备战2024高考一轮复习数学（理） 第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ) 第八节 函数与方程课件PPT

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(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数图象与零点的关系
f(a)·f(b)<0
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　 )A．2 B．3 C．4 D．5解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．答案：B　
5．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)基础点(一)　函数零点存在性定理的理解　[题点全训]1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　 )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解解析：因为函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．答案：D　
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　 )A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
[一“点”就过]对函数零点存在性定理的理解
基础点(二)　判断函数零点所在区间　[题点全训]1．函数f(x)＝lg3x＋x－2的零点所在的区间为(　 )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：函数f(x)＝lg3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝lg32>0，f(3)＝2>0，根据函数零点存在性定理可知，函数f(x)＝lg3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．答案：B　
2．(2022·石嘴山三模)方程2x＝2－x的根所在区间是(　 )A．(－1,0) B．(2,3)C．(1,2) D．(0,1)解析：令f(x)＝2x＋x－2，因为f(0)＝20＋0－2＝－1＜0，f(1)＝21＋1－2＝1＞0，所以f(0)f(1)＜0，由函数零点存在性定理知，D正确．答案：D　
[一“点”就过]确定函数零点所在区间的常用方法
[解析]　(1)因为当x≥0时，f(x)＝3x2－6x，令f(x)＝0，即3x2－6x＝0，解得x＝2或x＝0，又因为f(x)是在R上的偶函数，所以由偶函数的对称性可知，f(x)在x<0时有一个零点x＝－2，所以f(x)一共有－2,0,2三个零点．故选D.(2)当x>0时，f(x)＝0⇒ln x＝x2－2x，则函数f(x)的零点个数为函数y＝ln x与函数y＝x2－2x的交点个数，作出两个函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点有两个；当x≤0时，f(x)＝x2－2x－3＝0，可得x＝－1或x＝3(舍去)．即当x≤0时，函数f(x)的零点有一个；综上，函数f(x)的零点有三个．故选C.[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]　函数零点个数的判定方法
[针对训练]1．函数f(x)＝2x＋3x－4在R上的零点个数是(　 )A．0 B．1 C．2 D．3解析：易得函数f(x)＝2x＋3x－4在R上单调递增，又f(0)＝－2<0，f(1)＝1>0，所以f(0)f(1)<0，故函数f(x)＝2x＋3x－4在R上有唯一的零点，故选B.答案：B　
2．(2023·天津新华中学高三阶段练习)函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　 )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由题意，令f(x)＝ex|ln x|－1＝0，即|ln x|＝e－x，则函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数，等价于两个函数y＝e－x与y＝|ln x|的交点个数，y＝e－x与y＝|ln x|两函数的图象如图所示，由图知，两个函数有2个交点，故函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是2.答案：B　
(2)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]　由函数零点个数或所在区间求参数的方法
2．(忽略零点存在性定理的条件)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为(　 )A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)解析：因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在性定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75)．答案：C　
3．(借助数学文化)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究．现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？(　 )A．6 B．7 C．8 D．9
5．(强化开放思维)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)不是单调函数；④f(x)恰有2个零点．请写出函数f(x)的一个解析式________．
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