备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（七十四） 绝对值不等式

课时验收评价（七十四） 绝对值不等式

1．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋2|.

(1)若a＝1，求不等式f(x)≤5的解集；

(2)若f(x)>2a，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，不等式f(x)≤5可化为|x－1|＋|x＋2|≤5，

当x≤－2时，不等式化为－x＋1－x－2≤5，

∴x≥－3，此时－3≤x≤－2；

当－2<x≤1时，不等式化为－x＋1＋x＋2≤5，因为3<5恒成立，∴－2<x≤1；

当x>1时，不等式化为x－1＋x＋2≤5，∴x≤2，此时1<x≤2，综上所述，不等式的解集为[－3,2]．

(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋2|≥|x－a－x－2|＝|a＋2|，当且仅当(x－a)(x＋2)≤0时取等号，

若f(x)>2a，则|a＋2|>2a，

当a<0时，不等式恒成立；

当a≥0时，不等式|a＋2|>2a，两边平方可得a2＋4a＋4>4a2，解得－<a<2，∴0≤a<2，

综上可得，a的取值范围是(－∞，2)．

2．已知不等式|x＋2|＋|x－2|<18的解集为A.

(1)求集合A；

(2)若∀a，b∈A，x∈R，不等式a＋b>|x－7|－|x|＋m恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)|x＋2|＋|x－2|<18⇒

或或解得x∈(－9,9)，∴A＝(－9,9)．

(2)∵a，b∈(－9,9)，∴a＋b∈(－18,18)，∵|x－7|－|x|≤|x－7－x|＝7，∴(|x－7|－|x|＋m)max＝m＋7，由题意可得－18≥m＋7，∴m≤－25.故m的取值范围为(－∞，－25]．

3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.

(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象．

(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．

解：(1)f(x)＝g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|＝

所以y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图．

(2)要使f(x＋a)≥g(x)，即|x＋a－2|≥g(x)，

则如图即为其临界状态．

所以解得a≥.

所以a的取值范围为.

4．已知函数f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|.

(1)求不等式f(x)≥4的解集；

(2)设g(x)＝f(x)－|x－2|，若g(x)的最小值为m，实数a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝m，求＋＋的最小值．

解：(1)f(x)≥4，即|2x－4|＋|x＋1|≥4.

当x≥2时，2x－4＋x＋1≥4，解得x≥；

当－1<x<2时，4－2x＋x＋1≥4，解得x≤1，又－1<x<2，所以－1<x≤1；

当x≤－1时，4－2x－x－1≥4，解得x≤－，又x≤－1，所以x≤－1.综上，不等式f(x)≥4的解集为(－∞，1]∪.

(2)g(x)＝|2x－4|＋|x＋1|－|x－2|＝|x－2|＋|x＋1|≥|(x－2)－(x＋1)|＝3，

当且仅当(x－2)(x＋1)≤0，即－1≤x≤2时取等号，所以g(x)min＝3，即m＝3.

所以a＋b＋c＝3，＋＋＝(a＋b＋c)·＝3＋＋＋＋＋＋≥＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，即＋＋的最小值为3.

5．设函数f(x)＝|x－1|，x∈R.

(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；

(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，

所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔或或

解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，

所以0≤x≤3，

故不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集为[0,3]．

(2)因为⊆M，所以当x∈时，

f(x)≤f(x＋1)－|x－a|恒成立，

而f(x)≤f(x＋1)－|x－a|⇔|x－1|－|x|＋|x－a|≤0⇔|x－a|≤|x|－|x－1|，

因为x∈，所以|x－a|≤1，

即x－1≤a≤x＋1，

由题意，知x－1≤a≤x＋1对于任意的x∈恒成立，所以≤a≤2，故实数a的取值范围为.

6．设函数f(x)＝＋|x－2m|(m>0)．

(1)求证：f(x)≥8恒成立；

(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围．

解：(1)证明：由绝对值三角不等式的性质及m>0，

得f(x)＝＋|x－2m|≥

＝＝＋2m≥2 ＝8，

当且仅当＝2m，即m＝2时取等号．

所以f(x)≥8恒成立．

(2)f(1)＝＋|1－2m|(m>0)，

当 1－2m<0，即m>时，

f(1)＝1＋－(1－2m)＝＋2m，

由f(1)>10，得＋2m>10，化简得m2－5m＋4>0，

解得m<1或m>4，所以<m<1或m>4；

当1－2m≥0，即0<m≤时，f(1)＝1＋＋(1－2m)＝2＋－2m.由f(1)>10，得2＋－2m>10，此式在0<m≤时恒成立．

综上，当f(1)>10时，实数m的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞)．

7．已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．

解：(1)由题意，可得函数f(x)＝

由f(x)≥3可知，

①当x≥1时，3x≥3，即x≥1；

②当－<x<1时，x＋2≥3，

即x≥1，与－<x<1矛盾，舍去；

③当x≤－时，－3x≥3，即x≤－1.

综上可知，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥1}．

(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，

其中A，B(1,3)，

由kAB＝1，知y＝x＋a图象与直线AB平行，若要围成多边形，则a>2.易得y＝x＋a与y＝f(x)图象交于两点C，D，

则|CD|＝·＝a.平行线AB与CD间的距离d＝＝，且|AB|＝，

∴梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a>2)．即(a＋2)·(a－2)＝12，∴a＝4，故所求实数a的值为4.