟考试数学试题含解析

2023届山东省淄博实验中学高三第三次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则为（    ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】C

【分析】先化简集合B，再利用集合的交集和补集运算求解.

【详解】解：因为，则或，

所以或，

或

故选：C

2．设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限  D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数的几何意义求出，即可得出向量的复数在复平面上所对应的点所在象限.

【详解】复平面上表示和的点分别为点A和点B，

则，所以，

所以向量的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.

故选：A.

3．如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，可得，求出的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.

【详解】过点作交半圆弧于点，连接，如图，

而是正三角形，则，令夹角为，

当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是，

显然，，

所以

.

故选：B

4．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．10

【答案】A

【分析】根据对称轴可得或进而根据三角函数的性子即可求解.

【详解】由的图象关于直线对称可得解得或

由，由于在上没有最小值，所以

，又或

所以，

故选：A

5．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（    ）

（参考数据：，，，）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，而圆台一个底面的半径为，再根据球、圆柱和圆台的体积公式即可求解．

【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为（m），而圆台一个底面的半径为（m），

则（m3），

（m3），

（m3），

所以（m3）．

故选：A．

6．若函数是偶函数，则的最小值为（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.

【详解】由为偶函数可得，即，

所以．

因为，且，，所以，

所以，

则，当且仅当，即时，取最小值4．

故选：A

7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（    ）

A．若过点，则的准线方程为 B．若过点，则

C．若，则 D．若，则点的坐标为

【答案】D

【分析】根据直线与横轴的交点坐标、抛物线的定义，结合平面向量数量积的运算性质、根的一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可.

【详解】设，对于A项，若过点，则点的坐标为，所以，

故的准线方程为，故A项正确；对于B项，由A可得的方程为，

与的方程联立，消去并整理，得，则，，

根据抛物线的定义，可得，，．

所以，所以，

故B项正确；

对于C项，将的方程与的方程联立，得，所以，．

设，则，所以，即，

由得，

即，

所以，所以，故C正确；

对于D项，由C知，，所以焦点，故D错误．

故选：D

【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

8．已知在上恒成立，则的最小值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】先将条件转化为在上恒成立，再构造函数，，分，两种情况讨论，再结合导函数分析函数的单调性，进而即可求解．

【详解】在上恒成立，等价于在上恒成立，

等价于在上恒成立，

令，，

当时，则在上单调递增，则若时，，不符合题意；

当时，则，

若时，，此时单调递增；

若时，，此时单调递减，所以，

则，即，

令，，则，

当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

所以，所以，

所以的最小值是．

故选：D．

二、多选题

9．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：

下列说法正确的是（    ）

A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍

B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍

C．产品升级后，产品C的营收减少

D．产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变

【答案】ABD

【分析】根据扇形统计图由产品升级前的营收为，升级后的营收为，结合图中数据即可结合选项逐一求解.

【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为.

对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确.

对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确，

对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收增加，C错误.

产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变，D正确.

故选：ABD

10．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的既不充分也不必要条件

B．命题“，”的否定是“，”

C．若，则

D．的最大值为

【答案】AD

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利用对数函数单调性求出最值判断D作答.

【详解】对于A，“若，则”是假命题，因为，而；“若，则”是假命题，

因为，而，即“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确；

对于B，命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

因此它的否定是“，”，B错误；

对于C，当时，成立，因此成立，不一定有，C错误；

对于D，函数的定义域为，，

而函数在上单调递增，因此当时，，D正确.

故选：AD

11．某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（    ）

A．水的体积为

B．水的体积为

C．图甲中的水面高度为

D．图甲中的水面高度为

【答案】AC

【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可.

【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为，

根据分别为棱的中点，

则，而三棱柱与平行六面体的高相同，

则，

根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则

易知，

则，故A正确，B错误，

图甲中上方的小四棱锥高为,则，则，

故图甲中的水面高度为，故C正确,D错误；

故选：AC.

12．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（    ）

A．存在旋转函数

B．旋转函数一定是旋转函数

C．若为旋转函数，则

D．若为旋转函数，则

【答案】ACD

【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.

【详解】对A，如满足条件，故A正确；

对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；

对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得.

当时，最多1个解，满足题意；

当时，的判别式，对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确；

对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数.

又，故，即恒成立.

即图象在上方，故，即.

当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知，则______.

【答案】2

【分析】利用赋值法计算即可.

【详解】由，

令，则，

令，则，

∴.

故答案为：2.

