2023年广东省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数

这是一份2023年广东省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数，共32页。
2023年广东省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数
一．选择题（共11小题）
1．（2022•珠海校级三模）如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则sin∠ADC是（　　）

A．55 B．32 C．53 D．255
2．（2022•东莞市校级一模）关于三角函数有如下的公式：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，由该公式可求得sin15°的值是（　　）
A．6+24 B．6−24 C．3−24 D．3−12
3．（2022•惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　）

A．52 B．53 C．23 D．34
4．（2022•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则tanB的值是（　　）

A．2114 B．5714 C．217 D．35
5．（2022•深圳三模）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是（　　）米（结果保留根号）

A．100+1003 B．200+2003 C．1002+1003 D．2002+2003
6．（2022•深圳三模）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（　　）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）

A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7
7．（2022•花都区二模）如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：3的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（　　）

A．50米 B．502米 C．503米 D．100米
8．（2022•越秀区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（　　）
A．tanB＝0.75 B．sinB＝0.6 C．sinB＝0.8 D．cosB＝0.8
9．（2022•新会区模拟）如图，要测量小河宽PA的距离，在河边取PA的垂线PB，在PB上取一点C，使PC＝100米时，量得∠PCA＝38°，则小河宽PA＝（　　）

A．100sin38° B．100sin52° C．100tan38° D．100tan52°
10．（2022•天河区校级二模）将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（　　）

A．2cm B．4cm C．(43−6)cm D．(4−23)cm
11．（2022•光明区二模）在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（　　）

A．12 B．22 C．55 D．255
二．填空题（共7小题）
12．（2022•蓬江区校级一模）某学校体育馆A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小张同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离是 　 　米．
13．（2022•韶关模拟）在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度＝　 　（结果带根号表示）．

14．（2022•濠江区一模）为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出 　 　个车位．（参考数据：3≈1.7）

15．（2022•湛江模拟）计算6sin45°﹣2cos60°＝　 　．
16．（2022•东莞市校级二模）在△ABC中，sinB=12，AC＝22，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为 　 　．
17．（2022•香洲区校级三模）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是 　 　．

18．（2022•广东）sin30°＝　 　．
三．解答题（共10小题）
19．（2022•曲江区校级模拟）如图，昌昌同学和同伴春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E且测得BC＝3米，CD＝22米．∠CDE＝120°，已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）

20．（2022•台山市校级一模）小军和小全在经过学习课本关于测量金字塔的高度的内容，他们在广场上利用了太阳光（太阳光线可看作平行光线）测量了旗杆的高度．
（1）如图①，在同一时间小军测得小全和旗杆的影子长度分别为BE＝2.4m和DF＝22.5m，已知小全的身高AB为1.6m，求旗杆CD的高度．
（2）测量完后，他们决定用第二种方法再测量一次，如图②，他们在G处用测角仪GH测得旗杆顶部的仰角为40°，测角仪GH的高为1.8m，由于误差测得的结果比第一种方法少0.2m，求测角仪与旗杆的距离DG．（精确到0.1m，已知sin40°＝0.643，sin50°＝0.766，tan40°＝0.839，tan50°＝1.191）


21．（2022•南山区校级模拟）如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B岛在A岛的南偏西63.4°方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B岛发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1°位置．（参考数据：tan53.1≈43，sin53.1°≈45，cos53.1°≈35，tan63.4°≈2，sin63.4°≈255，cos63.4°≈55．
（1）求C点到A岛的距离；
（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．

22．（2022•东莞市校级一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．

23．（2022•东莞市校级二模）如图，无人机爱好者小明在家附近放无人机，当无人机飞行到小明头顶一定高度D点处时，无人机测得楼房BC顶端点C处的俯角为30°，已知小明A和小区楼房BC之间的距离为36米，楼房BC的高度为123米．
（1）求此时无人机离地面的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了小明的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内）

24．（2022•东莞市校级一模）如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠PAD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．

25．（2022•海珠区二模）C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，其中AB＝17cm，ED＝25cm，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后两位）

26．（2022•惠城区校级二模）图1是一款平板电脑支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm，当AB、BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝45°时，（以下结果都精确到0.1，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41，3≈1.73）
（1）求点B到AE的距离；
（2）求点C到AE的距离．

27．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

28．（2022•广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．


2023年广东省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2022•珠海校级三模）如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则sin∠ADC是（　　）

A．55 B．32 C．53 D．255
【解答】解：如图，延长CD到点E，连接BE，

由题意得：
DE2＝12+12＝2，
EB2＝22+22＝8，
BD2＝12+32＝10，
∴DE2+EB2＝BD2，
∴△DEB是直角三角形，
∴sin∠EDB=EBDB=2210=255，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴sin∠ADC=255．
故选：D．
2．（2022•东莞市校级一模）关于三角函数有如下的公式：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，由该公式可求得sin15°的值是（　　）
A．6+24 B．6−24 C．3−24 D．3−12
【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
=22×32−22×12，
=6−24，
故选：B．
3．（2022•惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　）

