【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第08讲《基本不等式》讲学案（必修1）

第08讲  基本不等式

       【学习目标】

1.掌握基本不等式.

2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.

3.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.

4.能够利用基本不等式解决实际问题.

【基础知识】

知识点一　基本不等式

如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式．

知识点二　基本不等式与最大(小)值

当x，y均为正数时，下面的命题均成立：

(1)若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；(简记：和定积有最大值)

(2)若xy＝P(P为定值)，则当且仅当 x＝y时，x＋y取得最小值 2.(简记：积定和有最小值)

知识点三　基本不等式的实际应用

基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：

(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量．

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．

(4)根据实际意义写出正确的答案．

   【考点剖析】

考点一：对基本不等式的理解及简单应用

例1．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（       ）

已知，求的最小值；解答过程：；

求函数的最小值；解答过程：可化得；

设，求的最小值；解答过程：，

当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】

【分析】

利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案．

【详解】

对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，

此时，

当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；

对：，

当且仅当，即时取等号，

但，则等号取不到，故的用法有误；

对：，，，

当且仅当，即时取等号，故的用法有误；

故使用正确的个数是0个，

故选：.

考点二：利用基本不等式比较大小

例2．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出与的大小关系.

【详解】

因为、是正实数，且，则，

，因此，.

故选：B.

考点三：利用基本不等式证明不等式

例3．设，为正实数，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：因为，为正实数，所以，，，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号.

考点四：利用基本不等式求最值

例4．若，且.则的最小值为（       ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可知，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求出结果.

【详解】

因为，

所以，当且仅当时，即时，等号成立.

故选：D.

考点五：利用基本不等式求解恒成立问题

例5．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意当时，不等式恒成立，由于的最小值等于3，可得，从而求得答案．

【详解】

当时，不等式恒成立，

对均成立．

由于，

当且仅当时取等号，

故的最小值等于3，

，

则实数a的取值范围是．

故选：D．

考点六：基本不等式在实际问题中的应用

例6．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，米，米．

(1)要使扩建成的花坛面积大于27米，则AN的长度应在什么范围内？

(2)当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．

【答案】(1)或

(2)当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米

【解析】

【分析】

（1）设，（），由∽，得到，然后得到花坛AMPN的面积，再由求解；

（2）由（1）的结果变形，然后利用基本不等式求解；

(1)

解：设，则．

∽，

，即，

解得．

花坛AMPN的面积．

由，得，则，

解得或，

故AN的长度范围是或．

(2)

由，

当且仅当，即时，等号成立．

当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米．

【真题演练】

1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析:，所以错;，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，错;同时错;或都是正数，根据基本不等式求最值，，故正确.

考点：不等式的性质

2．若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

3． 设，，，则的最小值为__________.

【答案】.

【解析】

【分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．

故所求的最小值为．

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

4．若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是      (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②+≤； ③a2+b2≥2；④a3+b3≥3;.

【答案】①③⑤

【解析】

【详解】

对于①：因为，，所以，所以，故①项正确；

对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误；

而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；

对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；

对于④：，故④项错误；

对于⑤+==≥2，故⑤项正确；

故本题正确答案为：①③⑤.

5．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．

【答案】

【解析】

【详解】

总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.

点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

6．要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）

【答案】160

【解析】

【分析】

设底面长方形的长宽分别为和，先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.

【详解】

设底面长方形的长宽分别为和，则，

所以总造价

当且仅当的时区到最小值

则该容器的最低总造价是160.

故答案为：160.

7．已知，且，则的最大值为________________

【答案】

【解析】

【详解】

，当且仅当x=4y=时取等号.

8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.

（Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【解析】

【详解】

试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值

试题解析:(1)如图，设矩形的另一边长为$am$

则

由已知，得

所以

(2)

.当且仅当时，等号成立.

即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

9．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac；

（Ⅱ）.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.

【解析】

【详解】

（Ⅰ）由，，得：

，

由题设得，

即，

所以，即.

（Ⅱ）因为，，，

所以，

即，

所以.

本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式，相加即得到.在应用均值不等式时，注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.

【考点定位】

本小题主要考查不等式的证明，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.

