【暑假小初衔接】苏科版数学六年级（六升七）暑假预习-第11讲《有理数全章复习与测试》同步讲学案

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第11讲 有理数全章复习与测试
【学习目标】
1.有理数的概念及运算，数轴，绝对值及科学记数法的相关内容．
2.重点是有理数的四则运算，
3.难点是绝对值的相关运算以及有理数的混合运算．
【基础知识】
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
5．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
6．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
7．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
8．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
9．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
10．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
11．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
12．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
13．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

14．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
15．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
16．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
17．计算器—有理数
计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．
（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
18．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
【考点剖析】
一．正数和负数（共1小题）
1．（2021秋•海沧区期末）如果向西走3km，记作+3km，那么﹣6km表示（　　）
A．向东走6km B．向南走6km C．向西走6km D．向北走6km
【分析】根据向西与向东是一对具有相反意义的量即可作出判断．
【解答】解：如果向西走3km，记作+3km，那么﹣6km表示向东走6km．
故选：A．
【点评】本题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示
二．有理数（共1小题）
2．（2021秋•靖江市月考）下列各数：﹣，1.010010001，0，﹣π，﹣2.626626662…（每两个2之间多一个6），0.1222…，其中有理数有 　4　个．
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【解答】解：下列各数：﹣，1.010010001，0，﹣π，﹣2.626626662…（每两个2之间多一个6），0.1222…，其中有理数有﹣，1.010010001，0，0.1222…，共4个．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了有理数，关键是掌握有理数的分类．整数和分数统称有理数．
三．数轴（共1小题）
3．（2021秋•镇江期末）数轴上点A表示的数是﹣4，将点A在数轴上平移5个单位长度得到点B．则点B表示的数是 　1或﹣9　．
【分析】数轴上点的平移，根据左减右加的方法，即可得出答案．
【解答】解：如果向右平移5个单位长度，则﹣4+5＝1，
如果向左平移5个单位长度，则﹣4﹣5＝﹣9，
故答案为：1或﹣9．
【点评】本题考查数轴上的点平移法则，理解左减右加是解题关键．
四．相反数（共1小题）
4．（2022•宝山区模拟）2022的相反数是 　﹣2022　．
【分析】直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：2022的相反数是：﹣2022．
故答案为：﹣2022．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
五．绝对值（共1小题）
5．（2021秋•无锡期末）﹣3.6的绝对值是 　3.6　．
【分析】根据绝对值的性质即可得出答案．
【解答】解：﹣3.6的绝对值是3.6，
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
六．非负数的性质：绝对值（共1小题）
6．（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 　9　．
【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．
【解答】解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|+9≥9，
∴|x﹣2|+9有最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握|a|≥0是解题的关键．
七．倒数（共1小题）
7．（2022•南京一模）的倒数是 　3　；的相反数是 　﹣　．
