【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第3章《不等式》综合测试（必修1）

第3章 不等式综合测试

一、单选题

1．下列命题中正确的是（       ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】B

【解析】

【分析】

结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.

【详解】

解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；

选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；

选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；

选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误.

故选：B

2．若为实数，且，则下列命题正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

对于A，当时，，可判断；

对于B，举反例，当，时，代入比较可判断；

对于C，作差 ，由已知可判断；

对于D，运用作差比较法可判断.

【详解】

对于A，当时，，A错误；

对于B，当，时，，，此时，B错误；

对于C，因为，所以，又，，C错误；

对于D，，，，，

，D正确.

故选：D.

3．若x>1，则有（       ）

A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1

【答案】A

【解析】

【分析】

将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.

【详解】

因x>1，则1，当且仅当，即时取等号.

所以有最小值为1.

故选：A

4．若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（       ）

A．m≥1 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4

【答案】C

【解析】

【分析】

x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.

【详解】

解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.

∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，

∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.

解得m≥3.

则实数m的取值范围是[3，+∞）.

故选：C.

5．设一元二次不等式的解集为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据和是方程的两个根，由韦达定理解得和，可得结果.

【详解】

由题意可知方程的根为，

由韦达定理得：，，

解得，所以.

故选：B.

6．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（       ）

A．{a|a<2} B．{a|a≤2}

C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2}

【答案】D

【解析】

【分析】

分a－2＝0和a－2≠0两种情况进行讨论，第一种情况很容易验证符合题意，第二种情况结合二次函数的特点，讨论开口方向和判别式从而可求出参数的取值范围.

【详解】

当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；

当a－2≠0时，由题意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，

故选:D．

【点睛】

易错点睛:

本题的易错点是忽略了的系数可能为零这种情况，只根据二次函数来求参数，导致求出参数的范围比实际小.

7．设，则下列不等式中恒成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

ABD通过举反例可知错误，C利用不等式的性质可证明.

【详解】

对于A，例如，，此时满足，但，故A错，

对于B，例如，，此时满足，但，故B错，

对于C，，故C正确，

对于D，例如，此时满足，，故D错，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了由条件不等式判断不等关系，属于基础题.

8．已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得恒成立，由利用基本不等式求最值即可求解.

【详解】

若恒成立，则，

因为，

当且仅当，即时取等号．

所以

所以，即，

解得：．

故选：C

【点睛】

方法点睛：求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法

若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.

二、多选题

9．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.

【详解】

关于的不等式的解集为选项正确；

且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，

则，则，C选项错误；

不等式即为，解得选项正确；

不等式即为，即，解得或选项正确.

故选：.

10．设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

由已知可得，作差即可比较大小，得出答案.

【详解】

∵，两式相减得，即，∴．

又，∴．

而．∴，从而．

故选：BD．

11．已知实数x，y满足则（       ）

A．的取值范围为 B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

【答案】ABD

【解析】

利用不等式的性质直接求解.

【详解】

因为，所以.因为，所以，则，故A正确；

因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；

因为，所以，则，故C错误；

因为，所以，则，故D正确.

故选：ABD.

12．关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的值可以为（       ）

A． B．1 C．－1 D．2

【答案】AC

【解析】

【分析】

由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1,所以分这3个数为，或分别计算求解即可.

【详解】

不等式的解集中恰有3个整数

当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.

当时，不等式的解集中有无数个整数.

所以，，，所以

所以不等式的解集为：，

由不等式的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1.

则这3个整数为：，或

若这3个整数为：，则，

解得：

若这3个整数为：则，

解得：

所以实数的取值集合是.

故选：AC.

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.

三、填空题

13．设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，要使二次函数在区间上仅有一个零点，只需当时，函数值小于0即可，列出不等式，从而可得答案.

【详解】

解：因为二次函数的对称轴为，且图像开口向上，

因为函数在区间上仅有一个零点，

所以当时，，解得.

故答案为：.

14．若正数，满足，则的最小值为______.

【答案】8

【解析】

【分析】

对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.

【详解】

因为，则，又，是正数.

