备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(三十八)　数列的综合问题

课时验收评价(三十八)　数列的综合问题

1．已知数列{an}的通项an＝2n＋3(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn＝(n∈N*)，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{cn}，则满足cn<2 012的m的最大整数值为(　 )

A．338  B．337  C．336  D．335

解析：选D　当n＝1时，b1＝S1＝5；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n＋2.

所以数列{an}和{bn}的公共项构成的新数列{cn}是首项为5，公差为6的等差数列，cn＝6n－1.令cn<2 012，得n<335.5，又n∈N*，所以n的最大值为335.

2．有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　 )

A．15  B．16 

C．17  D．18

解析：选B　等差数列2,6,10，…，190，公差为4，

等差数列2,8,14，…，200，公差为6，

所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16.

3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n，bn＝2n，现从数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列{cn}，则数列{cn}的前150项之和为(　 )

A．23 804  B．23 946

C．24 100  D．24 612

解析：选D　因为a150＝300，b8＝28＝256<300，b9＝29＝512>300，故数列{an}的前150项中包含{bn}的前8项，故数列{cn}的前150项包含{an}的前158项排除与{bn}公共的8项．记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则c1＋c2＋…＋c150＝S158－T8＝－＝24 612.

4．已知函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1,0)点，且在x＝－1处的切线斜率为－1.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列前n项的和Tn.

解：(1)函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1,0)点，则a－b＝0，即a＝b　①.

因为f′(x)＝2ax＋b，函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－1处的切线斜率为－1，所以－2a＋b＝－1　②.

由①②得a＝1，b＝1，所以数列{an}的前n项和Sn＝f(n)＝n2＋n.当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n.当n＝1时，a1＝2符合上式，则an＝2n.

(2)由于an＝2n，则＝＝，则Tn＝＝＝.

5．给定一个数列{an}，在这个数列中，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．

(1)求a的值；

(2)设等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b1＝(k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1.

解：(1)因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6.又因为a2＝，a3＝，a6＝，所以－＝－，解得a＝0.

(2)证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d.因为b1＝，所以b2≤，从而d＝b2－b1≤－＝－.所以bm＝b1＋(m－1)d≤－.又因为bm＞0，所以－＞0.即m－1＜k＋1，所以m＜k＋2.又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1.

6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S2＝4,2a3＝3＋a4.

(1)求an；

(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

∵即

解得∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)证明：由(1)知，bn＝＝＝－，

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－，Tn＝1－(n∈N*)，n越大，Tn越大，故Tn是递增数列，∴Tn≥T1＝，而Tn＝1－<1，故≤Tn<1.

7．已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若＋＋＋…＋<2 022，求正整数n的最大值．

解：(1)证明：易知{an}各项均为正，对an＋1＝两边同时取倒数得＝·＋，

即－2＝，因为－2＝1，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知－2＝n－1＝，即＝＋2，

所以f(n)＝＋＋＋…＋＝＋2n＝2n＋，显然f(n)单调递增，因为f(1 010)＝2 021.5－·<2 022，f(1 011)＝2 023.5－·>2 022，

所以n的最大值为1 010.