【分析】乘积是1的两数互为倒数；只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义直接得出答案．
【解答】解：的倒数是3；的相反数是﹣．
故答案为：3；﹣．
【点评】此题考查了倒数、相反数，掌握倒数、相反数的定义是本题的关键，是一道基础题．
八．有理数的加法（共1小题）
8．（2022•镇江一模）（﹣7）+7＝　0　．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0即可得出答案．
【解答】解：（﹣7）+7＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．
九．有理数的减法（共1小题）
9．（2021秋•射阳县校级期末）比0小4的数是 　﹣4　．
【分析】根据题意列出算式，再根据有理数的减法法则计算即可．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：比0小4的数是：0﹣4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．
一十．有理数的加减混合运算（共1小题）
10．（2021秋•文山市期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从A地出发，到收工时行程记录为（单位：千米）
+8，﹣9，+4，﹣7，﹣2，﹣10，+11，﹣3，+7，﹣5；
（1）收工时，检修工在A地的哪边？距A地多远？
（2）若每千米耗油0.3升，从A地出发到收工时，共耗油多少升？
【分析】（1）根据表格中的数据，将各个数据相加看最后的结果，即可解答本题；
（2）根据表格中的数据将它们的绝对值相加，然后乘以0.3即可解答本题．
【解答】解：（1）（+8）+（﹣9）+（+4）+（﹣7）+（﹣2）+（﹣10）+（+11）+（﹣3）+（+7）+（﹣5）
＝8﹣9+4﹣7﹣2﹣10+11﹣3+7﹣5＝8+4+11+7﹣9﹣7﹣2﹣10﹣3﹣5＝30﹣36＝﹣6（千米），
答：收工时，检修工在A地的西边，距A地6千米；
（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|﹣7|+|﹣2|+|﹣10|+|+11|+|﹣3|+|+7|+|﹣5|
＝8+9+4+7+2+10+11+3+7+5＝66（千米）
66×0.3＝19.8（升）
答：从A地出发到收工时，共耗油19.8升．
【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际含义．
一十一．有理数的乘法（共1小题）
11．（2021秋•东城区校级期中）（﹣+）×（﹣36）
【分析】运用乘法分配律计算．
【解答】解：（﹣+）×（﹣36），
＝﹣8+9﹣2，
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是运用乘法分配律计算．
一十二．有理数的除法（共1小题）
12．（2018秋•仁寿县校级期中）（﹣81）÷×÷（﹣16）
【分析】根据有理数的混合计算解答即可．
【解答】解：（﹣81）÷×÷（﹣16）
＝
＝1
【点评】此题考查有理数的混合计算，关键是根据有理数的混合计算顺序解答．
一十三．有理数的乘方（共1小题）
13．（2022春•姜堰区期中）计算：42n•（﹣）2n+1＝　﹣　（n为正整数）．
【分析】利用幂的乘方公式、同底数幂的除法进行计算即可．
【解答】解：42n•（﹣）2n+1
＝42n•（﹣）
＝﹣
＝﹣42n﹣（2n+1）
＝﹣4﹣1
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是熟练掌握两种法则．
一十四．非负数的性质：偶次方（共1小题）
14．（2021秋•射阳县校级期末）已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，则a+b＝　1　．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，而|a﹣3|≥0，（b+2）2≥0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
解得a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
一十五．有理数的混合运算（共1小题）
15．（2022•通州区校级开学）计算题：
（1）24+（﹣14）+（﹣16）+8；
（2）0.25×（﹣2）3﹣[4÷（﹣）2+1]．
【分析】（1）根据交换律和结合律可以解答本题；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可．
【解答】解：（1）24+（﹣14）+（﹣16）+8
＝（24+8）+[（﹣14）+（﹣16）]
＝32+（﹣30）
＝2；
（2）0.25×（﹣2）3﹣[4÷（﹣）2+1]
＝0.25×（﹣8）﹣（4÷+1）
＝（﹣2）﹣（4×+1）
＝（﹣2）﹣（9+1）
＝（﹣2）﹣10
＝﹣12．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
一十六．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
16．（2022•江阴市模拟）2021年3月23日下午，“天宫课堂”时隔3个月后再度开课，中国航天员再次进行太空授课，此时空间站距离地球约370000米，数据370000用科学记数法表示为 　3.7×105　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：370000＝3.7×105．
故答案为：3.7×105．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

