【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第16讲《直线和圆锥曲线的位置关系》讲学案

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第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y），
若点M（x，y）在椭圆上，则有；
若点M（x，y）在椭圆内，则有；
若点M（x，y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则

==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：


知识点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则

==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：


双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
知识点四、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则

==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：


抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
【题型归纳目录】
题型一：直线与椭圆的位置关系
题型二：椭圆的弦
题型三：椭圆的综合问题
题型四：直线与双曲线的位置关系
题型五：双曲线的弦
题型六：双曲线的综合问题
题型七：直线与抛物线的位置关系
题型八：抛物线的弦
题型九：抛物线的综合问题

【典型例题】
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（       ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例2．（2022·全国·高二单元测试）已知点､.下列曲线方程中，在该曲线上不存在点P，满足的曲线方程为（       ）
A． B．
C． D．

例3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

例4．（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．

例5．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.

例6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.

例7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的两个焦点分别是､，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当m取何值时，直线与椭圆C：
①有两个公共点；
②只有一个公共点；
③没有公共点？

例8．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.

例9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆C：有唯一的公共点，求实数m的值．

例10．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.

例11．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于不同的两点，求k的取值范围．


题型二：椭圆的弦
例12．（2022·福建·莆田一中高二期末）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（       ）
A． B． C． D．

例13．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．

例14．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于A，B两点，求线段的长．

例15．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.

例16．（2022·辽宁丹东·高二期末）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.

例17．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长.

例18．（2022·辽宁沈阳·高二期末）已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．

例19．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，为右焦点，为的上顶点，且.为坐标原点.
（1）求椭圆的方程;
（2）设直线与相交于两点，求的面积.

例20．（2022·新疆昌吉·高二期末（文））已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.

例21．（2022·河南·温县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．


题型三：椭圆的综合问题
例22．（2022·江苏·高二）（1）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点，求双曲线的方程；
（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于两点，线段的中点为，求椭圆的方程；

例23．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆M的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆M的标准方程.
(2)斜率为k的直线与椭圆M交于A､B两点，若线段AB的中点为P，O为坐标原点，且直线OP的斜率kOP存在，试判断k与kOP的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由.

例24．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.

例25．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.

例26．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.

例27．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值.

例28．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．

(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．

例29．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．
(1)求的长．
(2)求内切圆的面积．

例30．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．

例31．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．


题型四：直线与双曲线的位置关系
例32．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

例33．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））直线与双曲线的交点个数是（       ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0

例34．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（       ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

例35．（多选题）（2022·浙江浙江·高二期中）若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（       ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为
C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线有两个交点

例36．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．

例37．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.

例38．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与直线有公共点，则实数m的取值范围是___________.

例39．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若直线与双曲线仅有一个公共点，则k的取值是_________

例40．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知双曲线的方程为，直线.
(1)求双曲线的渐近线方程、离心率；
(2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值.

例41．（2022·江苏·高二课时练习）判断直线与双曲线的公共点的个数．


题型五：双曲线的弦
例42．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（       ）
A． B． C．5 D．

例43．（2022·江苏·高二）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

例44．（2022·江苏·高二课时练习）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______.

例45．（2022·江苏·高二）求直线被双曲线截得的弦长.

例46．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.

例47．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．

例48．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.

例49．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.

例50．（2022·甘肃兰州·高二期末（文））已知双曲线及直线．
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．

例51．（2022·全国·高二期末）已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.


题型六：双曲线的综合问题
例52．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.

例53．（2022·全国·高二）已知双曲线，是上的任意点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.

例54．（2022·上海·格致中学高二期中）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.
(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；
(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.

例55．（2022·江苏·高二）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：
①在抛物线C上，且；②过焦点F作x轴的平行线，与抛物线C交于G，H两点，；③抛物线C的准线过双曲线的下焦点．
问题：已知抛物线的焦点为F，点，______，若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，求线段PQ的长度．

例56．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.
(1)求C的标准方程；
(2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，
①求k的取值范围；
②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.

例57．（2022·福建泉州·高二期中）平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．

例58．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）如图，在以点O为圆心，为直径的半圆中，D为半圆弧的中点，P为半圆弧上一点，且，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．

(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E，F，若的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围．

例59．（2022·全国·高二课时练习）双曲线上的一点P与左右焦点、构成．
(1)求的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标；
(2)已知，求的大小．

例60．（2022·全国·高二课时练习）直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

例61．（2022·全国·高二课时练习）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．


题型七：直线与抛物线的位置关系
例62．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条

例63．（多选题）（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线相切，则（     ）
A． B． C． D．

例64．（2022·北京二中高二学业考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________.

例65．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．

例66．（2022·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）抛物线的准线与轴相交于点，过点作斜率的直线交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率___________.

例67．（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.

例68．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为______．

例69．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.

例70．（2022·全国·高二课时练习）①直线l过点，②直线l与抛物线只有一个公共点，③直线l过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线l的方程.

例71．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．

例72．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．


题型八：抛物线的弦
例73．（2022·江苏·高二）己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（       ）
A．24 B．22 C．20 D．16

例74．（2022·江苏·高二）抛物线的弦AB过其焦点，且垂直于它的对称轴，O为原点，若△AOB的面积为3，则抛物线方程为______．

例75．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．

例76．（2022·江苏·高二）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______．

例77．（2022·全国·高二单元测试）过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，若弦，则该直线的方程是___________.

例78．（2022·江苏·高二）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则___________.

例79．（2022·全国·高二课时练习）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.

例80．（2022·广西·高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，坐标原点为.
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求的面积.

例81．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．

例82．（2022·江苏·高二）已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点，若，求弦长．

例83．（2022·江苏·高二）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．

例84．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.


题型九：抛物线的综合问题
例85．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.

例86．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．

例87．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

例88．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若点D的坐标为，求这两条切线的方程；
(2)证明：直线AB过定点.

例89．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知抛物线，直线交C于A，B两点．
(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；
(2)设，，若，求证：直线过定点．

例90．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.

例91．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．

例92．（2022·江苏·高二）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的准线方程是．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，求证：．

例93．（2022·全国·高二期中）设AB是过抛物线焦点F的一条弦，点A，B在抛物线的准线上的射影分别是，，证明：
(1)；
(2)以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．