A．52 B．53 C．23 D．34
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB＝AC＝6，BD＝CD=12BC=4，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
AD=AB2−BD2=62−42=25，
∵ED⊥AB，
∴AB•ED＝BD•AD，
∴ED=BD⋅ADAB=4×256=453，
在Rt△BED中，
cos∠BDE=EDBD=4534=53．
故选：B．

4．（2022•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则tanB的值是（　　）

A．2114 B．5714 C．217 D．35
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝2，
∴AD=12AC＝1，CD=32AC=3，
∴tanB=CDBD=34+1=35，
故选：D．

5．（2022•深圳三模）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是（　　）米（结果保留根号）

A．100+1003 B．200+2003 C．1002+1003 D．2002+2003
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D．

由题意可得∠DBA＝60°，∠DBC＝45°，BD＝200米，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝200米，
在Rt△ABD中，
tan∠DBA＝tan60°=ADBD=AD200=3，
解得AD＝2003，
∴AC＝CD+AD＝（200+2003）米．
故选：B．
6．（2022•深圳三模）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（　　）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）

A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7
【解答】解：设BC＝xm，
∵AB＝2m，
∴AC＝（x+2）m，
∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°
∴tan∠OBC＝tan67°≈125，tan∠OAC＝tan37°≈34，
∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈125x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈34（x+2），
∴125x=34（x+2），
解得：x=1011，
∴OC≈125x=2411≈2.2m，
故选：B．
7．（2022•花都区二模）如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：3的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（　　）

A．50米 B．502米 C．503米 D．100米
【解答】解：设此时该小车上升的高度为x米，则水平前进了3x米．
根据勾股定理可得：x2+（3x）2＝1002，
解得x＝50．
即此时该小车上升的高度为50米．
故选：A．
8．（2022•越秀区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（　　）
A．tanB＝0.75 B．sinB＝0.6 C．sinB＝0.8 D．cosB＝0.8
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
A选项，原式=ACBC=43，故该选项不符合题意；
B选项，原式=ACAB=45=0.8，故该选项不符合题意；
C选项，原式=ACAB=45=0.8，故该选项符合题意；
D选项，原式=BCAB=35=0.6，故该选项不符合题意；
故选：C．

9．（2022•新会区模拟）如图，要测量小河宽PA的距离，在河边取PA的垂线PB，在PB上取一点C，使PC＝100米时，量得∠PCA＝38°，则小河宽PA＝（　　）

A．100sin38° B．100sin52° C．100tan38° D．100tan52°
【解答】解：在Rt△PAC中，
∵tan∠PCA=PAPC，
∴PA＝PC×tan∠PCA
＝100tan38°．
故选：C．
10．（2022•天河区校级二模）将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（　　）

A．2cm B．4cm C．(43−6)cm D．(4−23)cm
【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，

∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝120°，
∴∠APC＝120°÷2＝60°，AC＝6÷2＝3cm，AP＝BP，
∴在Rt△APC中，AP=ACsin60°=332=23cm，
∴橡皮筋被拉长了：23×2﹣6＝（43−6）cm．
故选：C．
11．（2022•光明区二模）在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（　　）

A．12 B．22 C．55 D．255
【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，
过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，

由图可得：CD=22+62=210，CE=12+12=2，S△CDE=3×6−12×5×3−12×1×1−12×2×6=4，
∵S△CDE=12×CD×EF，即4=12×210×EF，
∴EF=2105，
在Rt△CEF中，sin∠DCE=EFCE=21052=255，
∴sin∠AOD=255．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
12．（2022•蓬江区校级一模）某学校体育馆A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小张同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离是 　（302+306）　米．
【解答】解：如图：

由题意得：
∠CPA＝45°，∠DPB＝30°，PE⊥AB，DC∥BA，
∴∠PAE＝∠CPA＝45°，∠PBE＝∠DPB＝30°，
在Rt△PEA中，AP＝60米，
∴PE＝AP•sin45°＝60×22=302（米），
AE＝AP•cos45°＝60×22=302（米），
在Rt△BPE中，∠PBE＝30°，
∴BE=PEtan30°=30233=306（米），
∴AB＝AE+BE＝（302+306）米，
∴此时这位同学一共走的距离是（302+306）米，
故答案为：（302+306）．
13．（2022•韶关模拟）在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度＝　43米　（结果带根号表示）．