一十七．计算器—有理数（共1小题）
17．（2018秋•海安市期末）小江利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，有如下发现：
15×15＝225＝1×2×100+25，
25×25＝625＝2×3×100+25
35×35＝1225＝3×4×100+25，
小江观察后猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：
（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
但这样的猜测是需要证明之后才能保证它的正确性．
请给出证明．
【分析】根据完全平方公式将左边展开，再将前两项分解因式即可得证．
【解答】解：左边＝（10a+5）2
＝100a2+100a+25
＝a（a+1）×100+25＝右边，
∴（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
【点评】本题主要考查有理数和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和因式分解的能力．
一十八．无理数（共1小题）
18．（2021秋•阜宁县期末）在，2π，﹣1，0.181181118…四个数中，无理数有 　2　个．
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，是分数，属于有理数；
无理数有2π，0.181181118…，共2个．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）化简﹣（﹣8）的结果是（　　）
A．8 B．﹣8 C． D．﹣
【分析】直接根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：∵﹣（﹣8）即为﹣8的相反数，
∵﹣8＜0，
∴﹣8的相反数是8，即﹣（﹣8）＝8．
故选：A．
【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）

A．10 B．89 C．165 D．294
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故选：D．
【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．
3．（3分）点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，下列结论中正确的是（　　）

