备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(七)　函数性质的综合应用

课时验收评价(七)　函数性质的综合应用

1．已知偶函数y＝f(x)在(0，＋∞)递减，则关于m的不等式f<f(2)的解集为(　 )

A．(－2,0)∪(0,2)  B．(0,2)

C.∪  D．

解析：选C　由于偶函数y＝f(x)在(0，＋∞)递减，由f<f(2)可得f<f(2)，所以>2，所以0<|m|<，解得－<m<0或0<m<.

2．(2023·全国高三专题练习)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　 )

A．f(－3)＝1  B．f(0)＝0

C．f(3)＝2  D．f(5)＝－1

解析：选A　函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则必有f(3－x)＝f(x＋3)，所以，f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)，又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，所以，f(1)＝2－f(1)，f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1，A正确．

3．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上(　 )

A．有最大值4  B．有最小值－4

C．有最大值－3  D．有最小值－3

解析：选B　根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.

4．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　 )

A．(2，＋∞)  B．∪(2，＋∞)

C.∪(，＋∞)  D．(，＋∞)

解析：选B　因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或0<x<.

5．(2023·全国高三专题练习)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　 )

A．5  B．1  C．－1  D．－5

解析：选B　因为g(x)的图象关于x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函数，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，且g(x＋2)＝|x|f(x＋2)，所以，|x|f(2－x)＝|x|f(2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此，g(3)＝|3－2|f(3)＝f(1)＝1.

6．奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 021)＝(　 )

A．0  B．1  C．2  D．－1

解析：选B　因为函数f(x)为奇函数且在x＝0处有定义，所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，

所以当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，

因为f(2－x)＝f(x)，

所以f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，

所以4是函数f(x)的周期，

则f(2 021)＝f(1)＝log22＝1.故选B.

7．(2023·莆田第三中学高三阶段练习)若函数f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则(　 )

8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数．若f(x)在(0,3)上单调递减，则下列结论正确的是(　 )

解析：选A　∵f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6.又∵y＝f(x＋3)为偶函数，∴f(x＋3)＝f(－x＋3)，∴f(10)＝f(4＋6)＝f(4)＝f(1＋3)＝f(－1＋3)＝f(2)．∵1<e<2,0<ln 2<1，∴0<ln 2<1<e<2.又∵f(x)在(0,3)上单调递减，∴f(2)<f<f(ln 2)，即f(10)<f<f(ln 2)，故选A.

9．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1<x2时，都有>0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，则a，b，c的大小关系正确的是(　 )

A．a<b<c  B．b<a<c

C．a<c<b  D．c<b<a

解析：选B　由①知函数f(x)在区间[4,8]上单调递增．由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，所以b＝f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区间[4,8]上单调递增，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.

10．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(3x－2)为偶函数，f(2x－1)为奇函数，则下列说法正确的是(　 )

①函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；②函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称；③函数f(x)的周期为4；④f(2 023)＝0.

A．①②③  B．①②④

C．②③④  D．①③④

解析：选C　因为f(3x－2)为偶函数，所以f(3x－2)＝f(－3x－2)，所以f(x－2)＝f(－x－2)，f(x)＝f(－x－4)，所以函数f(x)关于直线x＝－2对称，不能确定f(x)是否关于直线x＝1对称，①错误；因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，故②正确；由①可知，f(x)＝f(－x－4)，由②可知，f(x)＝－f(－x－2)，故有f(－x－4)＝－f(－x－2)，令x＝－x，则有f(x－4)＝－f(x－2)，所以＝|－4－(－2)|，解得T＝4，所以函数f(x)的周期为4，故③正确；f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝0，故④正确．

11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　 )

A．－3  B．－2  C．0  D．1

解析：选A　因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)　①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.

12．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝2－f(－x)，且函数f(x＋1)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝1－x2，则f(2 021)＝________.

解析：∵定义在R上的函数f(x)满足：

f(x)＝2－f(－x)，且函数f(x＋1)是偶函数，

∴f(x＋1)＋f(－x－1)＝2且

f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(－x＋1)＋f(－x－1)＝2，∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2.

即f(x＋2)＋f(x)＝2　①；

f(x＋4)＋f(x＋2)＝2　②.

②－①得f(x＋4)＝f(x)．

故函数f(x)的周期为4，∴f(2 021)＝f(2 020＋1)＝f(1)＝2－f(－1)＝2－0＝2.

答案：2

13．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝f(x－1)，f(1－x)＋f(x)＝1，则f(x)的最小正周期为________，f(x)的一个解析式可以为__________．

解析：因为f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)＝f(x－2)，f(x)的最小正周期为2.因为f(1－x)＋f(x)＝1，所以函数f(x)关于点对称，满足关于点对称以及最小正周期为2的方程可以为f(x)＝＋cos πx.

答案：2　f(x)＝＋cos πx(答案不唯一)

14．函数y＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.则对于函数f(x)＝|x－[x]|，有下列说法：①f(x)的值域为[0,1)；②f(x)是以1为周期的周期函数；③f(x)是偶函数；④f(x)在区间[1,2)上是单调递增函数．其中，正确的命题序号为________．

解析：当x∈[n，n＋1)时，[x]＝n，

f(x)＝|x－n|＝x－n，所以f(x)∈[0,1)，故①④正确；

当x∈[n，n＋1)时，则x＋1∈[n＋1，n＋2)，[x＋1]＝n＋1，f(x＋1)＝|x＋1－[x＋1]|＝|x＋1－(n＋1)|＝|x－n|＝f(x)，故②正确；f＝＝，f＝＝，所以③错误．

答案：①②④