2023届四川省绵阳南山中学高三下学期高考热身考试数学（文）试题含解析

2023届四川省绵阳南山中学高三下学期高考热身考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，再由交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，

集合，所以．

故选：D．

2．复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】复数在复平面内对应的点为，则，

所以.

故选：C．

3．已知命题，使得，则为（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

【答案】B

【分析】根据命题的否定的定义求解.

【详解】根据命题的否定的定义，

因为命题，使得，

所以为，使得，

故选:B.

4．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是（    ）

A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一

B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个

C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元

D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元

【答案】C

【分析】利用频率，频数，平均数和中位数的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；

若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；

可以估计，平均数为（元），故C错误；

可以估计，中位数为（元），故D正确．

故选：C．

5．如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.

【详解】解：

.

故选：C.

6．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为），则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三视图作出几何体的实物图，确定几何体的构成，由此可计算出几何体的体积.

【详解】原几何体的实物图如下图所示，几何体是长方体去掉一个小三棱锥，

由三视图的数据可知该几何体的体积为.

故选：A.

【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.

【详解】因为，，

所以，故函数的为奇函数，排除BD；

又 所以，故A错误.

故选：C

8．将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（），

结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案.

【详解】由题意得：，

又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，

所以，则（），

函数 在上单调递增，则函数的周期，

解得，则，，

故选：A.

9．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，当时，单调递增，得到，设，当时，单调递增，得到，得到答案.

【详解】设，求导，所以当时，，单调递增，

故，即，所以；

设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故.

故选：C

10．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．

【详解】解：，，

，

又为整数，

必须是2的次幂，即．

内所有的“幸运数”的和：

，

故选：D．

11．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.

【详解】设切点为，，连接，则，，

过点作⊥轴于点E，则，故，

因为，解得，

由双曲线定义得，所以，

在中，由余弦定理得，

化简得，又，

所以，方程两边同时除以得，

解得，所以离心率.

故选：A

【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).

12．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.

【详解】因，又当时，，

当，，时，，

则，

，

当，，时，，

则，

，

作出函数的大致图象，

对任意，都有，

设的最大值为，

则，且

所以，解得

所以m的最大值为.

故选：A.

二、填空题

13．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______．①；②数列的前n项和存在最小值．

【答案】(答案不唯一)

【分析】根据判断数列是等差数列，根据存在最小值可知等差数列首项为负数，公差为正数，从而可写出满足条件的等差数列．

【详解】∵，∴数列是等差数列，

∵数列的前n项和存在最小值，

∴等差数列的公差，，

显然满足题意．

故答案为：．

14．已知曲线在点处的切线被圆所截弦长最短，则______．

【答案】/

【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，则该切线恒过定点，在圆内.由圆的一般方程确定圆心，当定点与圆心的连线与切线垂直时所截得弦长最短，利用两直线的位置关系计算即可求解.

【详解】若，则函数是一条直线，不符合题意，故.

，则，又，

所以曲线在处的切线方程为，则直线恒过定点.

，

得圆心坐标为，半径为，且定点在圆内.

因为切线被该圆所截的弦长最短，所以定点与圆心的连线与切线垂直，

则，解得.

故答案为：.

15．一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．

【答案】

【分析】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面，分析圆锥的内切球，可判断出圆锥内切球能包含在圆台内，进而可得最大球半径与表面积.

【详解】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面如图，圆锥顶点为，圆台上下圆圆心分别为，

根据截面性质，易得，又，

所以，，，则.

故该轴截面是边长为8的正三角形，高，

由正三角形内心也是重心，可得内切圆的半径，

又圆台高为，所以圆锥内切球半径即为内切圆的半径，

所以该圆台内切球半径最大值为.

故球表面积的最大值为．

故答案为：

16．已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．

【答案】4

【分析】首先证明，求出，则，再利用证明的结论，得到，利用焦点弦公式求出值即可.

【详解】设，，则，

设直线的方程为，联立抛物线方程有

，，，

则，直线的方程为，

令，则，则，

则得，

∴，∴，，又，

则，∴点，，解得．

故答案为：4.

三、解答题

17．的内角的对边分别为，，且______．

在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)求的面积；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得，且，于是利用同角的平方关系公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；

（2）由正弦定理得即可求得的值，开方可求的值，从而得到的值.

【详解】（1）若选①:

因为，由余弦定理得，整理得，则，

又，则，，

则；

若选②:

因为，即，则，

又，则，

又，得，

则；

（2）由正弦定理得：，则，

则，．

18．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．

(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．

附： 刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．

【答案】(1)对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元)；

(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.

【分析】(1)根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将x＝17代入较好的模型即可预测直接收益；

(2)根据回归方程过样本中心点()求出，再令x＝20算出预测的直接收益，即可算出投入20亿元时的总收益，与(1)中的投入17亿元的直接收益比较即可.

【详解】（1）对于模型①，对应的，

故对应的，

故对应的相关指数，

对于模型②，同理对应的相关指数，

故模型②拟合精度更高、更可靠.

故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元).

另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.

（2）当时，

后五组的，，

由最小二乘法可得，

故当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：

，

故投入17亿元比投入20亿元时收益小.

19．如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

(1)已知点满足，求证四点共面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作中点，连接，根据是平行四边形和为中位线，得到证明；

（2）设到平面的距离为和到平面的距离为，利用求解.

【详解】（1）证明：如图，

作中点，连接，

因为是平行四边形，

所以，

在中，为中位线，故，

所以，故四点共面．

（2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，

在中，．

故的面积．

同理，由三棱锥的体积，

所以，得．

故到平面的距离为．

20．已知函数，．

(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；

(2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)在处取得最小值，

(2)

【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；

（2）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，，时三种情况讨论求解即可.

【详解】（1）当时，，定义域为，

所以，令得，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，函数在处取得最小值，.

（2）因为函数对恒成立

所以对恒成立，

令，则，

①当时，，在上单调递增，

 所以，由可得，即满足对恒成立；

②当时，则，，在上单调递增，

 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；

③当时，令得

令，恒成立，故在上单调递增，

因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，

所以，使得，，

所以，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，只需即可；

所以，，，因为，所以，

所以，解得，所以，，   

综上所解，实数a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于讨论当时，结合函数的性质得，使得，，进而转化为解.

21．已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．

(1)求的方程；

(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)点在定直线上

【分析】（1）设点，则，可得出，利用斜率公式结合已知条件可得出，再利用椭圆的短轴长可得出、的值，即可得出椭圆的方程；

（2）设的方程为，设点、，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线、的方程，联立这两条直线方程，可得出点的横坐标，即可得出结论.

【详解】（1）解：设，则，且，所以，，

则，

故①，又②，                        

联立①②，解得，，故椭圆的方程为．

（2）解：结论：点在定直线上．                      

由（1）得，、，设，

设直线的方程为，设点、，

联立，整理得，

，

，      

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，

可得    

，解得，

因此，点在直线上.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求曲线M，N的极坐标方程；

(2)若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；

（2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解.

【详解】（1）解：由，可得，即，

又由，可得，

所以曲线M的极坐标方程为．

由，可得，即，

即曲线N的极坐标方程为.

（2）解：将代入，可得，

将代入，可得，

则，

因为，所以，

又因为，所以．

23．已知定义在上的函数的最大值为．

(1)求的值；

(2)设，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据绝对值三角不等式求解即可；

（2）根据柯西不等式求解即可.

【详解】（1），当且仅当时等号成立．

∴，即．

（2）依题意可知，则由柯西不等式得，

，

∴，即，当且仅当时，等号成立．