【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-2.4《圆的方程》讲学案（必修1）

2.4　圆的方程

2.4.1　圆的标准方程

2．4.2　圆的一般方程

知识点一　圆的标准方程

(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.

(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.

知识点二　圆的一般方程

1．圆的一般方程

当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

知识点三　点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法

题型一、圆的标准方程

命题点1 由圆心（或半径）求圆的方程

1．圆心为，过点的圆的方程为______.

2．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

3．求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；

(2)经过点、，且以线段AB为直径；

(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；

(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．

命题点2 求过已知三点的圆的标准方程

1．过三点，，的圆的方程是______．

2．已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.

(1)求圆D的标准方程；

(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.

命题点3 由标准方程确定圆心和半径

1．的圆心坐标为______，半径长为______．

2．已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（        ）

A．2 B．3 C．π D．4π

3．圆的圆心到直线x-y+3=0的距离为（       ）

A．1 B．2 C． D．

4．已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（       ）

A．2 B．8 C．4 D．9

题型二、圆的一般方程

命题点1 圆的一般方程与标准方程之间的互化

1．圆的圆心和半径分别是（       ）

A．， B．，  C．，   D．，

2．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．

3．圆的圆心到直线的距离为___________.

命题点2 二元二次方程表示的曲线与圆的关系

1．下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

2．方程表示圆，则的取值范围为______．

3．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

命题点3 求圆的一般方程

1．已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．

2．(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________．

(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是__________________．

3．已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是､，求它的外接圆的方程.

命题点4 圆过定点问题

1．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.

2．已知曲线：．

（1）当取何值时，方程表示圆？

（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．

（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．

题型三、点与圆的位置关系

1．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由：

(1)；(2)；(3)．

2．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（       ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

1．圆心为，半径为的圆的方程是___________.

2．已知，则以为直径的圆的方程为________．

3．过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________.

4．与轴相交于､两点，且半径等于的圆的方程是___________.

5．已知圆C过三点，，，则圆C的方程是___________.

6．已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.

7．若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________.

8．经过圆的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（       ）

A．2x+3y+3=0 B．2x+3y-3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x-2y-2=0

9．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10．圆的圆心到直线的距离是（       ）

A． B． C．1 D．

11．已知圆，它的半径是___________.

12．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

13．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．

14．已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

15．已知，则的外接圆的一般方程为（       ）

A． B．

C． D．

16．求证：对任意实数，动圆恒过两定点.

17．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上.

（1）求半径最小时的圆的方程；

（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点.

18．点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）

19．判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆的位置关系．

20．直线与圆的位置关系是_________.（填相切、相交、相离）

21．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

22．点在圆上，则实数的值是___________.

23．若点在圆内，则实数的取值范围为____________.

1．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝（　　）

A．－1 B．±1 C．－2 D．±2

2．方程表示的曲线是（       ）．

A． B．

C． D．

3．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

4．已知，，点在圆上运动，则面积的最大值是（       ）

A． B． C． D．

5．若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

6．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（       ）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能

8．已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．（多选）圆，则（       ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

10．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为_______________；若直线l的方程（），圆心C到直线l的距离是1，则m的值是______．

11．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．

12．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为_________.

13．若点，点M在圆上运动，则的最大值为___________.

14．方程表示圆，则实数a的取值范围是___________.

15．若圆的方程为，且圆的面积为，则圆心坐标为______．

16．求圆关于点对称的圆的方程为___________.

17．若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．

18．圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．

19．（1）求过点A(2，5)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

（2）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－6＝0，圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆心在第二象限，半径长为4，求圆的一般方程．

20．已知点和以为圆心的圆.

（1）求证：圆心在过点的定直线上，

（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．

21．已知圆.

(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；

(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.