【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，
∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，
设FC＝x，
在Rt△MFC中，
∵∠MCF＝60°，
∴∠FMC＝30°，
∴MC＝2FC＝2x，MF=3x，
∵∠MDC＝30°，
∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，
∴CD＝CM＝2x，
∵ME＝MF+EF，
∴3x+1.5＝7.5，
解得：x＝23，
∴MC＝2x＝43（米），
答：体温监测有效识别区域AB的长为43米，
故答案为：43米．

14．（2022•濠江区一模）为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出 　9　个车位．（参考数据：3≈1.7）

【解答】解：如图，设最后一个车位的点A落在边线AB上，延长ED于＝与道路边沿交于F，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，
∴BC=12AC＝3，
在Rt△CDF中，CD＝2.4，∠DFC＝60°，
∴CF=CDsin60°=835，
∴CG＝BG﹣BC＝30﹣3＝27，
∴可划车位的个数为：27÷835≈9（个），
故答案为：9．

15．（2022•湛江模拟）计算6sin45°﹣2cos60°＝　32−1　．
【解答】解：原式＝6×22−2×12
＝32−1．
故答案为：32−1．
16．（2022•东莞市校级二模）在△ABC中，sinB=12，AC＝22，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为 　23+2或23−2　．
【解答】解：如图，当AD在△ABC内部时，

在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵AC＝22，
∴DC＝AD＝ACsin45°＝22×22=2，
在Rt△ABD中，sinB=12，AD＝2，
∴sinB=ADAB=12，即AB＝4，
根据勾股定理得：BD=AB2−AD2=42−22=23，
则BC＝BD+DC＝23+2，
如图，当AD在△ABC外部时，

则BC＝BD﹣DC＝23−2．
综上所述，BC的长为23+2或23−2．
故答案为：23+2或23−2．
17．（2022•香洲区校级三模）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是 　（20+103）m　．

【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：3，
∴DFCF=1：3，
设DF＝xm，CF=3xm，
∴CD=DF2+CF2=2x＝20（m），
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝103m，
∴DH＝BF＝（103+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH=33DH=33×（103+30）＝（10+103）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+103）m，
答：古塔AB的高度是（20+103）m，
故答案为：（20+103）m．

18．（2022•广东）sin30°＝　12　．
【解答】解：sin30°=12．
故答案为：12．
三．解答题（共10小题）
19．（2022•曲江区校级模拟）如图，昌昌同学和同伴春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E且测得BC＝3米，CD＝22米．∠CDE＝120°，已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）

【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设EF为x米，DF=33x米，DE=233x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴ABEF=BCFC，
即1.5x=322+33x，
解得：x＝12+23，
∴DE＝（4+83）米，
答：DE的长度为（4+83）米．

20．（2022•台山市校级一模）小军和小全在经过学习课本关于测量金字塔的高度的内容，他们在广场上利用了太阳光（太阳光线可看作平行光线）测量了旗杆的高度．
（1）如图①，在同一时间小军测得小全和旗杆的影子长度分别为BE＝2.4m和DF＝22.5m，已知小全的身高AB为1.6m，求旗杆CD的高度．
（2）测量完后，他们决定用第二种方法再测量一次，如图②，他们在G处用测角仪GH测得旗杆顶部的仰角为40°，测角仪GH的高为1.8m，由于误差测得的结果比第一种方法少0.2m，求测角仪与旗杆的距离DG．（精确到0.1m，已知sin40°＝0.643，sin50°＝0.766，tan40°＝0.839，tan50°＝1.191）


【解答】解：（1）据同一时刻同一地方阳光下物体高度与影长成比例，
∴DC：DF＝AB：BE，即DC：22.5＝1.6：2.4，
解得DC＝15（m），
∴旗杆CD的高度为15米；
（2）如图②，由题意可知，∠CMH＝90°，CD＝15﹣0.2＝14.8（米），
∵四边形DGHM是矩形，
∴DM＝GH＝1.8（米），
∴CM＝CD﹣DM＝CM＝13（米），
在Rt△CMH中，∠CHM＝40°，
∴tan∠CHM=CMMH=0.839，
∴MH=CM0.839≈14.5（米），
∴DG＝MH＝14.5（米）．
∴测角仪与旗杆的距离DG为14.5米．

21．（2022•南山区校级模拟）如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B岛在A岛的南偏西63.4°方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B岛发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1°位置．（参考数据：tan53.1≈43，sin53.1°≈45，cos53.1°≈35，tan63.4°≈2，sin63.4°≈255，cos63.4°≈55．
（1）求C点到A岛的距离；
（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．

