【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第02讲《集合的运算》同步讲学案

第二讲  集合的运算

【教学目标】

1. 掌握集合的交、并、补等运算，知道有关的基本运算性质，会求几个集合的交集和并集，会求已知集合的补集；

2. 会将集合间的交与并的各种不同情况的文氏图表示出来；

3. 一个集合与另一个集合的补集的混合运算.

【应知应会】

（一）知识回顾

1. 集合的概念，集合元素的三特征；

2. 集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法的特点；

3. 集合的分类：有限集、无限集、空集；

4. 关于“属于”、“包含”关系的概念；

5. 子集的概念及有关符号与性质.

（二）典例测试

【难度系数：★   参考时间：10 min】

1. 用适当的方法表示下列集合：

（1）平方后仍等于原数的数集；

（2）比2大3的数的集合；

（3）不等式的整数解集；

（4）过原点的直线上的点形成的集合.

2. 用列举法表示集合：，，，并用适当的符号表示它们之间的关系.

3. 已知集合，，且， 求实数的取值范围.  

引入

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，类比实数的加减运算，两个集合是否也可以“相加减”呢？

知识梳理

（一）交集

【难度系数：★   参考时间：10 min】

1. 提出问题

（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合集合有什么关系？

（2）考察集合，与集合之间的关系.

2. 定义

由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集（intersection），记作，读作“交”，即

.

例如，；

又如，，，则.

可以用文氏图直观地反应的三种不同情况，如图所示.

3. 基本性质

  （1）；   （2）；  （3）；   （4）

4. 例题

例1. 设，，求.

例2. 设，，求.

例3. 已知集合，，那么集合为 ………（     ）

A.   B.      C.    D. 

注：求两集合的交集，即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合. 本题中就是求方程组的解组成的集合. 另外要弄清集合中元素的一般形式.

（二）并集                

【难度系数：★   参考时间：10 min】

1. 提出问题

（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合集合有什么关系？

（2）考察集合，与集合之间的关系.

2. 定义

由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的并集（union），记作，读作“A并B”，即

.

例如，；

又如，，，则.

可以用文氏图直观地反映的三种不同情况，如图所示.
3. 基本性质

（1）；   （2）；   （3）；   （4）

4. 例题

例4. 设，，求.

例5. 设，，求.

例6. 已知关于的方程的解集为，方程的解集为，若，求. 

注：中的元素既是中的元素，又是中的元素，是解决本题的突破口；中只能出现一次与的公共元素，这是在求集合并集时需注意的. 

5. 拓展

容斥原理：

（三）全集与补集

【难度系数：★   参考时间：10 min】

1. 定义

（1）全集：在数学研究中，所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或者元素，那么这个确定的集合称为全集（universal set），常用符号表示.

（2）补集；若是全集的子集，由中不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集（complementary set），记作，读作“补”，即

且

可以用文氏图直观地反映，如图所示，其中阴影部分表示集合在全集中的补集.

2. 基本性质

    （1）；          （2）；            （3）； 

                （4）；        （5）

3. 例题

例7. 设，，，求，.

例8. 设全集，，，求，.  

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：30 min】

1. 集合，，，则=           .

2. 已知集合，，且，则实数的取值范围是           .

3. 若为三个集合，则一定有………………………………………………… （    ）

A.     B.     C.    D.

4. 已知全集，集合，，则集合中元素的个数为………………………………………………………………………………………………              （    ）

A. 1     B. 2    C. 3     D. 4

5. 已知全集，若，，求实数.

6. 已知全集，其子集满足，，，求集合.

7. 设集合，，若，求实数的值.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：15 min】

1. 设为全集，非空集合满足，则下列集合中空集的为…………………………… （    ）

A.     B.    C.    D.

2. 已知集合满足，，则的关系为………………………… （    ）

A.     B.    C.     D.

3. 设是全集，非空集合满足. 若含的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是            . （只要求写出一个表达式）

4. 定义集合运算：，设，，则集合 的所有元素之和为            .

5. 已知集合，集合，，. 若，求实数的取值范围.

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：15 min】

1. 若集合，，，则    ，     .

2. 已知全集，集合，，其中，若，求.

3. 设集合，集合，求：

（1）实数在什么范围内取值时，，且；

（2）实数在什么范围内取值时，.  

4. 已知三个集合，，， 问同时满足，的实数是否存在?若存在，求出所有值的集合；若不存在，请说明理由.

5. 某班有学生15人，其中会英语者有10人，会法语者有7人，会德语者有4人. 又同时掌握英、法两种语言的人数为4人，同时掌握英、德两种语言者为2人，同时掌握法、德两种语言者为2人. 请问：同时会三种语言的有几人？

D组  综合训练

【难度系数：★★★  参考时间：30 min】

1. 设集合1，2，1，2，3，则___________.
2. 已知集合，集合，___________.

3. 设集合，，或，则___________.

4. 某班学生共45人，某日作业中：数学20人得优，语文15人得优，这两门课都不得优的有20人，则这两门课都得优的人数为___________.

5. 集合0，1，2，3，且，则___________.

6. 已知集合，.

（1）若，求；

（2）若集合，求.

7. 已知，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若且，求实数的取值范围.