【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第11讲《一次函数与正比例函数》预习讲学案

第11讲 一次函数与正比例函数

【学习目标】

1．理解正比例函数和一次函数的概念，，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.

2．通过讨论一次函数与一元一次方程的关系，用函数的观点加深对已经学习过的一元一次方程内容的再认识.

【基础知识】

一．一次函数的定义

（1）一次函数的定义：

一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．

（2）注意：

①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．

②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．

③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．

④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．

二．正比例函数的定义

（1）正比例函数的定义：

一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．

（2）正比例函数图象的性质

正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．

当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．

（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．

三．待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．

注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．

四．待定系数法求正比例函数解析式

待定系数法求正比例函数的解析式．

五．一次函数与一元一次方程

一次函数与一元一次方程．

六．根据实际问题列一次函数关系式

根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．

【考点剖析】

一．一次函数的定义（共3小题）

1．（2022春•卧龙区期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（　　）

A．y＝x﹣x2 B．y＝ C．y＝kx+b D．y＝﹣x

2．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是 　   　．

3．当m取何值时，函数y＝（m+5）x2m﹣1+7x﹣3（x≠0）是一个一次函数？

二．正比例函数的定义（共2小题）

4．（2021春•新化县期末）若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值．

5．（2021春•饶平县校级期末）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，

（1）写出y与x之间的函数解析式：

（2）求当x＝﹣4时，y的值．

三．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）

6．（2020秋•永嘉县校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值．

7．（2021春•饶平县校级期末）已知y与x+1成正比例，且x＝﹣2时y＝2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设点P（a，4）在（1）中的函数图象上，求点P的坐标．

8．（2021春•江城区期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣11，求k和b的值．

四．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）

9．（2021春•惠州期末）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．

10．（2008秋•淮安区期末）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值．

11．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．

（1）求y与x之间的关系式；

（2）当x＝﹣1时，求y的值．

五．一次函数与一元一次方程（共2小题）

12．利用函数图象解下列方程

（1）0.5x﹣3＝1

（2）3x﹣2＝x+4

【思路导引】

把0.5x﹣3＝1变化为y＝　   　画出函数y＝　   　的图象，求得函数和x轴的交点．

13．用函数图象求解下列方程．

①2x﹣3＝x﹣2；

②x+3＝2x+1．

六．根据实际问题列一次函数关系式（共3小题）

14．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB＝xcm，BC＝ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．

15．已知等腰三角形的周长是18cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数，试求函数的关系式，并写出自变量的取值范围．

16．一辆汽车以50千米/小时的速度，从相距150千米的甲城市开往乙城市．

（1）求汽车与乙城市的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数解析式，写出自变量的取值范围．

（2）判断y是x的什么函数．

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2022春•杨浦区校级期中）下列函数中，一次函数一共有（　　）个．

（1）y＝+1；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（　　）

A．3 B．﹣3 

C．3或﹣3 D．k的值不确定

3．（2021秋•芝罘区期末）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（　　）

A．10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形 

B．斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm） 

C．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm） 

D．路程一定时，时间y（h）和速度x（km/h）的关系

4．（2021秋•江阴市期末）下列函数中，属于正比例函数的是（　　）

A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x+1 C．y＝ D．y＝

5．（2021秋•青羊区校级期末）下列各式①y＝﹣8x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣8x2+2；⑤y＝0.5x﹣3，是一次函数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2021春•淄川区期中）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值：

则y与x的函数表达式为（　　）

A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1

二．填空题（共7小题）

7．（2021秋•杭州期末）正比例函数y＝3x的比例系数是 　   　．

8．（2021秋•丹阳市期末）一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝　   　．

9．（2021秋•毕节市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|3﹣m|+5是关于x的一次函数，则m＝　   　．

10．（2021春•铁西区期末）若关于x的方程﹣2ax+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2ax+b一定经过某点的坐标为 　   　．

11．（2021春•浦北县期末）若函数y＝kx+b（k≠0）是正比例函数，则b的值为 　   　．

12．（2021春•贵港期末）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与一次函数y＝kx+（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x＝kx+的解是 　   　．

13．（2021春•鄢陵县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为　   　．

三．解答题（共7小题）

14．（2021春•饶平县校级期末）已知函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求这个正比例函数的解析式．

15．（2021春•和平区校级月考）已知直线l与直线y＝2x+1的交点的横坐标为2，与直线y＝﹣x﹣8的交点的纵坐标为﹣7，求直线l的表达式．

16．（2021春•朝阳区校级期中）已知z＝m+y，m是常数，y是x的正比例函数．当x＝2时，z＝1；当x＝3时，z＝﹣1，求z与x的函数关系式．

17．（2021春•营口月考）已知一次函数的图象过点（1，﹣1），（﹣1，2）．

（1）求这个函数的解析式；

（2）求当x＝2时的函数值．

18．（2020秋•蚌埠月考）已知直线y＝kx+b中，自变量x的取值范围是﹣1≤x≤7，相应函数值的范围是﹣12≤y≤8，求该函数的表达式．

19．（2021春•凤山县期末）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x＝2时，求y的值．

20．（2020秋•安庆期中）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．

（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？

（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？