备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(十三)　函数模型及其应用

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课时验收评价(十三)　函数模型及其应用1．基本再生数R0与世代间隔T是某传染病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在其初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　 )A．1.2天  B．1.8天C．2.5天  D．3.5天解析：选B　因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8天．2．(2023·砀山中学高三阶段练习)纳皮尔著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式t＝4[log3(T1－T0)－log3(T－T0)]得出；现有一杯温度为70 ℃的温水，放在空气温度为零下10 ℃的冷藏室中，则当水温下降到10 ℃时，经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 )A．3.048分钟  B．4.048分钟C．5.048分钟  D．6.048分钟解析：选C　依题意，T1＝70，T0＝－10，T＝10，代入公式得：t＝4[log3(T1－T0)－log3(T－T0)]＝4(log380－log320)＝4log3＝4log34＝＝≈≈5.048(分钟)，故选C.3．(2023·乳山银滩高级中学高三阶段练习)指数衰减的学习率模型为L＝L0D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　 )A．72  B．74  C．76  D．784．(2023·全国模拟预测)上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200～250平方步之间，则这块田地的亩数是(　 )A.  B．1  C.  D．2解析：选B　总的面积为15×16＝240(平方步)．因为一亩约在200～250平方步之间，所以转化为亩数为之间，即之间，对照四个选项，只有B正确．故选B.5．(2023·灵宝第一高级中学模拟预测)某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了(参考数据lg 2≈0.3)(　 )A．17天  B．15天  C．12天  D．10天解析：选A　设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·x(x∈N*)，根据题意，令2a·x＝a·20，即241－2x＝520－x，两边取以10为底的对数得(41－2x)lg 2＝(20－x)lg 5，所以(41－2x)×0.3＝(20－x)×0.7解得x＝17.故选A.6．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．(总利润＝总收入－成本)解析：根据题意得，L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－Q2＋3Q－200＝－(Q－300)2＋250，所以当Q＝300时，总利润取得最大值250万元．答案：2507．(2023·河南高三阶段练习)生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝________.解析：因为λ＝λ(1－3－8λ)，所以3－8λ＝＝3－2，解得λ＝.答案：8．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水．则一定正确的论断是________(填序号)．解析：由甲、乙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中0时到3时直线的斜率为2，即水量增加速度为2，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；不进只出水时，蓄水量减少的速度为2,3时到4时，减少速度为1，故②不正确；4时到5时速度为0，若两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确．答案：①9．(2023·盐城伍佑中学高三开学考试)某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示．(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式；(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，求分别对A，B两种芯片投入多少资金时，该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．(净利润＝A芯片的毛收入＋B芯片的毛收入－研发耗费资金)解：(1)∵生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，∴可设y＝mx(m>0，x>0)，∵每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，∴m＝0.25＝，∴生产A芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y＝x(x>0)；由题图可知解得∴生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y＝(x>0)．(2)设对B芯片投入的资金为x千万元，则对A芯片投入的资金为(40－x)千万元，设净利润为W千万元，则W＝＋(40－x)－2(0<x<40)，令t＝∈(0,2)，则W＝－t2＋t＋8，则当t＝2，即x＝4时，Wmax＝－1＋2＋8＝9，∴当对A芯片投入3.6亿元，对B芯片投入0.4亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润为9千万元．10．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n年(n∈N*)花在该台运输车上的维护费用总计为(n2＋5n)万元，该车每年运输收入为25万元．(1)该车运输几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．解：(1)由题意可得25n－49－(n2＋5n)>0，即n2－20n＋49<0，解得10－<n<10＋，∴n≥3，∴该车运输3年开始盈利．(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，即＝20－≤6，当且仅当n＝7时，取等号，∴方案①最后的利润为25×7－49－(49＋35)＋17＝59(万元)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，y＝25n－49－(n2＋5n)＝－n2＋20n－49＝－(n－10)2＋51，∴n＝10时，利润最大，∴方案②的利润为51＋8＝59(万元)，两个方案的利润都是59万元，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，∴方案①较为合算．