【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.4.1《第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示》讲学案（必修1）

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1.3　空间向量及其运算的坐标表示1．3.1　空间直角坐标系知识点一　空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①把＝a代入①式得＝＋t，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．  知识点三　空间中平面的向量表示式1．平面ABC的向量表示式空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 2．平面的法向量如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．题型一、直线的方向向量1．直线的方向向量（1）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得，把与_________的_________向量称为直线l的方向向量．（2）直线可以由_________和它的_________确定．【答案】     向量平行     非零     其上一点     方向向量 2．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为两点，则，又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，故选：D. 3．如图所示，在四棱柱所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有________.【答案】【详解】根据方向向量的概念可知：可作为直线A1B1的方向向量的有,故答案为：. 4．已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为的直线上的一点，若，则点P的坐标是________．【答案】【详解】设，，因为，所以 即，解得：，，即 ，解得：.所以点P的坐标是.故答案为： 题型二、求平面的法向量1．直线的方向向量是指和这条直线___________的非零向量，一条直线的方向向量有___________个；平面的法向量是指与该平面___________的非零向量，一个平面的法向量有___________个.【答案】     平行     无数     垂直     无数【详解】根据直线的方向向量的定义，可得直线的方向向量是与这条直线平行的非零向量，其中一条直线的方向向量有无数个；根据平面法向量的定义，可知平面的法向量与该平面垂直的非零向量，一个平面的法向量由无数个.故答案为：平行；无数；垂直；无数. 2．分别写出平面，平面，平面的一个法向量的坐标．【答案】平面，平面，平面的一个法向量坐标分别为、、.【详解】由平面上存在不平行向量、，若是平面的一个法向量，则，易知：是平面的一个法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一个法向量，则，易知：是平面的一个法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一个法向量，则，易知：是平面的一个法向量. 3．已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【详解】，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以平面的法向量可以是.故答案为：（答案不唯一）. 4．如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．【详解】(1)以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，因为平面，所以为平面的一个法向量，所以平面的一个法向量为，(2)设平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以平面的一个法向量为，(3)设平面的法向量为，因为，所以，令，则所以平面的一个法向量为  1．（多选）下列结论正确的是（       ）A．直线的方向向量是唯一确定的.B．平面的单位法向量是唯一确定的.C．若两平面的法向量平行，则两平面平行.D．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.【答案】CD【详解】对于A，因与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量，A不正确；对于B，因与平面垂直的直线的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯一，B不正确；对于C，因两平面的法向量平行，即这二平面可以垂直于同一直线，则二平面平行，C正确；对于D，若两直线平行，则它们的方向向量平行与已知两直线的方向向量不平行矛盾，即两直线平行是错的，则两直线不平行，D正确.故选：CD 2．（多选）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是（       ）A．直线 的一个方向向量为(0，0，1) B．直线的一个方向向量为(0，1，1)C．平面的一个法向量为(0，1，0) D．平面的一个法向量为(1，1，1)【答案】ABC【详解】设正方体的棱长为1，则，因为，故A正确；因为， 故B正确；直线AD⊥平面ABB1A1，，故C正确；不垂直，所以与平面B1CD不垂直，故D错.故选：ABC. 3．设是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量.【答案】【详解】根据题意得：点和点是空间直线l上的点，那么直线l的方向向量为，故直线l的一个方向向量 4．直线的一个方向向量是______________．【答案】(1，2)(答案不唯一)【详解】由题意，直线方程，可得直线的斜率为，所以直线的其中一个方向向量为.故答案为：. 5．四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：①为平面PAD的法向量；   ②为平面PAC的法向量； ③为直线AB的方向向量； ④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量． 其中正确命题的序号是______________【答案】②，③，④【详解】①因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；②由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，为平面PAC的法向量，②正确；③因为底面是正方形，所以，则为直线AB的方向向量，③正确；④易知，因为底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正确.故答案为：②，③，④ 6．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(       )A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，∵、、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量．故选：D． 7．若点，，，则平面ABC的一个法向量______．【答案】【详解】由题意，点点，，，可得向量，设平面的法向量为，可得，取，可得，所以平面的一个法向量为.