备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（五十五） 圆的方程

课时验收评价（五十五） 圆的方程

一、点全面广强基训练

1．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是(　 )

A．(x－2)2＋y2＝1  B．(x＋2)2＋y2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1  D．x2＋(y－2)2＝1

解析：选A　设圆的圆心为(a,0)，则＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A.

2．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　 )

A.       B．－       C．1  D．－1

解析：选A　由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.

3．已知点A(1,2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2＝0外，则实数m的取值范围为(　 )

A．(－3，－2)∪(2，＋∞)

B．(－3，－2)∪(3，＋∞)

C．(－2，＋∞)

D．(－3，＋∞)

解析：选A　由题意，x2＋y2＋mx－2y＋2＝0表示圆，故m2＋(－2)2－4×2＞0，即m＞2或m＜－2，点A(1,2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2＝0外，故12＋22＋m－2×2＋2＞0，即m＞－3，故实数m的取值范围为m＞2或－3＜m＜－2，即m∈(－3，－2)∪(2，＋∞)．

4．设甲：实数a＜3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的(　 )

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a＝10－4a＞0，解得a＜；∵a＜3⇒/ a＜，a＜⇒a＜3，∴甲是乙的必要不充分条件．故选B.

5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(　 )

A．(－1,1)  B．(1，－1)

C．(－1,0)  D．(0，－1)

解析：选D　r＝＝，当k＝0时，r最大，即圆的面积最大．所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，则圆心坐标为(0，－1)．

6．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到点(－3，－4)的距离的最大值为(　 )

A．9　　B．10　　　C．11　　　D．12

解析：选C　由题意，圆心的轨迹方程为(x－3)2＋(x－4)2＝1，则其圆心到点(－3，－4)的距离的最大值为＋1＝11.故选C.

7．设圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，若|OM|＝4，则圆C的标准方程为(　 )

A．x2＋(y－4)2＝4

B．x2＋(y－4)2＝16

C．x2＋(y＋4)2＝16

D．x2＋(y－4)2＝16或x2＋(y＋4)2＝16

解析：选D　因为圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，|OM|＝4，所以圆心坐标为(0，±4)，半径r＝4，所以圆C的方程为x2＋(y±4)2＝16，故选D.

8．动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为(　 )

A．1        B．2      C.  D．2

解析：选C　设动圆圆心M(x，y)，由题意，动圆M经过坐标原点，半径为1，可得MO＝1，即x2＋y2＝1，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝2，当且仅当x＝y＝时取等号，即x＋y≤，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为.

9．方程|y|－1＝表示的曲线是(　 )

A．一个椭圆      B．一个圆     C．两个圆  D．两个半圆

解析：选D　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.

10．已知圆x2＋y2＋4x－2y＋a＝0上仅有一点到直线3x－4y－5＝0的距离为1，则实数a的值为(　 )

A．11   B．－4  C．1  D．4

解析：选C　圆的标准方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，圆心为C(－2,1)，半径为r＝(a＜5)，圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝3.因为圆x2＋y2＋4x－2y＋a＝0上仅有一点到直线3x－4y－5＝0的距离为1，所以圆的半径r＝＝2，解得a＝1.

11．(2023·大连模拟)已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为(　 )

A.        B.        C.  D.

解析：选A　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方，由已知可得点P在直线x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线的距离，又点Q到直线的距离d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故选A.

12．已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为(　 )

A．(x－1)2＋(y－2)2＝

B．(x－1)2＋(y－2)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝

D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1

解析：选B　如图，由题意，圆C即(x－1)2＋(y－2)2＝2，半径r＝.因为CA⊥CB，所以AB＝r＝2，又P是AB的中点，所以CP＝AB＝1，所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.故选B.

13．过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________________．

解析：因为圆心在直线y＝0上，所以设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1,4)，B(3,2)两点，所以解得所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.

答案：(x＋1)2＋y2＝20

14．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．

解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝＝.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0<m<4.

答案：(0,4)

15．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．

解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，又圆心C的坐标是(1,1)，因此最小距离为＝3.

答案：3

二、重点难点培优训练

1．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　 )

A.       B．2       C.＋1  D.－1

解析：选C　因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为＝>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a＝＋1，最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离，即b＝＝，所以a－b＝＋1－＝＋1，故选C.

2．已知圆C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0.当C的面积最大时，实数a的值为______；若此时圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m＞0，n＞0)，则的最大值为________．

解析：圆C的方程可化为[x＋(a－1)]2＋(y－6)2＝－a2－2a＋37.当a＝－1时，－a2－2a＋37＝－(a＋1)2＋38取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大．此时，圆心坐标为(2,6)，且圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m＞0，n＞0)，故点(2,6)在直线l上，所以2m＋6n－6＝0，即m＋3n＝3，又＝，＋＝(m＋3n)＝≥10＋2＝，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以＝≤，故的最大值为.

答案：－1　

3．由圆x2＋y2＝9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

解：如图，设弦AB的中点M的坐标为M(x，y)，连接OP，OM，则OM⊥AB.在Rt△OMP中，由勾股定理有x2＋y2＋(x－5)2＋(y－12)2＝169，而M(x，y)在圆内，所以弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2－5x－12y＝0(－3＜x＜3)．