2023届重庆市七校高三三诊数学试题含解析

2023届重庆市七校高三三诊数学试题

一、单选题

1．数集的非空真子集个数为（    ）

A．32 B．31 C．30 D．29

【答案】C

【分析】利用集合中含有个元素，则它的非空真子集个数为即可求解.

【详解】因为集合中含有个元素，

所以集合的非空真子集个数为.

故选：C

2．已知方程在复数范围内有一根为，其中i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点在（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】把代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件可求，再由复数几何意义可求．

【详解】解：因为方程在复数范围内有一根为，

所以，整理得，

所以，

则复数在复平面上对应的点在第二象限．

故选：B．

3．已知是等差数列，是等比数列，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等差、等比中项的性质求得，，进而可得，，代入目标式求正切值即可.

【详解】因为是等差数列，所以，故，则，

因为是等比数列，所以，故，则，

所以.

故选：A

4．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ）

A．15种 B．18种 C．19种 D．36种

【答案】C

【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人；

则不同的选派方法有以下三种：

（1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种，

（2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种；

（3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有

所以，不同的选派方法共有19种.

故选：C

5．在△ABC中，，且点D满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量线性运算和题干条件得到，从而得到.

【详解】由题意得，平方得，

故，

因为点D满足，所以，

平方得，

故.

故选：D

6．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率.

【详解】

如图，取的中点为，连接，

则由题意可得，，

所以相似，所以,

因为直线PQ，PF的斜率之积为，

所以,

设，

则有，两式相减可得，

即，即，

即，所以椭圆的离心率为，

故选:B.

7．已知同时满足下列三个条件：

①当时，的最小值为；

②是偶函数；

③．

若在上有两个零点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由①可得函数的半个周期为，即可求得，由②③可求得，再根据正弦型函数的图象与性质找到两个零点时满足的范围即可.

【详解】由①当时，则分别为最大值与最小值，所以的最小值即为半个周期，，由；

由②是偶函数，所以，

因为，所以或；

由③，则， 所以.

时，，因为在上有两个零点，

根据正弦函数的图象

故选：A.

8．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得D正确；令，代入中即可求得A错误；令，由可推导得到B错误；设，由可知，结合可知，由此可得，知C错误.

【详解】由得：，

，关于中心对称，则，

为奇函数，，左右求导得：，

，为偶函数，图象关于轴对称，

，

是周期为的周期函数，

，D正确；

，，又，

，A错误；

令，则，，

又，，，

即，B错误；

，，

设，则，，

又为奇函数，，，

即，C错误.

故选：D

【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：

①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；

②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.

二、多选题

9．下列判断错误的有（    ）

A．将总体划分为2层，按照比例分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，且已知，则总体方差

B．已知随机变量X服从正态分布，若，则

C．已知线性回归方程，当解释变量增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位；

D．已知随机事件，，则“事件A，B相互独立”是“”的充分必要条件

【答案】AB

【分析】由分层抽样计算公式可判断A；根据可得可判断B；由线性回归意义判断C；由条件概率公式可判断D.

【详解】对于A，设两层数据分别记为、，因为，所以总体的样本平均数为，

所以，，

所以总体的方差

，只有当时，才成立，故A错误；

对于B，随机变量X服从正态分布，可得，若，则，故B错误；

对于C，线性回归方程，当解释变量增加1个单位时，由可得预报变量平均增加2个单位，故C正确；

对于D，由题意，

若事件A，B相互独立，则，

，故，故充分性成立；

若，即，则，

即，故，即与相互独立，所以与相互独立，故必要性成立，则“事件A，B相互独立”是“”的充分必要条件，故D正确.

故选：AB.

10．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】A选项，根据导函数得到函数的单调性，进而得到；B选项，根据条件得到函数图象上凸，画出函数图象，由的几何意义得到；CD选项，结合，结合图象得到答案.

