2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三第六次模拟考试数学（文）试题含解析

2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三第六次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据Venn图，由集合运算可解.

【详解】由题意，而阴影部分为.

故选：C

2．复数的虚部为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可判断其虚部.

【详解】，所以复数的虚部为.

故选：A

3．已知命题；命题，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别对命题进行真假性的判断，即可判断“或”命题以及“且”命题的真假性.

【详解】对于，故命题为假命题，当时，满足，故命题为真命题，

所以为假命题，为假命题，为真命题，为假命题，

故选：C

4．下列各式中，值为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.

【详解】对于A，，A不符合；

对于B，，B不符合；

对于C，，C符合；

对于D，，D不符合.

故选：C

5．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，的夹角为，，根据得到，得到答案.

【详解】设，的夹角为，，

因为，，

所以，

则，.

故选：B.

6．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.

【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，

第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为；

第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为，

所以表示不同整数的个数为8.

其中表示的数字大于50的有共3个，

所以表示的数字大于50的概率为.

故选：B

7．设是双曲线：的右焦点，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，可得焦点到渐近线的距离等于，再借助点到直线距离公式求解作答.

【详解】设双曲线的半焦距为c，依题意，焦点到渐近线的距离为，

因此，所以双曲线的离心率.

故选：A

8．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】底面圆周长为，计算母线长为，再计算侧面积得到答案.

【分析】底面圆周长为，母线长为，侧面积为.

故选：C

9．1707年Euler发现了指数与对数的互逆关系：当时，等价于.若，，则的值约为（    ）

A．3.2190 B．2.3256 C．3.1775 D．2.7316

【答案】A

【分析】根据已知，利用一些常用对数、对数的运算性质以及换底公式计算.

【详解】，，

故选：A．

10．在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取中点，则所求线面角为，利用勾股定理求得，作比可求得结果.

【详解】取中点，连接

为侧面的中心，平面，

与平面所成角即为，

设正方体棱长为，

则，，，

，

即与平面所成角的余弦值为.

故选：C.

11．已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（   ）

A．10 B．16 C．11 D．26

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可.

【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，

所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．

故选：C

12．若函数，则称f（x）为数列的“伴生函数”，已知数列的“伴生函数”为，，则数列的前n项和（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得数列为等比数列，其首项为，公比也为2，从而可求得，则，从而可表示出，令，利用错位相减法可求出，从而可求得结果

【详解】依题意，可得，所以，即，

故数列为等比数列，其首项为，公比也为2，

所以，

所以，所以，

所以.

令，

则，

两式相减，得，

所以，

所以.

故选：C.

二、填空题

13．已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+x，则f(-1)=_______

【答案】-2

【分析】利用奇偶性得出，即可代入求解.

【详解】函数为奇函数，

，

时，，

，

，

故答案为:.

14．的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.

【答案】/

【分析】根据余弦定理计算，，再根据面积公式计算得到答案.

【详解】，，，则，

解得，，

.

故答案为：

15．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为_________.

【答案】

【分析】先确定球心到面ABCD的距离，再计算球半径即可.

【详解】设球心到面ABCD的距离为，半径为，由矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上可知球心在底面ABCD的投影为矩形的中心，

易得，，

故.

故答案为：

16．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则实数a的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】根据题意转化为对任意的恒成立，令，进而转化为恒成立，得到在恒成立，令，利用导数求得函数为单调区间和最小值，得到，即可求解.

【详解】由对于任意的 ，且，都有，

则对于任意的恒成立，

令，则不等式等价于对于任意的恒成立，

即在区间单调递增，

又由，可得，

则，即在恒成立，

即在恒成立，即在恒成立，

令，可得恒成立，

所以函数为单调递增函数，所以，

则，解得，所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】知识方法：对于已知函数的单调性求参数问题：

（1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立；

（2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立；

（3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解；

（4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解.

三、解答题

17．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;

(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.

【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,

当选①②时:,解得,

所以的通项公式.

选①③时:,解得,

所以的通项公式.

选②③时:,解得,

所以的通项公式.

（2）由(1)知,,

所以,

所以

.

18．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)若点是棱的中点，求证：平面．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，则可证得平面.

(2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明.

【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面.

（2）连接，如图所示：

因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.

19．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：

(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）；

(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．

参考公式：．

参考数据：．

【答案】(1)，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系

(2)12.8万件

【分析】（1）先计算出、的平均值，再结合相关性系数的参考公式计算即可，根据数值得到相关性强弱，

（2）根据公式，计算出关于的回归方程，将代入回归方程即可得到结果.

【详解】（1）由题条件得，

．

，

，

．

与的相关系数近似为，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．

（2），

关于的线性回归方程为．

当时，．

∴当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．

20．已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，

(1)求椭圆的方程；

(2)椭圆左焦点为，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用离心率以及距离之和即可求解，得到椭圆方程.

（2）联立直线与椭圆的方程，得到交点坐标，计算弦长结合点到直线的距离公式即可求解面积.

【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.

（2） 消去，整理得，解得，，

如图

则，，则，

直线的方程为，到直线的距离.

所以的面积为.

21．已知函数.

(1)求的极值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极小值为1，无极大值

(2)

【分析】（1）求导，利用导数求解单调性即可求解极值，

（2）将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，利用导数求解最值.

【详解】（1）由得，

令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，

（2）由恒成立可得恒成立，

记，则，令 ，则，

由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，

因此在上单调递增，且，故当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消参将参数方程转化为直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化的规则将极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）对曲线C和l作几何解释，列方程求解.

【详解】（1）由 得 ， 得，

即曲线C的直角坐标方程为，

由， ，得直线l的直角坐标方程为；

（2）由（1）可知，曲线C是圆心为，半径为3的圆，

因为曲线C与直线l有两个公共点，必有，

解得，即m的取值范围为.

23．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；

（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．

当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，无解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）由，得．

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．