所以，

当取得等号，即且时取等号，

所以的最小值为8，

故答案为：8

15．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2．

【答案】25

【解析】

【分析】

设矩形的一边为xm，面积为ym2，进而可得另一边的表示，利用基本不等式求解可得矩形场地的最大面积．

【详解】

设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，

∴y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．

故答案为：25

16．若正数、满足，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】

已知正数、满足，则，

所以，，

当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了的妙用，考查计算能力，属于基础题.

四、解答题

17．已知关于x的不等式－x2+ax+b>0.

(1)若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值；

(2)若b=a+1，求此不等式的解集.

【答案】(1)a=－2，b=8

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系得出方程的根，然后由韦达定理列式求解；

（2）根据相应一元二次方程的根的大小分类讨论可得．

(1)

根据题意得

解得a=－2，b=8.

(2)

当b=a+1时，－x2+ax+b>0⇔x2－ax－（a+1）<0，

即[x－（a+1）]（x+1）<0.

当a+1=－1，即a=－2时，原不等式的解集为；

当a+1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为（a+1，－1）；

当a+1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为（－1，a+1）.

综上，当a<－2时，不等式的解集为（a+1，－1）；当a=－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为（－1，a+1）.

18．若不等式的解集是．

(1)解不等式；

(2)b为何值时，的解集为R．

【答案】(1)或

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，

（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围

(1)

由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，

所以不等式化为，，

解得或，

所以不等式的解集为或

(2)

由（1）可知的解集为R，

所以，解得，

所以的取值范围为

19．汽车在行驶过程中，遇到特别情况需要刹车，从刹车（刹死车轮）到停止汽车所走过的路程称为刹车距离.已知某汽车的刹车距离s（单位：m）与速度v（单位：）之间的关系可近似表示为.若该汽车在某路段行驶过程中，前方80m处可能会突然出现障碍物，驾驶员从发现障碍物到刹车需经过0.8s的反应时间，为了安全，汽车必须在障碍物前5m处停住.问：这辆汽车在该路段最大限制速度是多少？

【答案】27.19

【解析】

【分析】

根据题意可得，解得即可得出答案.

【详解】

解：由题意可知，

即，解得，

所以这辆汽车在该路段最大限制速度是27.19.

20．（1）已知，则取得最大值时的值为？

（2）已知，则的最大值为？

（3）函数 的最小值为？

【答案】（1）；（2）1；（3）

【解析】

【分析】

（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；

（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；

（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.

【详解】

（1），

当且仅当，即时，取等号.

故所求的值为.

（2）因为，所以，

则.

当且仅当，即时，取等号.

故的最大值为1.

（3）

.

当且仅当，即时，取等号.

故函数的最小值为.

21．已知函数的零点为

（1）求二次函数的解析式；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）或；（3）．

【解析】

【分析】

（1）利用韦达定理求出、的值即可；

（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值即可；

（3）易得的最小值为12，然后解出不等式即可.

【详解】

（1）由题知2和3是方程的两个根．

由根与系数的关系得即，所以．

（2）不等式对于任意恒成立，由于的对称轴是，

由二次函数的知识可得，当时二次函数取最大值，

所以只需，即，解得或．

（3）当时，取得最小值为12，故，即

解得，即的取值范围为

22．已知关于x的不等式，其中．

（1）当k变化时，试求不等式的解集A；

（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由

【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）可以，k=-3.

【解析】

（1）根据相应二次函数的开口方向和二次方程根的大小关系，分，，，和五种情况讨论求解.

（2）根据解集A，结合B为有限集，则，在根据B中元素个数最少，则最大，利用基本不等式求解.

【详解】

（1）当时，不等式化为，

此时，不等式的解集是，

当时，不等式化为，不等式的解集是，

当时，不等式化为，

此时，不等式的解集是，

当时，不等式化为，不等式的解集是，

当时，不等式化为，

此时，不等式的解集是，

综上：当时，不等式的解集是，

当时，不等式的解集是，

当时，不等式的解集是，

当时，不等式的解集是，

当时，不等式的解集是，

（2）若B为有限集，则此时，

要使B中元素个数最少，则最大，

，

当且仅当，即时，取等号，

所以时，集合B中元素最少.

【点睛】

方法点睛：含有参数的不等式的解法：往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．