【详解】A选项，根据可得，在R上单调递增，

因为，所以，A正确；

B选项，因为，，且，总有，

所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，

显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，

因为，所以，B正确；

C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

故选：ABD

11．如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱BB、分别交于点F、G，则下列说法中正确的是（    ）

A．当点F为棱中点时，截面的周长为

B．线段长度的取值范围是

C．当点F与点B重合时，三棱锥的体积为

D．存在点F，使得

【答案】ABC

【分析】延长交延长线于，连接，利用比例式及勾股定理计算判断A；用长表示长并求出范围判断B；利用割补法求出体积判断C；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断D作答.

【详解】在直三棱柱中，，，E为的中点，有，

延长交延长线于，连接，如图1，令，

于是，即，由，得，即，

对于A，当点F为棱中点时，，，，

，，

所以截面的周长为，A正确；

对于B，显然在上单调递增，所以，B正确；

对于C，当点F与点B重合时，如图2，，，，三棱锥的体积：

，C正确；

对于D，以点C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，则，

，，显然与不垂直，

因此不存在点F，使得，D错误.

故选：ABC

12．若抛物线C：，过焦点F的直线交C于不同的两点A、B，直线l为抛物线的准线，下列说法正确的是（    ）

A．点B关于x轴对称点为D，当A、D不重合时，直线AD，x轴，直线l交于一点

B．若，则直线AB斜率为

C．的最小值为

D．分别过A、B作切线，两条切线交于点M，则的最小值为16

【答案】ACD

【分析】求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，设直线的方程为，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理逐项分析、计算判断作答.

【详解】抛物线C：的焦点，准线，显然直线不垂直于轴，

设直线的方程为，，由消去x得：

，于是，

对于A，点，准线交轴于点，则，

有，

即得，因此点共线，即直线AD，x轴，直线l交于一点，A正确；

对于B，

，解得，

直线的斜率，B错误；

对于C，由选项B知，

，当且仅当，即时取等号，C正确；

对于D，显然抛物线C在点A处的切线斜率存在且不为0，设此切线方程为，

由消去x得：，则，

解得，同理抛物线C在点B处的切线斜率，显然，

于是，因此，

当且仅当时取等号，D正确.

故选：ACD

【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.

三、填空题

13．若点在角的终边上，则__________．

【答案】/

【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.

【详解】因为点，即在角的终边上，且，

所以，则.

故答案为:

14．已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是____________．

【答案】

【分析】由求出点的轨迹，再求出该轨迹与圆有公共点的a的范围作答.

【详解】设点，则，而，

则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，

因为点在圆，即圆与圆有公共点，

而圆的圆心为，半径为1，

因此，即，解得或，

所以实数a的取值的范围是.

故答案为：

15．已知的展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，则的展开式中的系数为____________．

【答案】

【分析】根据题意，求出的值，然后将看成和两项，利用二项式展开式的通项公式即可求解.

【详解】由题意可知：，则，

因为，解得，

则， 的展开式中的系数在中，因为的展开式中的系数为，

所以的展开式中的系数为,

故答案为：.

四、双空题

16．数学家康托（）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列表示第次操作后余下的区间段长度.

（1）_______________；

（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是________________.

【答案】     ；     .

【分析】由题意直接求出，，，.归纳出数列为等比数列，求出.利用分离常数法得到.记，判断出单调性，求出最大，即可求出的取值范围.

【详解】由题意可知：，，，.

所以.

所以数列为首项，公比的等比数列，所以.

因为，都有恒成立，且，所以恒成立，只需

记，显然，.

所以.

令，即，即，解得：.

因为，所以，可以取包含以后的所有正整数，即以后递减.

而

，

所以.

综上所述：当时，最大.

所以，所以实数的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】求数列最值的方法：（1）利用函数单调性求出最值；（2）利用数列的性质求出最大项或最小项.

五、解答题

17．已知数列满足：，，

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，求.

【答案】(1)；

(2)1024144.

【分析】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论求出的通项公式.

（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差数列前n项和公式求解作答.