A．b+a＞0 B．a﹣b＜0 C．|a|＞|b| D．＜0
【分析】根据图示，可得：0＜a＜3，b＜﹣3，据此逐项判断即可．
【解答】解：A、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴b+a＜0，故选项错误；
B、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴a﹣b＞0，故选项错误；
C、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴|a|＜|b|，故选项错误；
D、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴＜0，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．（3分）下列各式运算结果为正数的是（　　）
A．﹣23×5 B．（2﹣3）2×5 C．（1﹣22）×5 D．1﹣（2×3）2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣8×5＝﹣40＜0，不符合题意；
B、原式＝（﹣1）2×5＝1×5＝5＞0，符合题意；
C、原式＝（1﹣4）×5＝（﹣3）×5＝﹣15＜0，不符合题意；
D、原式＝1﹣62＝1﹣36＝﹣35＜0，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，正数与负数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣4）×÷×2＝﹣2÷（﹣1）＝2
B．﹣32+（7﹣10）2﹣4×（﹣2）2＝9+9﹣16＝2
C．（﹣6.25）×（﹣4）﹣120÷（﹣15）＝25﹣8＝17
D．0﹣（﹣3）2÷3×（﹣2）3＝0﹣9÷3×（﹣2）3＝0﹣3×（﹣8）＝24
【分析】利用有理数的相应的运算法则，对各项的式子进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、（﹣4）×÷×2
＝﹣2×2×2
＝﹣8，
故A不符合题意；
B、﹣32+（7﹣10）2﹣4×（﹣2）2
＝﹣9+9﹣16
＝﹣16，
故B不符合题意；
C、（﹣6.25）×（﹣4）﹣120÷（﹣15）
＝25+8
＝33，
故C不符合题意；
D、0﹣（﹣3）2÷3×（﹣2）3
＝0﹣9÷3×（﹣2）3
＝0﹣3×（﹣8）
＝24，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对运算法则的掌握．
6．（3分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去第2020次输出的结果为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．﹣8 D．﹣4
【分析】先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得．
【解答】解：由题意知，第1次输出的结果为10，
第2次输出的结果为5，
第3次输出的结果为﹣2，
第4次输出的结果为﹣1，
第5次输出的结果为﹣8，
第6次输出的结果为﹣4，
第7次输出的结果为﹣2，
第8次输出的结果为﹣1，
第9次输出的结果为﹣8，
……
这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，
∵（2020﹣2）÷4＝504……2，
∴第2020次计算输出的结果是﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．
7．（3分）下列说法中正确的个数是（　　）
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；②两个正数相加，和为正数；③正数加负数，其和一定等于0；④互为相反数的两个数相减得0；⑤减去一个负数，差一定大于被减数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用加减法法则，对每个选择支进行判断，得到正确的结论．
【解答】解：两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，故①不正确；
两个正数相加，和一定是正数，故②正确；
正数加负数和可能是正数也可能是负数，若两数互为相反数时，其和为0，故③不正确；
互为相反数的两个数相减不一定为0，只有特殊的0符合条件，故④不正确；
由于减去一个负数等于加上这个负数的相反数，所以其差一定大于被减数，故⑤正确．
综上正确的有②⑤共2个
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法和减法及相反数的定义．掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键．
8．（3分）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，那么（﹣5）△（1△3）的值等于（　　）
A．﹣9 B．﹣11 C．﹣15 D．﹣12
【分析】根据新定义的运算，代入相应的值计算即可．
【解答】解：由题意得：
（﹣5）△（1△3）
＝（﹣5）△（2×1﹣3）
＝（﹣5）△（﹣1）
＝2×（﹣5）﹣（﹣1）
＝﹣10+1
＝﹣9．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，则其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据数轴，可得b＜0＜a＜c，|a|＜|b|，据此逐项判定即可．
【解答】解：①∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴①错误；
②∵b＜0＜a＜c，
∴abc＜0，
∴②正确；
③∵b＜0＜a＜c，
∴a﹣c＜0，
∴③正确；
④∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴﹣1＜＜0，
∴④正确．
∴正确的有②③④．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴．解题的关键是熟练掌握数轴的特征和运用，以及有理数的运算．
10．（3分）在数轴上表示有理数a，b，c，d如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a+b＞c+d B．ab＜cd
C．（a+3）（b+1）＞0 D．（a﹣d）（c﹣b）＞0
【分析】由数值上的各个点所表示的数，可以得出a、b、c、d的符号和取值范围，进而逐个分析判断各个选项的正确与否．
【解答】解：由数轴上表示有理数a，b，c，d可得，
﹣4＜a＜﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，1＜d＜2，
∴a+b＜0，c+d＞0，因此A选项不正确，
ab＞cd因此选项B不正确，
（a+3）＜0，（b+1）＜0，
∴（a+3）（b+1）＞0，因此C选项正确，
∵（a﹣d）＜0，（c﹣b）＞0，
∴（a﹣d）（c﹣b）＜0，因此D选项不正确，
故选：C．
【点评】考查数轴表示数的意义，理解数的符号和绝对值是正确判断的前提，掌握有理数的加减法的法则是关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）比较大小：﹣　＜　﹣．
【分析】根据负有理数比较大小的方法比较（绝对值大的反而小）．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小的规律得出：﹣＜﹣．
【点评】同号有理数比较大小的方法（正有理数）：绝对值大的数大．
（1）作差，差大于0，前者大，差小于0，后者大；
（2）作商，商大于1，前者大，商小于1，后者大．
如果都是负有理数的话，结果刚好相反，且绝对值大的反而小．
如过是异号的话，就只要判断哪个是正哪个是负就行，都是字母的话，就要分情况讨论；如果是代数式的话要先求出各个式的值，再比较．
12．（3分）若|﹣a|＝1，则a＝　　．
【分析】根据绝对值意义即可求解．
【解答】∵|﹣a|＝1，
∴a＝±，
故答案为：．
【点评】本题考查了绝对值意义，熟练掌握绝对值是解决问题的关键．
13．（3分）比﹣4大而比5小的所有整数的和为 　4　．
【分析】根据数轴表示数的方法可得到比﹣4大而比5小的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4；再相加即可求解．
【解答】解：大于﹣3而小于4的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了有理数的加法以及有理数的大小比较：负数小于0和正数，0小于正数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
14．（3分）当a≠0，b≠0时，设+＝m，则m＝　0或﹣2或2　．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义计算即可．
【解答】解：∵a≠0，b≠0，且+＝m，
当a与b异号，即ab＜0，
∴m＝0，
当a与b同号，
当a＞0，b＞0时，m＝2；
当a＜0，b＜0时，m＝﹣2．
故答案为：0或﹣2或2．
【点评】此题考查了对值，分类讨论是解本题的关键．
15．（3分）﹣2的相反数是 　2　．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

