备战2024高考一轮复习数学(理) 课时验收评价(六十) 直线与圆锥曲线的位置关系
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这是一份备战2024高考一轮复习数学(理) 课时验收评价(六十) 直线与圆锥曲线的位置关系,共6页。试卷主要包含了点全面广强基训练,重点难点培优训练等内容,欢迎下载使用。
课时验收评价(六十) 直线与圆锥曲线的位置关系一、点全面广强基训练1.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=8,则弦AB的中点到y轴的距离为( )A.2 B.3 C.4 D.6解析:选B 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义得,焦点弦|AB|=x1+x2+p,所以8=x1+x2+2,则x1+x2=6,所以AB的中点到y轴的距离为d===3.故选B.2.直线y=kx+1,当k变化时,此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是( )A.2 B.C.4 D.不能确定解析:选B 直线恒过定点(0,1),且点(0,1)在椭圆上,可设另外一个交点为(x,y),则弦长为== ,当y=-时,弦长最大为.3.已知椭圆M:+=1(a>b>0),过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为(2,1),则椭圆M的方程为( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=1解析:选D 直线AB的斜率k==-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程可得,+=1,+=1,两式相减,整理得-=0,又c=3,a2=b2+c2,联立解得a2=18,b2=9.所以椭圆M的方程为+=1,故选D.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论不正确的是( )A.p=2 B.F为AD的中点C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2解析:选D 如图,F,直线l的斜率为,则直线方程为y=,联立得12x2-20px+3p2=0,解得xA=,xB=,由|AF|=+=2p=4,得p=2.∴抛物线的方程为y2=4x,xB==,则|BF|=+1=,|BD|==,∴|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|=+=4,则F为AD的中点.故选D.5.已知双曲线C:-=1的右焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点,且∠AFB=60°,则△OBF的面积为( )A. B. C. D.解析:选D 如图,设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1.依题意可知,四边形AFBF1为平行四边形,由∠AFB=60°可得∠F1BF=120°.|F1F|=2c=2=10,在△BF1F中,由余弦定理可得|BF1|2+|BF|2-2|BF1||BF|·cos∠F1BF=|F1F|2,即|BF1|2+|BF|2+|BF1||BF|=100.①又因为点B在双曲线上,所以||BF1|-|BF||=2a=8,两边平方得|BF1|2+|BF|2-2|BF1||BF|=64.②①-②得3|BF1||BF|=36,即|BF1||BF|=12,所以S△F1BF=|BF1||BF|sin∠F1BF=×12×=3,因为O为F1F的中点,所以S△OBF=S△F1BF=,故选D.6.已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为________.解析:由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由题意,得=,解得m=±1.答案:±17.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=________,+=________.解析:由=1,得p=2.当直线l的斜率不存在时,l:x=1,与y2=4x联立解得y=±2,此时|AF|=|BF|=2,所以+=+=1;当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),代入抛物线方程,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,+=====1.综上,+=1.答案:2 18.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是_______.解析:如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以=,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程+=1,得13x2+8cx-32c2=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以|DE|= ===6,解得c=,所以a=2c=,所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13.答案:139.已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点P,左焦点为F(-,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若A是椭圆E的右顶点,过点F且斜率为的直线交椭圆E于M,N两点,求△AMN的面积.解:(1)由题意得椭圆E的右焦点为(,0),即c=,则由椭圆的定义得 +=2a,解得a=2.又c=,∴b2=a2-c2=1,∴椭圆E的方程为+y2=1.(2)过F(-,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+),联立消去x,得8y2-4y-1=0,显然Δ>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则∴|y1-y2|=,∵A是椭圆E的右顶点,∴|AF|=2+,∴△AMN的面积S=|AF|·|y1-y2|=×(2+)×=.10.已知抛物线C:x2=2py(p>0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点.(1)若AB∥l,且△ABD的面积为1,求抛物线的方程;(2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N.证明:直线AN与抛物线相切.解:(1)∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p.∴S△ABD=p2,∴p=1,故抛物线C的方程为x2=2y.(2)证明:设直线AB的方程为y=kx+,由得x2-2kpx-p2=0.∴x1+x2=2kp,x1x2=-p2.其中A,B.∴M,N.∴kAN=====.又x2=2py,∴y′=.∴抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=.∴直线AN与抛物线相切.二、重点难点培优训练1.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )A. B.3 C.2 D.4解析:选B 因为双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,所以∠MON=60°.不妨设过点F的直线与直线y=x交于点M,由△OMN为直角三角形,不妨设∠OMN=90°,则∠MFO=60°,又直线MN过点F(2,0),所以直线MN的方程为y=-(x-2),由得所以M,所以|OM|= =,所以|MN|=|OM|=3,故选B.2.已知椭圆+=1(a>b>0)短轴的端点为P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为________.解析:设A(x0,y0),则B点坐标为(-x0,-y0),则·=-,即=-,由于+=1,则=-,故-=-,则=,不妨取M(a,0),则直线QM的方程为bx-ay-ab=0,则点P到直线QM的距离为d===b.答案:b3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为________.解析:法一:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,所以即因为kAB=kMN,所以==-.将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,得两式相减,得+=0,由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以·=-,即·=-,整理得m2=2n2 ①.又|MN|=2,所以由勾股定理,得m2+n2=12 ②,由①②并结合m>0,n>0,得所以直线l的方程为+=1,即x+y-2=0.法二:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q,则kAB==-,kOQ==.由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-=-,即·=-,以下同法一.答案:x+y-2=04.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C满足3=,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点,求直线AB的方程.解:(1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得a2=18.所以椭圆的方程为+=1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥CP.依题意,直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.联立消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x=.依题意,可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为,所以点P的坐标为.由3=,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为,即.又因为AB⊥CP,所以k·=-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k=或k=1.所以直线AB的方程为y=x-3或y=x-3.
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