14．等差数列，则数列的前101项之和________

【答案】-99

【详解】

故答案为：

15．如图为三棱锥的平面展开图，其中，，垂足为，则该三棱锥的体积为______．

【答案】

【分析】根据几何体平面展开图得到其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】由三棱锥的平面展开图可得其直观图如下：

其中，，，，

又，平面，所以平面，

所以，

故答案为：

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），．若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为_____

【答案】

【分析】根据，可得关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根据，可得四边形为矩形，再求出的坐标，求出，再利用余弦定理构造齐次式即可得解.

【详解】设双曲线的焦距为，因为，所以，所以关于原点对称，又，所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为，

不妨设所在的渐近线方程为，则，

由，解得或，不妨设，

因为为双曲线的左顶点，所以，

所以，

又，由余弦定理得，

即，整理得，

所以离心率．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.

四、解答题

17．在中,.

(1)求;

(2)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积.

条件①:;

条件②:;

条件③:.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可;

（2）结合正弦定理和余弦定理求解即可;

【详解】（1）由正弦定理得,

得,

,

因为,

所以

则.

所以,

所以.

（2）选条件①:

因为,

由正弦定理得,

由余弦定理得,

解得，

则,

解得，

所以存在且唯一确定,

则.

选条件②:,

已知

由正弦定理得,

因为,

所以,,

所以存在且唯一确定,

则.

选条件③:,

由余弦定理得,

即,

所以,即,

因为,

所以不存在使得存在.

18．已知等差数列满足，成等比数列，且公差，数列的前n项和为．

(1)求；

(2)若数列满足，且，设数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据成等比数列，列出方程，求出公差，得到答案；

（2）由题干条件得到，推导出，求出，列出不等式，得到，作差法求出的单调性，得到最值，求出答案.

【详解】（1）因为数列为等差数列，，成等比数列，

所以，

因为，所以，

所以．

（2）因为，

所以，

两式相减得，所以．

所以，

所以，

所以．

因为对任意的，都有，

所以，所以．

令，

则，

所以当时，递增，

而，所以，

所以．

19．在四棱锥中，平面平面，，为的中点.

(1)求证：；

(2)若，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明；（2）由边长关系，根据勾股定理证明得，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标和相关向量的坐标，设，利用空间向量的夹角公式，根据直线与平面的夹角列式计算点的坐标，求解平面的法向量，再利用点到平面的距离公式列式求解距离即可.

【详解】（1）∵，为的中点，∴

又∵平面平面，平面平面，

∴平面，又平面，

∴

（2）由，，

可知四边形为等腰梯形，易知，

∵，∴

建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，

平面的法向量为，

设，则，

，，

∵直线与平面所成角为，

∴，

∴①

∵点在棱上，∴，

即，

∴，，代入①解得或（舍去）.

， ，，

设平面的法向量为，

，

令，得，，

所以点到平面的距离

【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20．飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

附:，其中.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；

(2)先求 再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因.

【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，

按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.

随机变量的取值为:.

,

,

随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.

（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.

根据列联表重的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，

根据小概率值的独立性检验，推断成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.

21．已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．

(1)求椭圆方程；

(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率确定椭圆中的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得的值，从而求得椭圆方程；

（2）由题可设直线，，，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可得，，再由已知等式确定，由坐标关系进行转化可求得的值，求解面积的表达式，结合函数性质即可得面积的取值范围．

【详解】（1）根据椭圆C的离心率为知，所以，如图，则

则在中，可得，，

由正弦定理得，

解得，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）由条件知直线的斜率不为0，

设直线，，，

联立，得，得

于是，，

因为，，代入椭圆方程得，

所以，

同理，于是，，

因为，所以，

即．

又直线l的斜率存在，所以，于是，

所以，即，

又，，

所以，

整理得，

所以，

化简整理得，

又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，

所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，

于是直线l恒过定点．

当时，，，

的面积

 ，

令，因为直线l的斜率存在，则，，

于是，

又函数在上单调递减，

所以面积的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆相交的坐标关系，利用坐标运算解决直线斜率关系及面积关系.解决本题的关键是确定直线直线、、、之间的斜率关系，结合椭圆上的任意一点与左右顶点之间的斜率关系，可将四个斜率值简化为两个斜率关系，即可减少位置数，从而利用坐标运算及坐标关系确定所设直线过定点，于是简化所求面积表达式中的变量个数从而可结合函数关系确定取值范围，得以解决问题.

22．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最大值；

(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)，理由见解析

【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；

（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；

（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.

【详解】（1）因为，

所以，则，又，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）令，

则，当时，，在上单调递增.

因为，，

所以，使得.

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又，，

所以.

（3）满足条件的的最大整数值为.

理由如下：

不等式恒成立等价于恒成立.

令，

当时，，所以恒成立.

当时，令，，，

与的情况如下：

所以，

当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，

所以的值域为，

因为，所以的最小值小于且大于.

所以的最大整数值为.