备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（七十二） 坐标系

这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（七十二） 坐标系，共4页。试卷主要包含了已知曲线C1等内容，欢迎下载使用。
课时验收评价（七十二） 坐标系1．(1)若点P的极坐标为，求点P的直角坐标；(2)求直线θ＝(ρ∈R)和圆ρ＝2的交点的极坐标．解：(1)由及P的极坐标为，得x＝ρcos θ＝3cos＝，y＝ρsin θ＝3sin＝－，从而P的直角坐标为.(2)显然是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是，所以交点的极坐标为，.2．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρcos＝.(1)把l的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P为椭圆C：x2＋＝1上一点，求P到l的距离的最小值．解：(1)由ρcos＝得ρcos θcos＋ρsin θsin＝ρcos θ＋ρsin θ＝，∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝，即x＋y－2＝0.(2)设P(cos α，sin α)，∴点P到l的距离d＝＝，∴当sin＝1时，dmin＝.3．已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4,0)，求△MPQ的面积．解：(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，即x2＋y2－6y＝0.从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sin θ.设B(ρ，θ)，则A.则有ρ＝6sin ＝－6cos θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ.(2)M到射线θ＝(ρ>0)的距离为d＝4sin＝2，射线θ＝(ρ>0)与曲线C1的交点P，其中，ρP＝6sin＝3，射线θ＝(ρ>0)与曲线C2的交点Q，其中，ρQ＝－6cos＝3，则|PQ|＝|ρP－ρQ|＝3－3，则S△MPQ＝|PQ|d＝3－3.4.数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：x2＋y2＝a(－y)(a>0)的形状如心形(如图)，称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当a＝2时，(1)求E的极坐标方程；(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且·＝0，求△OPQ的面积的最大值．解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线E，得ρ2＝2(ρ－ρsin θ)，即ρ＝2(1－sin θ)，所以E的极坐标方程为ρ＝2(1－sin θ)．(2)不妨设P(ρ1，θ)，Q，即ρ1＝2(1－sin θ)，ρ2＝2＝2(1－cos θ)，则△OPQ的面积S＝ρ1ρ2＝2(1－cos θ)(1－sin θ)＝2－2(sin θ＋cos θ)＋2sin θcos θ，由于(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，令t＝sin θ＋cos θ，则t∈[－，]，2sin θcos θ＝t2－1，则S＝2－2t＋t2－1＝t2－2t＋1＝(t－1)2，故当t＝－时，Smax＝(－－1)2＝3＋2，即△OPQ的面积的最大值为3＋2.5．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将曲线C1绕极点逆时针旋转后得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)若直线l：θ＝α(ρ∈R)与C1，C2分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．解：(1)设C2上任意一点的极坐标为(ρ，θ)，则在C1上，所以ρ＝4sin，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin.(2)设A(ρA，α)，B(ρB，α)，则|AB|＝|ρA－ρB|＝＝|6sin α＋2cos α|＝4≤4，当且仅当α＝时，等号成立，故|AB|的最大值为4.6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.解：(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，∴＋＝＝＝.7.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，B，C所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或，或.