【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第03讲《常用逻辑用语》同步讲学案

第三讲  常用逻辑用语

【教学目标】

1. 了解命题和推出关系的概念；

2. 能分辨充分条件、必要条件、充分必要条件之间的关系和区别；

3. 掌握充分条件、必要条件、充分必要条件的证明；

4. 掌握反证法.

知识梳理

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

1. 命题  能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题.

说明：①命题必定由条件与结论两部分组成；

②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）；

【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段.

③真命题的确定：直接法和反证法.

说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述.

例1. 下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？

（1）个位数是5的自然数能被5整除；   

（2）凡直角三角形都相似；      

（3）上课请不要讲话；      

（4）若两个角互为补角，则这两个角不相等；

（5）你是高一学生吗？                 

（6）.  

2. 推出关系  如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）.

因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：

若且，则.

它是逻辑推理的基础.

例2. 在下列各题中，用符号“”或“”把这两件事联系起来.

（1）：实数满足，： 或

（2）：，：或（为全集）

（3）：，：

（4）：，：  

3. 充分条件，必要条件

【定义】对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件.

【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人.

（1）若，，那么叫做的充分非必要条件

（2）若，，那么叫做的必要非充分条件                   

（3）若，，那么叫做的充要条件 

（4）若，，那么叫做的既非充分也非必要条件

【子集与推出关系】是的充分条件：；是的充分非必要条件： 【小推大】

例3. 指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等）

（1）：；：.  

（2）：同位角相等；：两直线平行.  

（3）：；：.  

（4）：；：.  

例4. 已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的          条件，是
的          条件，是的          条件. （填“充分”或“必要”）   

例5. 设集合，，，那么点的充要条件是…………………………………………………………………… （    ）

 A. ，     B. ， 

 C. ，     D. ，

4. 反证法

要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法.

例6. 设，证明：若是偶数，则也是偶数.

5. 一些常用的否定形式

应用反证法证明命题第一步是假设的命题不成立，即否定命题的结论. 这一步是十分关键的. 只有这步表述得对了，接下去的逻辑推理才有意义. 数学上一些常用的否定形式如下表.

一些常用的否定形式

例7. 已知，证明：若，则或.

例8. 证明：是无理数.

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 判断下列命题的真假：

（1）素数是奇数；

（2）不含任何元素的集合是空集；

（3）是的真子集；

（4）0是的真子集；

（5）为两集合，如果，那么；

（6）如果是的子集，那么不是的子集.

2. 用符号“”表示下列事件的推出关系：

（1）：是等边三角形，：是轴对称图形； 

（2）：一次函数的图像经过第一、二、三象限，：一次函数中，； 

（3）：实数适合，：.

3. （1）“，”是“”的           条件.  

（2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的          条件.  

（3）“设集合，”，则“”或“”是“”的          条件.

4. 下列各式中哪些是“都不为零”的充分非必要条件？必要非充分条件？充要条件？双非条件？

（1）且； 

（2）； 

（3）； 

（4）； 

（5）； 

（6）.  

5. 是方程的两实数根；，则是的          条件.

6. 用充分、必要条件填空： 

（1）且是的                   ；

（2）或是的                    .

7. 已知条件，条件，则的否定是的                 条件.

8. 设，证明：若是奇数，则是奇数.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

1. 下面有四个命题：①集合中最小的数是；②若不属于，则属于；③若，则的最小值为；④的解可表示为. 其中真命题的个数为……………………………              （    ）

A. 个      B. 个      C. 个       D. 个

2. 对任意实数，给出下列命题：

 ①“”是“”充要条件；

 ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

 ③“”是“”的充分条件；  

 ④“”是“”的必要条件.

其中真命题的个数是 …………………………………………………………………………………… （    ）

A. 1     B. 2     C. 3     D. 4

3. 一次函数图象同时经过第一、三、四象限的必要非充分条件是……………… （      ）

A. 且   B.     C. 且   D. 且

4. 不等式成立的充分非必要条件是……………………………………………………（      ）

A.        B.        C.       D.

5. 已知且，则是的__________条件.

6. 若实数满足，，.

求证：中至少有一个是负数.

7. 已知下列三个方程：，，至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围.

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：15 min】

1. 是成立的                条件.  

2. 求证：关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件是.

3. 已知和均为正有理数，且与都是无理数，证明：也是无理数.

4. 六个少年按六边形围坐着，另一个少年则蒙着眼睛坐在当中. 有人往每人头上戴一顶帽子，其中四顶白帽子，三顶黑帽子. 由于挡住了视线，六个少年都看不见自己正对面的人戴的是什么颜色的帽子. 现在让猜自己头上戴的帽子的颜色. 智力游戏一开始，六个少年陷入沉思，一时都猜不出来. 这时，坐在当中的说：“我猜到了，我戴的是白帽子. ”，请问是如何推理的?

5. 同住一间寝室的四个女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐. （1）不在修指甲，也不在看书；（2）不在听音乐，也不在修指甲；（3）如果不在听音乐，那么不在剪指甲；（4）既不在看书，也不在修指甲；（5）不在看书，也不在听音乐. 若上面的命题都是真命题，问她们各自在做什么？

D组  综合训练

【难度系数：★★★    参考时间：30 min】

1. 判断下列命题的真假：

（1）若，则；（    ）

（2）若，则；（    ）

（3）若，则. （    ）

2. 用符号“或”连接命题A与B，并填写命题A是命题B的什么条件（填写充分非必要或必要非充分）：

（1）A：          B：；   A是B的               条件；

（2）A：          B：；     A是B的               条件.

3. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个偶数”正确的假设应为__________.

4. 若p是q的必要非充分条件，R是q的充分非必要条件，则p是R的（    ）

A. 充分非必要条件  B. 必要非充分条件

C. 充要条件  D. 既非充分又非必要条件

5. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？

（1）p：，q：；

（2）p：或；q：；

（3）p：能被6整除，q：能被3整除.

6. 设：，：，若是的充分条件，求实数的取值范围.

7. 已知命题p：集合，q：集合.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若是q的充分非必要条件，求实数的取值范围.