四川省内江市第六中学2023届高三下学期强化训练（三）数学（理）试卷（含答案）

这是一份四川省内江市第六中学2023届高三下学期强化训练（三）数学（理）试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省内江市第六中学2023届高三下学期强化训练（三）数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、在复平面内，复数，则z的虚部是(   )A.-1 B.1 C. D.i2、已知集合和，那么(   )A. B. C. D.3、某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是(   )2020年该校“选择考”等级统计图 2022年该校“选择考”等级统计图A.获得A等级的人数减少了 B.获得B等级的人数增加了1.5倍C.获得D等级的人数减少了一半 D.获得E等级的人数相同4、已知，，则(   )A. B. C. D.5、已知命题，，，则下列命题为真命题的是(   )A. B. C. D.6、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域内整点个数是(   )A.16 B.14 C.12 D.107、已知，，若，则n的值为(   )A. B.5 C. D.258、用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色"的概率为(   )A. B. C. D.9、已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则(   )A. B. C.2023 D.-202310、函数的图像大致为(   )A.B.C.D.11、已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为(   )A.2 B.4 C.6 D.812、如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交BC于点Q，点P在运动过程中始终满足.①直线与点P的轨迹无公共点；②存在点P使得；③三棱锥体积最大值为；④点P运动轨迹长为.上述说法中正确的个数为(   )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题13、如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图(图中虚线分别与轴，轴平行)，则原图形的面积是_________.14、设由，，围成封闭区域为N，由，，围成封闭区域为M，现向区域M内随机投100个点，若落在区域N内的点共有60个，据此估计与x轴围成的图形面积约为______.（已知）15、已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为______.16、已知函数，点M、N是函数图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则的取值范围是______.三、解答题17、为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筡表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如下图所示的样本频率分布直方图.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828  喜欢不喜欢合计男同学   女同学   合计   （1）请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）?附：，18、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_______.（1）求角C的大小.（2）若，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.19、如图，在圆台中，，AB分别为上、下底面直径，且，，为异于，的一条母线.（1）若M为AC的中点，证明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值.20、已知椭圆的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且.（1）求椭圆的长轴和短轴的比值；（2）如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围.21、已知函数，.（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）设，，证明：.22、在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线与曲线C的极坐标方程分别为，，点P的极坐标为.（1）求直线以及曲线C的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与，C的公共点分别为A，B，且，求的面积.23、已知x、y、z均为正实数，且.（1）求的最大值；（2）若，证明：.
