【暑假小初衔接】浙教版数学六年级（六升七）暑假预习-第15讲《实数》单元综合检测（难点）

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第15讲 实数 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．下列说法中，正确的是(       )
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的概念即可判断
解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；
（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；
（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；
故选C．
【点睛】
本题考查实数的概念，解题关键是正确理解实数的概念，本题属于基础题型．
2．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根.其中正确的有(     )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
解：①实数和数轴上点一一对应，本小题错误；
②π不带根号，但π是无理数，故本小题错误；
③负数有立方根，故本小题错误；
④是17的平方根，本小题正确，
正确的只有④一个．
故选B．
3．我们知道，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.如果把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上的一个点来表示.如果把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以原点O为圆心，正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，那么点A对应的实数是（          ）   

A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出正方形对角线长度，即为OA的长度，根据实数与数轴的知识解答.
因为正方形边长为1，所以对角线为，所以OA=，则A点对应的数是，选B.
【点睛】
本题考查实数与数轴的对应关系，找到OA的长度是关键.
4．的算术平方根是（       ）
A． B．16 C． D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算，然后再根据算术平方根的定义解答即可．
解：∵=16，
∴16的算术平方根为4．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的定义．先求得=16是解答本题的关键．
5．已知a2＝25，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12
【答案】D
【解析】
【分析】
先由a2＝25，＝7求得a、b的值，然后再根据|a+b|＝a+b确定出a、b的取值情况，最后求得a﹣b的值即可．
解：∵a2＝25，＝7，
∴a＝±5，b＝±7．
又∵|a+b|＝a+b，
∴a＝±5，b＝7．
∴当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、绝对值、有理数的减法，求得a、b的值是解题的关键．
6．如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（     ）

A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小
【答案】C
【解析】
【分析】
在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐一排除．
A：，=8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意；
C：，，符合题意；
D：，，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
7．已知，则a的值为(　　)
A． B．0或±1 C．0 D．0，±1或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知推导出一个数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有0，﹣1，1三个，求解即可.
∵，即一个数的立方根是它本身，
∴这样的数有0，﹣1，1三个，
∴，，，
∴或；
故答案为：D
【点睛】
本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键.
8．观察下表中的数据信息：
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
x2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256

根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（　　）A．＝1.53
B．241的算术平方根比15.5小
C．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.17
D．只有3个正整数n满足15.7＜＜15.8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后根据算术平方根的概念依次判断各选项即可．
解：A．根据表格中的信息知：＝15.3，∴＝1.53，故本选项不正确；
B．根据表格中的信息知：＝15.5＜，∴241的算术平方根比15.5大，故本选项不正确；
C．根据表格中的信息无法得知16.12的值，∴不能推断出16.12将比256增大3.17，故本选项不正确；
D．根据表格中的信息知：15.72＝246.49＜n＜15.82＝249.64，∴正整数n＝247或248或249，
∴只有3个正整数n满足15.7＜＜15.8，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的相关知识，正确读懂表格信息、熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
9．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（　　　）（用含n的代数式表示）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．
10．已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数字间的规律探索列式计算
解：由题意可得：T1=，
T2=，
T3=
∴Tn=
∴T2021=
∴S2021=T1+T2+T3++T2021
=
=
=
=
=
=
=
故选：A．
【点睛】
本题考查实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键．
二、填空题
11．25的算术平方根为，4是的一个平方根，则______．
【答案】-10
【解析】
【分析】
首先依据平方根和算术平方根的定义求出x、y，再代入计算即可求解．
解：（1）∵25的算术平方根为，
∴x=5，
∵4是的一个平方根，
∴，
，
∴，
故答案为：-10．
【点睛】
本题主要考查的是平方根、算术平方根的定义，正确理解平方根和算术平方根是解题的关键．
12．若与互为相反数，则＝___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由互为相反数的两数的和为0，可以得出+＝0，由非负性得到关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值，再代入计算即可．
∵与互为相反数，
∴+＝0，
又∵≥0，≥0，
∴，
解得，
∴a-b=1．
故答案为：0．
【点睛】
考查了解方程组、互为相反数的两数之和为0和平方（算术平方根）的非负性，解题关键是由题意得到+＝0和非负性得到关于a、b的方程组．
13．若，分别为的整数部分和小数部分，则a-b的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】
先估算出的整数部分，再用减去整数部分得出小数部分，从而确定出a和b的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
解：，
的整数部分是3，即，
的小数部分是，即，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，解题的关键是找到3＜＜4．
14．有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算．
解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为；
有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到125m3时的棱长，进而可得出结论．
解：设正方体集装箱的棱长为a，
∵体积为64m3，
∴a==4m；
设体积达到125m3的棱长为b，则b= =5m，
∴b-a=5-4=1（m）．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是立方根，熟知正方体的体积公式是解题的关键．
16．如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是16，则原正方形的边长为_________cm．