10．若，且

（1）求的最小值；

（2）是否存在，使得， 并说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

【分析】

（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．

【详解】

（1）由，得，且当时取等号．

故，且当时取等号．

所以的最小值为；

（2）由（1）知，．

由于，从而不存在，使得成立．

       【过关检测】

1．下列结论中正确的是（       ）

A．若，则

B．

C．函数最小值为

D．若，则的最小值为

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.

【详解】

A选项，若，则，A选项错误.

B选项，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，B选项错误.

C选项，，

，当且仅当时等号成立，C选项正确.

D选项，当时，，，D选项错误.

故选：C

2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图形，求出圆的半径以及 .再利用勾股定理求得 ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.

【详解】

设，可得圆的半径为，

又由，

在直角中，可得，

因为，所以，当且仅当时取等号．

故选：D.

3．当时，的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式直接求解.

【详解】

，，又

，当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值为

故选：B

4．给出下面三个推导过程：

①∵a、b为正实数，∴＋＝2；

②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；

③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.

其中正确的推导为（       ）

A．①② B．①③

C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】

【分析】

利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导.

【详解】

①，根据基本不等式的知识可知①正确.

②，当时，，所以②错误.

③，根据基本不等式的知识可知③正确.

所以正确的为①③.

故选：B

5．已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式“1”的代换即可求解.

【详解】

，

当且仅当，即，即时，等号成立

故当，时，取最小值.

故选：C

6．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（       ）

A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q

C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P

【答案】B

【解析】

【分析】

结合基本不等式、差比较法确定正确选项.

【详解】

依题意，

根据基本不等式可知，

，

，

所以.

所以，即.

故选：B

7．已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值(       )

A． B． C． D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

恒成立﹒转化为用基本不等式计算2a＋b的最小值﹒

【详解】

由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值，

由a＞0，b＞0，1，

可得2a＋b＝(2a＋b)()＝3，当且仅当时取等号，∴m≤，∴m的最大值为，

故选：C．

8．已知正数x、y满足，则xy的最大值为_______.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据，利用基本不等式即可得出答案.

【详解】

解：，

当且仅当，即时，取等号，

所以xy的最大值为8.

故答案为：8.

9．若，，，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.

【详解】

因为，，由基本不等式可得，

即，解得，即，当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故答案为：.

10．已知实数满足，则的最大值为___________.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.

【详解】

因实数满足，则，当且仅当时取“=”，

由且解得或，

所以当或时，取最大值1.

故答案为：1

11．若，则的最小值是_________.

【答案】5

【解析】

【分析】

利用配凑法转化成形式一致的因式，再根据基本不等式“一正，二定，三相等”求出最小值即可.

【详解】

，

当且仅当即时，等号成立，此时.

故答案为：.

12．函数的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

依据均值定理去求函数的最小值.

【详解】

(当且仅当时等号成立)

故答案为：

13．已知x>，则的最小值为____．

【答案】15

【解析】

【分析】

对添项为：，再由基本不等式即可求出答案.

【详解】

，当且仅当即x=4时，等号成立．

故答案为：15.

14．当时，函数的最小值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

因为，则，则，

当且仅当时，等号成立，

所以，当时，函数的最小值为.

故答案为：.

15．已知，，且，则的最小值是________.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据基本不等式求的最小值.

【详解】

因为，，且，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值是8，

故答案为：8.

16．已知，，且，则的最小值为_________

【答案】

【解析】

【分析】

利用基本不等式“1”的妙用进行求解

【详解】

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故答案为：

17．已知，，，则的最小值为__．

【答案】

【解析】

【分析】

利用代入变形后根据基本不等式可求出结果.

【详解】

，当且仅当析，时，等号成立.

故答案为：

18．已知，求证：.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

由题知，进而根据基本不等式求解即可.

【详解】

解：因为，所以，

所以，

当且仅当即，等号成立，

所以，证毕.

19．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宜传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

【答案】(1)

(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；

（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

(1)

宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，

则梯形长的底边，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

，，

故海报面积为．

(2)

直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

海报宽，海报长，

故，

当且仅当，即，

故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．