【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第02讲《勾股定理逆定理与勾股数》预习讲学案

第02讲 勾股定理逆定理与勾股数

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

【基础知识】

一．勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如）.

（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若

，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

三．勾股数

勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

【考点剖析】

一．勾股定理的逆定理（共5小题）

1．（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求证AC⊥CD．

2．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？

3．（2021秋•漳州期末）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形．

4．（2021春•商河县校级期末）如图，点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝，求证：∠ACE＝90°．

5．（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．

（1）求BC的长；

（2）求证：△BCD是直角三角形．

二．勾股数（共4小题）

6．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（　　）

A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 

C．，， D．32，42，52

7．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．

8．观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a、b、c．根据你发现的规律，回答下列问题：

（1）a＝17时，求b、c的值；

（2）a＝2n+1时，求b、c的值．

9．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．

【过关检测】

一．选择题（共4小题）

1．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2．（2022春•仓山区期中）下列各组数，是勾股数的一组是（　　）

A．13，14，15 B．15，8，17 C．3，4， D．1，，

3．（2021秋•徐汇区期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）

A．三内角之比为3：4：5 

B．三边长的平方之比为1：2：3 

C．三边长之比为7：24：25 

D．三内角之比为1：2：3

4．（2021秋•榆林期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（　　）

A．1，2， B．6，8，10 

C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5

二．填空题（共9小题）

5．（2022春•长沙月考）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝　   　．

6．（2021秋•普陀区期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为 　   　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

7．（2021秋•淮安区期末）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为　   　．

8．（2021秋•牡丹区校级月考）勾股数为一组连续自然数的是 　   　．

9．（2021春•潼南区期末）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为　   　cm2．

10．（2022春•泗水县期中）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 　   　．

11．（2021秋•太原期末）已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是 　   　cm2．

12．（2022春•孝南区月考）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：　   　．

13．（2021春•绥滨县期末）已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝　   　时，∠C＝90°．

三．解答题（共7小题）

14．（2021春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．

15．（2021春•睢县期中）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12，

（1）求证：CD⊥AB；

（2）求三角形ABC的周长．

16．（2021春•芜湖期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝1，AD＝5，且∠C＝90°，求四边形ABCD的面积．

17．（2019秋•玄武区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．

（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．

（2）求DF的长．

18．（2021春•天心区期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由．

19．（2020春•东莞市期末）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝．

（1）求AC、CE的长；

（2）求证：∠ACE＝90°．

20．（2019秋•红河州期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12，求BC的长度．