【答案】8
【解析】
【分析】
如图，根据图形可知①与②的面积相等，可得小猫头部的面积是正方形面积的，可求出正方形的面积，根据算术平方根的定义即可得答案．
如图所示：
∵①与②的面积相等，
∴小猫头部的面积是正方形面积的，
∵小猫头部的面积是16，
∴正方形面积为16×4=64cm2，
∵64=82，
∴正方形的边长为8cm，
故答案为：8

【点睛】
本题主要考查了七巧板和正方形面积公式以及算术平方根等知识，根据已知得出原正方形的面积是解题关键．
17．如图，把正方形的四个角折起来成为阴影的小正方形，四个顶点都落在点M处，画了如图的三个圆，与数轴的交点为A，B，C，D，E，F，则表示数和数点分别是________（填相应的字母，注意顺序）．

【答案】C、F
【解析】
【分析】
找到三个圆的圆心与半径，结合正方形的性质得到各个点表示的数， 从而得到结果．
解：由题意可得：大正方形的边长为2，
中间处的圆是以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径，
则半径为，
可得：点B表示，点E表示，
而左右两侧的圆分别以-1和1为圆心，为半径，
∴点A表示，点D表示，
点C表示，点F表示，
∴表示数和数点分别C和F，
故答案为：C、F．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，解题的关键是找到各个圆的圆形与半径．
18．将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________
1（第1排）
    （第2排）
   1    （第3排）
      1   （第4排）
      1      （第5排）
【答案】2
【解析】
【分析】
所给一系列数是4个数一循环，看（5，4）与（11，7）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．
解：∵第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），
∴（5，4）表示第14个数（10+4=14），
∵14÷4=3…2，
∴（5，4）表示的数为，
∵第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+…+10==55，
∴（11，7）表示第62个数（55+7=62），
∵62÷4=15…2，
∴（11，7）表示的数为，
则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是×=2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；
（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；
（1）
=
＝；
（2）
=
=
【点睛】
考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．
20．已知：的立方根是，的算术平方根3，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；（2）其平方根为．
【解析】
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出的值；
（2）将（1）题求出的值代入，求出值之后再求出平方根．
解：（1）由题得．
．
又，   
．
．
．
（2）当时，
．   
∴其平方根为．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．
21．（1）若一圆的面积与这个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，则______．（填“=”或“”号）

（2）如图，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．
【答案】（1）＜；（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数大小比较的方法，可得答案；
（2）设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得关于的方程，解得的值，从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案．
解：（1）圆的面积与正方形的面积都是，
圆的半径为，正方形的边长为，
，，
，
，
．
（2）不能裁出长和宽之比为的长方形，理由如下：
设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得：
，
解得或（不合题意，舍去），
长为，宽为，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
，
不能裁出长和宽之比为的长方形．
【点睛】
本题考查了算术平方根在正方形和圆的面积及周长计算中的简单应用，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
22．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数．

(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)-2，-3，
(2)，
【解析】
【分析】
(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
(2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
(1)
由题意得：，，，
故答案是：-2，-3，；
(2)
由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
原式=．
当，时
原式．
【点睛】
本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．如图，把直径等于数轴上一个单位长度的圆放在数轴上面，这时圆周上的一点A与原点O重合，将圆在数轴上面向左滚动一周，点A运动到点的位置，点与数轴上的一点B重合．