故答案为：. 8．已知，求平面的一个单位法向量的坐标.【答案】【详解】由题设，，，若是面的一个法向量，所以，令，则，所以平面的一个单位法向量的坐标为. 9．已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量．【答案】平面的一个法向量为，平面的一个法向量为；【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、，所以，，，设面的法向量为，所以，令，则，，所以，即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，所以平面的一个法向量为； 1．有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.故选：A 2．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若，不平行，则直线，可能异面，可能在同一平面内，不是充分条件；若直线，异面，则，不平行，是必要条件；所以“，不平行”是“，异面”的必要不充分条件故选：B 3．设，是两条直线，它们的方向向量分别为，，，是两个平面，且，，则“”是“”的（       ）A．既不充分也不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【答案】B【详解】必要性：因为，，则是平面的法向量，是平面的法向量，由，得；充分性：因为，，则是平面的法向量，是平面的法向量，且，则平面的法向量和平面的法向量满足.因此“”是“”的充要条件.故选：B. 4．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】是正方形，且，，，，，，，，，又，，，平面的法向量为，则，得，，结合选项，可得，故选：C. 5．（多选）下列命题中真命题有（       ）．A．直线l的方向向量有无穷多个B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反C．若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是直线l的一个方向向量D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直【答案】AB【详解】AB选项，由直线的方向向量的定义易知A，B正确；C选项，当时，结论不成立，故C错误；D选项，两直线的方向向量平行，则两直线平行或重合，故D错误．故选：AB． 6．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（       ）A．直线的一个方向向量为B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为D．平面的一个法向量为【答案】AC【详解】由题意，,,,,,∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；设平面的法向量为， 则,由，得，令得，则正确;设平面的法向量为，则，由，得，令得，则不正确.故选：. 7．（多选）已知空间中三点，，，则正确的有（       ）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】CD【详解】，，，显然与不共线，A错误；的单位向量，即，B错误；，，C正确；设平面的法向量，则，令，得，D正确.故选：CD. 8．（多选）如图，在三棱锥中，平面，，，，以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，，则下列结论中正确的是（       ）A．点P的坐标为 B．C． D．【答案】AD【详解】由题意可得，，，，所以，.设，则，即，取，可得.因为，，且 所以平面PAB，即 所以平面平面PAB，所以，所以.综上所述，B，C错，A，D正确.故选：AD 9．判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；(        )（2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；(        )（3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．(        )【答案】     √     ×     √【详解】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确；（2）当时，，所以不一定是直线l的方向向量，不正确；（3）在空间直角坐标系中，，平面Oxy，所以是坐标平面Oxy的一个法向量，正确．10．已知平面，写出平面的一个法向量______．【答案】（答案不唯一）【详解】设法向量为，则有，令得：，所以故答案为： 11．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出： （1）直线BC的一个方向向量___________；（2）点OD的一个方向向量___________；（3）平面BHD的一个法向量___________；（4）的重心坐标___________.【答案】                    【详解】由题意可得：,,..由图示，可得：，，，，，，（1）直线BC的一个方向向量为，（2）点OD的一个方向向量为；（3）,.设为平面BHD的一个法向量，则，不妨设，则.故平面BHD的一个法向量为.（4）因为，，，，所以的重心坐标为.故答案为：（1）；（2）；（3）（4）. 12．如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量．【答案】（答案不唯一）【详解】以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，故，所以直线与AC的方向向量分别为.13．已知直线经过点，平行于向量，直线经过点，平行于向量，求与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标．【答案】（不唯一）【详解】由题设，直线、的方向向量分别为、，而，所以直线、不平行，设与两直线，都平行的平面的一个法向量，所以，令，则.故与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标. 14．如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．【答案】（结果不唯一）【详解】不妨设平面的法向量，又，故可得，即，不妨取，故可得，故平面的一个法向量为.又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可.故答案为：.（结果不唯一） 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．(1)分别指出平面PAD、平面PAB的一个法向量；(2)若，试在图中作出平面PDC的一个法向量；(3)是否有可能是直角三角形？(4)根据法向量判断平面PBC与平面PDC是否有可能垂直．【详解】(1)平面平面平面，，又平面平面，平面，即是平面的一个法向量.同理，可证得平面是平面的一个法向量；(2)取的中点，连接，则.在矩形中，∥，由(1)知平面，平面平面，.又平面平面，平面，即是平面的一个法向量；(3)不妨设，则结合已知可得，根据余弦定理可得：，，同理，；，，即不可能是直角三角形；(4)由(1)知所在直线两两垂直，∴以为原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，令，则，，，，，设平面的法向量为，则，，取，则设平面的法向量为，则，，取，则；，与不可能垂直，即平面与平面不可能垂直.