备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(二十七)　余弦定理与正弦定理

课时验收评价(二十七)　余弦定理与正弦定理

一、点全面广强基训练

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝(　 )

A.  B．  C．4  D．

解析：选A　∵A＝60°，b＝2，c＝3，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－2×2×3×＝7，∴a＝.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，A＝，C＝，则b＝(　 )

A．2  B．2  C．2  D．6

解析：选C　因为A＝，C＝，所以B＝π－A－C＝，因为＝，所以b＝＝＝＝2.故选C.

3．在△ABC中，若asin B＝c－bcos A，则B＝(　 )

A.  B．

C.或π  D．或π

解析：选A　因为asin B＝c－bcos A，由正弦定理得sin Asin B＝sin C－sin Bcos A，

sin Asin B＝sin(A＋B)－sin Bcos A

＝sin Acos B＋cos Asin B－sin Bcos A

＝sin Acos B，

因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，

所以tan B＝，而B为三角形内角，故B＝.

4．在△ABC中， cos2＝，则△ABC的形状为(　 )

A．正三角形  B．直角三角形

C．等腰或直角三角形  D．等腰直角三角形

解析：选B　因为cos2＝，

所以＝，有cos B＝＝，

整理得a2＋b2＝c2，故C＝， △ABC的形状为直角三角形．

5．(2022·北京房山区二模)在△ABC中，BC＝6，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为(　 )

A．6  B．6  C．9  D．4

解析：选A　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴36＝c2＋b2－bc，∵sin B＝2sin C，∴b＝2c.解得c＝2，b＝4，∴△ABC的面积为S＝bcsin A＝×4×2×＝6.

6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.

解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.又∵a＝2，

∴b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，

∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.

答案：4

7．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.

解析：由题意，得S△ABC＝acsin B＝，即ac·＝，解得ac＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝3ac－2ac·＝8，解得b＝2(负值已舍去)．

答案：2

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，c＝7，A＋B＝，则sin B＝________.

解析：由三角形的内角和定理可得

A＋B＋C＝＝π，可得C＝，

由余弦定理可得

49＝c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋b2＋3b，

即b2＋3b－40＝0，因为b>0，解得b＝5，

由正弦定理＝

得sin B＝＝＝.

答案：

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin C－ccos A－c＝0.

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

解：(1)△ABC中，已知asin C－ccos A－c＝0，

由正弦定理可得sin Asin C－sin Ccos A－sin C＝0，

∵sin C≠0，∴1＝sin A－cos A＝2sin，

sin＝，△ABC中，A－∈，

∴A－＝，∴A＝.

(2)a＝2，△ABC的面积为，∴＝bcsin，解得bc＝4.

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，化为b＋c＝4.联立解得b＝c＝2，

∴b＝c＝2.

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a－c)(sin A＋sin C)＝(b－c)sin B．

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2bcos C，试判断△ABC的形状并给出证明．

解：(1)∵(a－c)(sin A＋sin C)＝(b－c)sin B，

∴由正弦定理得(a－c)(a＋c)＝(b－c)b，

∴＝，根据余弦定理知cos A＝.

又∵角A为△ABC的内角，∴A＝.

(2)△ABC为等边三角形．证明如下：

∵a＝2bcos C，

∴由正弦定理得sin A＝2sin Bcos C.

由三角形内角和公式得A＝π－(B＋C)，

故sin A＝sin(B＋C)，

∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，

整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝0，

∴sin(B－C)＝0，

又B－C∈(－π，π)，∴B＝C.

又由(1)知A＝，∴△ABC为等边三角形．

二、重点难点培优训练

1．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，，，则该三角形(　 )

A．是锐角三角形  B．是直角三角形

C．是钝角三角形  D．不存在

解析：选C　设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a，b，c边上的高分别为，，，则a·＝b·＝c·，令a＝14，则b＝10，c＝5，所以cos A＝<0，所以A为钝角，又b＋c>a，所以该三角形是钝角三角形．故选C.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2acos C＋b＝2ccos A，c＝a，则∠A＝(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选A　已知c＝a，由正弦定理，得sin C＝sin A，

所以sin2C＝3sin2A，有cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A，

由2acos C＋b＝2ccos A，

得2sin A·cos C＋sin B＝2sin C·cos A，

2sin A·cos C＋sin(A＋C)＝2sin C·cos A，

3sin A·cos C＝sin C·cos A，

9sin2A·cos2C＝sin2C·cos2A，

9sin2A·(1－3sin2A)＝3sin2A·(1－sin2A)，

由sin A≠0，解得sin A＝±，

又0<A<π，所以A＝.故选A.

3．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝ab，且bccos A＋accos B＝c＋1，则S的最大值为(　 )

A．6  B．4  C．2  D．1

解析：选C　由S＝ab＝absin C，得sin C＝，又△ABC是锐角三角形，所以cos C＝，

由余弦定理及bccos A＋accos B＝c＋1，得＋＝c＋1，整理得2c2－3c－2＝0，所以c＝2(负值舍去)，

所以4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，所以ab≤5，S＝ab≤2，当且仅当a＝b时取等号．

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①a＝；②b＝2；③cos 2A＋cos A＝0；④a2＋c2－b2＝－ac.

(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

(2)已知△ABC同时满足上述四个条件中的三个．请选择使△ABC有解的三个条件，求△ABC的面积．

解：(1)由条件③cos 2A＋cos A＝0，可得2cos2A＋cos A－1＝0.解得cos A＝或cos A＝－1，

因为A∈(0，π)，所以A＝；

由条件④a2＋c2－b2＝－ac，可得cos B＝＝－，

因为cos B＝－<－＝cos，且B∈(0，π)，

而y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以<B<π.

若条件③④能同时成立，

则A＋B>＋＝π与A＋B<π矛盾，

所以③④两个条件不能同时成立．

(2)因为△ABC同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，

则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.

若选择①②③：由(1)知A＝，由＝，

可得sin B＝＝＝1，

因为B∈(0，π)，所以B＝，所以△ABC为直角三角形，

所以c＝＝1，所以△ABC的面积S＝×1×＝.

若选择①②④：由(1)知cos B＝－，

由b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝3＋c2－2×c×，即c2＋2c＝1，解得c＝－1(负值舍去)．

因为B∈(0，π)，所以sin B＝＝＝，

所以△ABC的面积S＝acsin B＝××(－1)×＝.