（1）点B表示的数是_____________
（2）已知数轴上的点C、D依次表示，在数轴上描出点C，点D；并分别求出C与B、A与D两点的距离．
【答案】（1）-π；（2）画图见解析，BC=，AD=
【解析】
【分析】
（1）根据圆的周长和滚动方向可得点B表示的数；
（2）分别标出点C和点D，再利用数轴上两点间的距离计算即可．
解：（1）∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴AA′=π，
∴点B表示的数为-π；
（2）如图所示：

BC==，
AD=．
【点睛】
本题考查了圆的周长，实数与数轴，利用数轴得出对应数是解题关键．
24．阅读材料：
，即，，
的整数部分为2，的小数部分为．
解决问题：
（1）填空：的小数部分是______；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的立方根．
【答案】（1）．（2）的立方根．
【解析】
【分析】
（1）根据求无理数的取值范围，进而得实数小数部分；
（2）由得的值，得的值，再进行相应的计算．
解：（1），
的整数部分是2，
小数部分是．
故答案为：．
（2），
．
，
，
，
的立方根．
【点睛】
本题考查了实数的整数部分及小数部分，解题的关键是掌握无理数的取值范围，从而求出整数部分和小数部分，求出结果是求立方根的关键．
25．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较与2的大小；
，
，则，
，
．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）比较大小：_______3；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）＞；（2）＜．
【解析】
【分析】
（1）由＜＜，可得：＜＜，从而可得答案；
（2）由＜＜，可得＜＜，从而可得：＜，即＜，从而可得答案．
解：（1）＜＜，
＜＜，
故答案为：＞．
（2）＜＜，
＜＜，
＜，
＜，
＜，
＜．
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
26．根据下表回答下列问题：

16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17

256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289

（1）268.96的平方根是多少？
（2）________；
（3）在表中哪两个相邻的数之间？为什么？
【答案】（1）；（2）16.9；（3）在16.4与16.5之间，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）观察表格中的数据可知，16.42=268.96,根据平方根定义即可求解；
（2）由表中的数据结合开平方先求出，再根据近似计算即可求解；
（3）观察表中数据找到270介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在16.5和16.6之间即可．
解：（1）由表中数据可知：16.42=268.96，268.96的平方根是±16.4；
（2）∵由表中数据可知：16.92=285.61，
∴，
∵，
故答案为16.9；
（3）∵由表中数据可知：，16.62＝275.56，16.52＝272.25，
∴，
在表中介于16.5和16.6之间．
【点睛】
本题考查利用表格数据，求平方根，近似计算，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键．
27．阅读下列解题过程：
；
；
；…
（1）________．
（2）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：________．
（3）利用这一规律计算：
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
解：（1）；
故答案为：；
（2）观察上面的解题过程，发现的规律为：
，
故答案为：；
（3）


．
【点睛】
本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
28．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是___________，小数部分是______________；
（2）若，则的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；
（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则______；
（4）若，其中是整数，且，请求的相反数．
【答案】（1）3；；（2）21；；（3）23；（4）．
【解析】
【分析】
（1）先找到，可找到，即可找出的整数部分与小数部分
（2）根据因为，即可找出的整数部分与小数部分
（3）找到在哪两个整数之间,再加10即可.
（4）先确定，找到，由，是整数，即可确定x=2，y=，再求，即可求出
（1）
∴
的整数部分是3，小数部分是
故答案为：3；；
（2）因为,故则的整数部分是21，的小数部分可以表示为.
故答案为：21；；
（3）因为，
∴，即，
所以,，
故，
故答案为：23；
（4），
，
∵，是整数，
∴x=2，
∴y=，
，
的相反数是．
【点睛】
本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，掌握估值法确定无理数的范围，即无限不循环小数知识的拓展延伸,理解题意,按照题目所给的表示方法去解答是关键．
29．已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有
，，，
，成立，且．
(1)求，的值；
(2)猜想第个数（用表示）；
(3)求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据所给公式进行求解即可；
（2）先计算出即可发现，；
（3）先推出据此求解即可．
(1)
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：∵
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴；
(3)
解：∵，
∴，
∴，
∴


．
【点睛】
本题主要考查了与实数运算有关的规律题，正确理解题意找到规律是解题的关键．