16．（3分）在数轴上，点A表示数﹣2，点B到点A的距离为3，则点B表示的数是 　﹣5或1　．
【分析】在数轴上表示出点A的位置，在数轴上找到点A的距离为3的点，即是满足条件的点．
【解答】解：
根据数轴可以得到：点B表示的数是﹣5或1．
【点评】此题综合考查了数轴的有关内容，把一个点向右移动即是加上一个数，表示﹣2的点向右移动3个单位长度，即可得到﹣2+3＝1，向左移动移动3个单位长度，即可得到：﹣2﹣3＝﹣5．
17．（3分）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　﹣10　．

【分析】把﹣2按照如图中的程序计算后，若＜﹣5则结束，若不是则把此时的结果再进行计算，直到结果＜﹣5为止．
【解答】解：根据题意可知，（﹣2）×3﹣（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4＞﹣5，
所以再把﹣4代入计算：（﹣4）×3﹣（﹣2）＝﹣12+2＝﹣10＜﹣5，
即﹣10为最后结果．
故本题答案为：﹣10．
【点评】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．
18．（3分）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 　﹣2　．

【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，可以表示出AC的距离，在根据A′B＝3，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程求解即可．
【解答】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B点表示的数为9，
∴点A′表示的数为9+3＝12，
根据折叠得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣﹣+﹣）×（﹣15×4）；
（2）；
（3）（﹣18）÷2×÷（﹣16）；
（4）；
（5）．
【分析】（1）先算小括号里面的乘法，然后利用乘法分配律使得计算简便；
（2）使用乘法分配律使得计算简便；
（3）从左往右依次计算；
（4）先算小括号里面的，然后算乘除，最后算加减；
（5）先算小括号里面的，然后算乘方，乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝（﹣）×（﹣60）
＝
＝10+9﹣48+35
＝6；
（2）原式＝﹣120×
＝﹣700+765﹣176
＝﹣111；
（3）原式＝18×
＝；
（4）原式＝
＝﹣2+（1﹣）×（﹣3）
＝﹣2﹣
＝﹣2﹣2
＝﹣4；
（5）原式＝﹣
＝﹣+﹣+
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则以及理解乘方分配律（a+b）c＝ac+bc使得计算简便是解题关键．
20．（4分）a与b互为相反数，c与d互为倒数，求的值．
【分析】两数互为相反数，和为0；两数互为倒数，积为1．由此可得a+b＝0，cd＝1，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0；
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1．
∴＝＝﹣2．
【点评】本题考查的是相反数和倒数的概念，两数互为相反数，则它们的和为0；两数互为倒数，它们的积为1．注意代数式求值的整体代入思想．
21．（6分）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌（元）
+2
﹣0.5
+1.5
﹣1.8
+0.8
根据上表回答问题：
（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？
（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【分析】（1）由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了0.5元，则星期二收盘价表示为25+2﹣0.5，然后计算；
（2）星期一的股价为25+2＝27；星期二为27﹣0.5＝26.5；星期三为26.5+1.5＝28；星期四为28﹣1.8＝26.2；星期五为26.2+0.8＝27；则星期三的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价；
（3）计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出时的价钱﹣买进时的价钱即为小王的收益．
【解答】解：（1）星期二收盘价为25+2﹣0.5＝26.5（元/股）．
（2）收盘最高价为25+2﹣0.5+1.5＝28（元/股），收盘最低价为25+2﹣0.5+1.5﹣1.8＝26.2（元/股）．
（3）小王的收益为：27×1000（1﹣5‰）﹣25×1000（1+5‰）＝27000﹣135﹣25000﹣125＝1740（元）．
∴小王的本次收益为1740元．
【点评】本题考查的是有理数在解决实际生活问题的应用和有理数的混合运算能力．在运算时一定要细心，认真．
22．（8分）一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣9，+12，﹣10．
回答下列问题：
（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；
（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加；求走过的总路程需要算它们的绝对值的和．
【解答】解：（1）否，0+5﹣3+10﹣8﹣9+12﹣10＝﹣3，故没有回到0；
（2）（|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣9|+|+12|+|﹣10|）×2＝114粒．
【点评】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
23．（8分）阅读下列解题过程：
计算1+3+32+33+34+…+39+310的值．
解：设S＝1+3+32+33+34+…+39+310①，
则3S＝3×（1+3+32+33+…+39+310）
3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310
3S＝3+32+33+34+…+310+311②，
②﹣①得：
3S﹣S＝（3+32+33+34+…+39+310+311）﹣（1+3+32+33+34+…+39+310）
2S＝311﹣1，S＝，即1+3+32+33+34+…+39+310＝
通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．
请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525．
【分析】根据题目信息，设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，然后乘5再相减计算即可得解．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，①
则5S＝5×1+5×5+5×52+5×53+5×54+…+5×524+5×525，
5S＝5+52+53+54+…+524+525+526，②
②﹣①得，5S﹣S＝（5+52+53+54+…+524+525+526）﹣（1+5+52+53+54+…+524+525），
4S＝526﹣1，
S＝，
即1+5+52+53+54+…+524+525＝．
【点评】本题考查了有理数的乘方，阅读材料，理解并掌握求和的方法是解题的关键．
24．（10分）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），当A、B两点都不在原点时，①如图（2），点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图（3），点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（a）＝|a﹣b|；③如图（4），点A、B都在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．

回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　3　；
（2）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是 　4　；
（3）数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 　5　；
（4）数轴上表示x和﹣1的两点A之和B之间的距离是 　|x+1|　，如果|AB|＝2，那么x的值是 　﹣3或1　．
【分析】根据题意可知两点之间的距离等于这两个点表示数的差的绝对值．
【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离＝|5﹣2|＝3；
（2）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离＝|﹣5﹣（﹣1）|＝|﹣5+1|＝4；
（3）数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离＝|﹣4﹣1|＝|﹣5|＝5；
（4）数轴上表示x和﹣1的两点A之和B之间的距离＝|x+1|，
因为在数轴上到表示﹣1的点的距离为2的数有两个它们是﹣3和1，所以x的值为﹣3或1．
故答案为：（1）3；（2）4；（3）5；（4）|x+1|；﹣3或1．
【点评】本题主要考查的是绝对值的应用和数轴的认识，读懂题意，掌握两点之间距离的计算公式是解题的关键．