参考答案1、答案：A解析：因为，所以z的虚部是-1.2、答案：C解析：由，得到，所以.又，所以.3、答案：B解析：由题可知：设2020年参加选择考的总人数为a，则2022年参加选择考的总人数为2a人；2020年评定为A，B，C，D，E五个等级的人数为：A：0.28a，B：0.32a，C：0.30a，D：0.08a，E：0.02a；2022年评定为A，B，C，D，E五个等级的人数为：A：0.48a，B：0.80a，C：0.56a，D：0.12a，E：0.04a；由此可知获得A等级的人数增加了，A错误；由于，即获得B等级的人数增加了1.5倍，B正确；获得D等级的人数增加了，C错误；获得E等级的人数增加了1倍，D错误.4、答案：B解析：已知，，则.则.故选：B.5、答案：C解析：因为，，所以，故p为真.当时，，故q为假.所以，，为假命题，为真命题.6、答案：C解析：根据题意，作出不等式组约束的平面区域，如图.所以可行域内整数点的个数为12个.7、答案：D解析：易知，，所以，所以，即.故选D.8、答案：D解析：基本事件总数，恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数则“恰有一个面上的三个顶点同色“的概率为故选：D.9、答案：A解析：令，得.又因为，所以.由，得，所以.所以数列是首项为，公差为-1的等差数列，所以.所以，所以.10、答案：B解析：显然是非奇非偶函数，排除C.当时，.令，则，是单调递减的，，当时，，，是单调递减的，排除A；，，，，，排除D.11、答案：D解析：设，，，，，则如图所示，因为，所以，即，所以，因为，，所以，，由，可得点C在以A为圆心，半径为1的圆面上(包括边界)，过圆周上一点C作OB的垂线，垂足为D，且DC与相切，延长DC交OA于N，则，又根据相似知识可得，所以的最大值为8，故选D.12、答案：C解析：因为PQ为的角平分线，在中，由正弦定理可知，设，则.所以.在中，由正弦定理可知，.因为，所以，且.设，，所以，，，.所以，.所以，点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧，且.点到该直线的距离为，所以与圆无公共点，①正确；若，设，所以，所以，所以，即.联立解得，.所以点满足条件，所以②正确；若最大，则P到BC距离最大，即P到与圆的交点处，但P不在正方形边界上，所以最大值取不到，故③错误；令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以，因为为点P的运动轨迹，所以，故④正确.13、答案：40解析：根据题意，原图形如图，根据直观图画法规则知，的底边OB的长为5，高为16，其面积.14、答案：2解析：区域M的面积为，设与x轴围成的图形面积为S，对函数求导得，曲线在处的切线方程为.由几何概型的概率公式可得，解得.故答案为：2.15、答案：9解析：对于双曲线，则，，，如下图所示：设双曲线的右焦点为M，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立.因此，的最小值为9.故答案为：9.16、答案：解析：当时，，则.所以函数在上为增函数；当时，由可得，即.作出函数的图象如右图所示.设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，设切点为.所以切线方程为.将原点坐标代入切线方程可得，即.构造函数，其中.则.所以函数在上单调递减，且.由，解得，所以.而函数的渐近线方程为.设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，则.结合图形可知，.17、答案：（1）答案见解析（2）答案见解析解析：（1）各组数据频率之和为1，故组频率.所以纵坐标为.样本频率分步直方图如下图：样本平均数 喜欢不喜欢合计男同学403070女同学203050合计6060120（2）故没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.18、答案：（1）（2）解析：（1）选择条件①.由余弦定理得整理得.所以由余弦定理得.又因为，所以.选择条件②.由正弦定理得，整理得.由余弦定理得.又因为，所以.选择条件③.由正弦定理得.整理得.因为，所以.显然，所以.又因为，所以.（2）因为，，所以由正弦定理得，即.因为，所以所以因为，所以，所以，故的取值范围是.19、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，连接.因为在圆台中，上，下底面直径分别为，AB，且，所以，，为圆台母线且交于一点P，所以A，，，C四点共面.在圆台中，平面平面.由平面平面，平面平面，得.又，，所以.所以，即为PC中点.在中，又M为AC的中点，所以.因为平面，平面，所以平面（2）以O为坐标原点，OB，分别为y，z轴，过O且垂直于平面的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以.则，，.因为，所以.所以，所以设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以又，设平面的法向量为，所以，所以令，则，所以所以设二面角的大小为，则，所以.所以二面角的正弦值为20、答案：（1）长轴和短轴的比值为.（2）解析：（1）设，则，所以.所以长轴和短轴的比值为.（2）由（1），设粗圆方程为.由题意直线PQ的斜率存在且不为0，设其方程为，，.由得：，则，所以.所以.因为，设，则，，即.又，所以，所以的取值范围是.21、答案：（1）和（2）证明见解析（3）证明见解析解析：由得：，解得：或，的定义域为.方法一：当时，，的单调递增区间为和，无单调递减区间.方法二：由题意得：在，单调递增，为增函数，的单调递增区间为和，无单调递减区间.（2）定义域为，是偶函数，等价于当时，.设，则，单调递减.当时，；即当时，.设，则当时，.当时，为增函数，且，.存在唯一，使得，即.当时，，单调递减；当时，，单调递增..当时，；在上恒成立，即.综上所述：当时，..（3）由，，可知.，即，其中.又，且由（1）可知在单调递增，当且仅当时，即时，成立.由（2）可知：当时，，，.22、答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，即直线的直角坐标方程为.由，得，代入公式得，所以曲线C的直角坐标方程为（2）设点A，B的极坐标分别为，.由题意可得.则，可得.因为，所以，，则.因为点P的极坐标为，故23、答案：（1）3（2）证明见解析解析：（1）因为，所以.又x，y，z均为正实数，由柯西不等式有.所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为3（2）因为.由（1）得，即，所以，当且仅当时，等号成立.因为，当且仅当，即时，等号成立.因为，所以，即.