【详解】（1）数列满足：，，，

当时，，数列是首项，公差为2的等差数列，

因此，即当为偶数时，，

当时，，即，由，得，

因此，即当为奇数时，，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

.

18．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角C的大小；

(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；

（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案.

【详解】（1）已知，

由正弦定理可得，即，

所以，

因为，所以．

（2）由余弦定理可得，

又，

则，

由正弦定理可得，

所以，，

所以，

由题意得，解得，则，

所以，所以，

所以，所以中线CD长的取值范围为．

19．如图，已知圆锥，AB是底面圆О的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，.设二面角与二面角的大小分别为与.

(1)求的值；

(2)若，求二面角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出，从而求得的值.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值．

【详解】（1）连结．

因为点为圆锥的顶点，所以平面．

分别取，的中点，，

连接，，，，则在圆中，．

由平面，得．

又，故平面，

所以．

所以．

同理，．

于是．

（2）因为，即所以即

．

在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，．

又因为平面，所以轴，从而．

则，，．

设平面的法向量为，

则，即，

不妨取，则，，此时．

设平面的法向量为，

则，即

不妨取，则，，此时．

所以．

又二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．

【点睛】方法点睛：

几何法求解二面角，要根据二面角的定义来求解；向量法求解二面角，关键是求得二面角的两个半平面的法向量，并且要注意二面角是锐角还是钝角.

20．核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为，，.假设，，互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.

(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；

(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是的一个排列.

①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望；

②假定，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？

【答案】(1)无关；理由见解析

(2)① 分布列见解析；期望为；②完成任务概率大的人先派出

【分析】(1)由概率算式知任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关.

(2) ①计算变量取值相应的概率得到分布列，计算数学期望；②根据不同顺序方案数学期望的结果，得到数学期望最小时的派出顺序.

【详解】（1）无关，理由如下：

由于任务不能被完成的概率为为定值，

故任务能被完成的概率为也为定值．

所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关．

（2）① X的取值为1，2，3，

，，，

分布列如图：

．

② ，

若交换前两个人的派出顺序，则变为，

由此可见，当时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；

若保持第一人派出的人选不变，交换后两个人的派出顺序，

可写为，交换后两个人的派出顺序则变为；

当时，交换后两个人的派出顺序可增大均值，

故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．

21．已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点．P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：分别交于M，N两个不同的点．

(1)求椭圆C的方程：

(2)设直线l与x轴交于R，若P，F，Q三点共线，求证：与相似．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定的条件，求出长半轴长及半焦距即可求出椭圆方程作答.

（2）把问题转化为证明，设出点的坐标，求出直线方程，表示出点的坐标，再结合共线条件即可推理求解作答.

【详解】（1）依题意，，离心率，解得，，

所以椭圆C的方程为.

（2）由（1）知，，

设，若，则为椭圆的右顶点，由三点共线知，为椭圆的左顶点，不符合题意，

则，同理，直线的方程为，

由消去，整理得，显然是方程组的解，

必有，由，解得，，得，

当时，，即直线轴，由椭圆的对称性知，

又，于是，

当时，，直线的斜率，同理直线的斜率，

因为三点共线，于是，整理得，

在Rt和Rt中，，

因此，又均为锐角，则，

所以与相似.

【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．已知函数，．

(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；

(2)若时，存在4个不同实数满足．证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）按和讨论，在时，求出函数的最大值建立不等式，再利用单调性求解不等式作答.

（2）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨的根的情况即可推理作答.

【详解】（1）依题意，，求导得，

当，函数定义域为，，不符合题意，

当,函数定义域为，由，解得，

当时，，则函数在区间上单调递增，

当时，，则函数在区间上单调递减，

，于是，

设函数，求导得，即函数在上单调递增，

又，因此当时, 成立，即成立，

所以的取值范围是.

（2）当时，，

设函数，

当单调递增，单调递减，

不妨令，

由，即，

又因为，

因此,即，

由函数单调性知，方程至多有两解，从而不妨令，

两式相减得，由,得，

所以.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.