高中数学高考复习 第05讲函数与方程综合问题 练习

 第五讲函数与方程综合

A组

一、选择题

1．（2018全国卷Ⅰ）已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（       ）

A．       B．            C．       D．

【答案】C

【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，

函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，

如图所示，

由图可知，，解得，故选C．

2.已知实数，满足，，则函数的零点所在的区间是（    ）

         A.         B.          C.         D.

【解析】，，，，又，，，从而由零点存在定理可知在区间上存在零点．故选B.

3.已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

A．                 B．              C．         D．

【答案】B

【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选．

4.设函数，则函数(    ）

A．在区间，内均有零点           B．在区间，内均无零点

C．在区间内有零点，在内无零点   D．在区间内无零点，在(内有零点

【解析】的定义域为，，故在上递减，又

   ，故选D.

5. 已知函数满足：，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．       C．       D．

【解析】由的周期为，又是偶函数，且时，，故可示意在上图象，有4个零点转化为函数与在上有4个交点，由图象知，故选C.

6.已知方程有两个实根，则实数的取值范围为（    ）

  A.          B.           C.       D.[1, ＋∞)

【解析】设，原题转化为函数在上有两个零点（可以相同），则

        解得，故选B.

7.（2016高考新课标2卷理）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（    ）

A. 0            B.                C.                D.

【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选B.（客观上函数与有共同的对称中心，所以它们的所有交点

关于对称

二、填空题

8．（2018年全国卷Ⅲ）函数在的零点个数为________．

【答案】3

【解析】由题意知，，所以，，所以，，当时，；当时，；当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．

9．（2017年高考全国3卷理）设函数则满足的x的取值范围是_________。

【答案】

【解析】由题意：  ，函数 在区间 三段区间内均单调递增，且： ，

据此x的取值范围是： .

10．若函数f(x)= -x-m无零点,则实数m的取值范围是                 .

【解析】原题转化为函数所表示的上半圆与斜率为1的平行线系没有公共点的问题，

      画图，可得或.

11．设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则        .

【解析】原方程可变为，作出函数的图象，再作直线，从图象可知

        函数在上递增，在上递减，在上递增，只有当时，才有

        三个交点，，所以.

12.（2016高考山东卷理）已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是________________.

【解析】画出函数图象如下图所示：

由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得.

13.（2018年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

 (2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．

因此人均通勤时间，整理得：，

则当，即时，单调递减；

当时，单调递增．

实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．

适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．

B组

一、选择题

1. 设函数，．若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是(　　)

  A．，         B．， 

  C．，         D．，

【解析】依题意，示意图象，可知，且异号，而，故选B.

2.已知函数,则关于的零点叙述正确的是(     )

  A.当时,函数有两个零点    B.函数必有一个零点是正数

  C.当时,函数有两个零点    D.当时,函数只有一个零点

【解析】函数的零点可转化为函数与图象的交点情况研究，选B.

3.已知函数，，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是(　　)

A.            B.             C.               D.

【解析】依题意，不符；时，则对于，当时，显然，不符；时，则对于，，由，需对称轴：或，

解得，故选B.

4.函数的零点个数为 (　　)

A. 9                  B. 10                  C. 11                 D. 12 

【解析】示意函数与的图象可确定选D.

5.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（    ）

  A.            B.             C.         D.

【解析】依题意，需要在轴左侧图象对称到轴右侧，即，需要其图象与

     原轴右侧图象至少有个公共点，不能满足条件，只有，如图，

此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得.

6.已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（    ）A．       B．     C．      D．

【解析】做出函数的图象，如图所示，由图可知，当时直线与的图象有两个交点，当时直线与的图象有一个交点，题意要求方程有三个不同的实根，则方程必有两不等实根，且一根小于1，一根不小于1，当，即时，方程的两根为1和，符合题意；当，即时，方程有两个不等实根，且一根小于1，一根大于1，符合题意.综上由.

7.(2018年江苏卷)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

【答案】–3

【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，

8. 设函数.

 （1）若，则的最小值为______；（2）若恰有个零点，则实数的取值范围是              ．

【解析】（1）当时，若，；当时，，则 时，  （2）时，无零点；不符；时，有一个零点；，符合；，有个零点；，符合. 综上得或

9.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是           .

【解析】由题意，问题等价于方程与方程的根的个数和为，

若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；

若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而

，综上，实数的取值范围是.

10.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________               ．

【解析】在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为

与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．

三、解答题

11.设函数（为常数，是自然对数的底数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

【解析】（I）函数的定义域为，

由可得，  所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，

故在内不存在极值点；  当时，设函数，

因为，

当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；

当时，得时，，函数单调递减，

           时，，函数单调递增，

       所以函数的最小值为，  函数在内存在两个极值点；

当且仅当，    解得，

综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.

C组

一、选择题

1.记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（    ）

A.方程①有实根，且②有实根  B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根  D.方程①无实根，且②无实根

【解析】按D考虑，则由，故选D.

2.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于(    )

A．6            B．7            C．8            D．9

【解析】依题得，则这三个数适当排序排成等比数列必有，

        这三个数适当排序后成等差数列应有，解得

        则，故，选D.

3.已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是(     )

    A.         B.          C.           D.

【解析】由得，

所以，即

,所以恰有4个零点等价于方程

有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知. 故选D.

4.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当 时，．记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

【解析】∵对任意的恒有成立，且当 时，， ∴.由题意得的函数图象是过定点的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合），∴可得k的范围为.

5.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为(     )

A．        B．        C．      D．

【解析】设，依题，则是奇函数，又在上，可判断

       在上递减，不等式可转化为，则，得，

       故选B.

6.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（     ）

A．          B．        C．           D．

【解析】由题意得：，所以当时与有五个交点，

       其中与的两个交点关于对称，和为8；与的

       两个交点关于对称，和为-8；与的一个交点，值为；因此

       所有零点之和为，故选B.

二、填空题

7.（2018年高考浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是

___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】  

8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为     个．

【解析】函数的零点个数等价于函数的图象与直线的图象的交点的个数．由已知条件作出函数的图象与直线的图象，如下图．由图可知，函数的图象与直线的图象有6个交点．

9.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是                   .

【解析】令，得，设，即，原问题转化为直线与函数

  只有一个交点且此交点的横坐标为正，由，得，且

 在递增，在上递减，在上递增，可知，由图象得.

10. 函数若互不相等，且，则的取值范围为          ．

【解析】示意图象，由互不相等，且，不妨令，应有

  得 得，，则

  ，可判断函数在上递增，故

三、解答题

11. 已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【解析】（1）由，得，解得．

      （2），，

            当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．

            当且时，，，．

           是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即．

           于是满足题意的． 综上，的取值范围为．

       （3）当时，，，

          所以在上单调递减．

         函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

         即，对任意成立．

         因为，所以函数在区间上单调递增，时，

         有最小值，由，得． 故的取值范围为．