【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，

设AD＝x海里，
在Rt△ADC中，tan53.1°=CDAD=CDx≈43，cos53.1°=ADAC=xAC≈35，
解得CD=43x，AC=53x，
在Rt△ADB中，tan63.4°=BDAD=BDx≈2，
解得BD＝2x，
∴2x+43x=30，
解得x＝9，
∴AC＝15海里．
∴C点到A岛的距离约为15海里．
（2）设A岛所派快艇的速度为y海里/小时，则B岛所派快艇的速度为（y+25）海里/小时，
由题意得，15y=30y+25，
解得y＝25，
经检验，y＝25为原方程的解，且符合题意．
答：A岛所派快艇的速度为25海里/小时．
22．（2022•东莞市校级一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．

【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E，

由题意得：
AC＝BE，∠DCE＝30°，∠BCE＝45°，
设AC＝BE＝x米，
在Rt△BCE中，CE＝BE•tan45°＝x（米），
在Rt△DCE中，DE＝CE•tan30°=33x（米），
∵BD＝20米，
∴BE+DE＝20，
∴x+33x＝20，
解得：x＝30﹣103，
∴AC＝BE＝（30﹣103）米，
∴旗杆AC的高度为（30﹣103）米．
23．（2022•东莞市校级二模）如图，无人机爱好者小明在家附近放无人机，当无人机飞行到小明头顶一定高度D点处时，无人机测得楼房BC顶端点C处的俯角为30°，已知小明A和小区楼房BC之间的距离为36米，楼房BC的高度为123米．
（1）求此时无人机离地面的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了小明的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内）

【解答】解：（1）延长BC交DF于点E，

则∠DEC＝90°，AD＝BE，AB＝DE＝36米，∠CDE＝30°，
在Rt△CDE中，CE＝DE•tan30°＝36×33=123（米），
∴AD＝BE＝BC+CE＝123+123=243（米），
∴此时无人机离地面的高度为243米；
（2）延长AC交DF于点G，

在Rt△ACB中，AB＝36米，BC＝123米，
∴tan∠CAB=BCAB=12336=33，
∴∠CAB＝30°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠DAB﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADG中，AD＝243米，
∴DG＝AD•tan60°＝243×3=72（米），
∴72÷4＝18（秒），
∴经过18秒时，无人机刚好离开了小明的视线．


24．（2022•东莞市校级一模）如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠PAD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．

【解答】解：此车超过了每秒25米的限制速度，理由如下：
∵PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米，242+102＝262，
∴PC2+CD2＝PD2，
∴△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，
∴∠PCB＝90°，
在Rt△PCB中，∠PBD＝60°，sin∠PBD=PCPB，
∴PB=PCsin60°=2432=163≈27.7（米），
∵∠PAD＝30°，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠APB＝∠PAD，
∴AB＝PB≈27.7米，
∵27.7＞25，
∴此车超过了每秒25米的限制速度．
25．（2022•海珠区二模）C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，其中AB＝17cm，ED＝25cm，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后两位）

【解答】解：延长DC交BN于点G，交AM于点F，

由题意得：
∠BNC＝∠AFC＝90°，AE＝DF，BE＝GD，AF＝BG＝ED＝25cm，
在Rt△BND中，∠NBD＝37°，
∴ND＝BN•tan37°≈25×0.75＝18.75（cm），
∴BE＝ND＝18.75cm，
∵AB＝17cm，
∴DF＝AE＝AB+BE＝17+18.75＝35.75（cm），
在Rt△AFG中，∠FAC＝45°，
∴FC＝AF•tan45°＝25（cm），
∴CD＝DF﹣FC＝35.75﹣25＝10.75（cm），
∴线段BE的长约为18.75cm，CD的长约为10.75cm．

26．（2022•惠城区校级二模）图1是一款平板电脑支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm，当AB、BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝45°时，（以下结果都精确到0.1，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41，3≈1.73）
（1）求点B到AE的距离；
（2）求点C到AE的距离．

【解答】解：（1）过点B作BF⊥AE于点F．

在Rt△ABF中，∠BAF＝60°，AB＝20cm，
sin60°=BFAB=BF20=32，
解得BF≈17.3，
∴点B到AE的距离约为17.3cm．
（2）过点C作CG⊥BF于点G，
∵∠BAE＝60°，
∴∠ABF＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBG＝45°﹣30°＝15°，
在Rt△BCG中，∠CBG＝15°，BC＝10cm，
cos15°=BGBC=BG10≈0.97，
解得BG＝9.7，
∴FG＝BF﹣BG＝17.3﹣9.7＝7.6（cm），
∴点C到AE的距离为7.6cm．
27．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于12AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧AC于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB=AC2+BC2=10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE=12AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD=DE2+EC2=22+42=25
∴sin∠ACD=DECD=225=55．

28．（2022•广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．

【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的长为8m；
（2）若选择条件①：
由题意得：
ABBC=DCCE，
∴AB8=1.61，
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m；
若选择条件②：

过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗杆AB的高度约为12.8m．