【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第11讲《幂函数》同步讲学案

第十一讲  幂函数

【教学目标】

1. 理解幂函数的概念，掌握幂函数的图像与性质并能简单应用；

2. 体会幂函数的幂指数与其图像之间的对应关系；

3. 通过研究幂函数，理解它们的变化规律，并会作函数的大致图像.

【应知应会】

一、复习引入

在初中阶段，我们已经学习过正比例函数，反比例函数即以及二次函数，它们的“音容笑貌”还记得吗？这三个函数从形式上具备怎样的共同特征？

二、知识梳理

【难度系数：★★★   参考时间：15 min】

（一）幂函数的定义

当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数（power functions）. 使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域. 幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数的值有关.

【注】（1）幂函数的系数为1；

（2）幂函数的指数.

（二）幂函数的图象

（三）幂函数的性质  

所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）.

时：（图A）

（1）图象都通过（0，0），（1，1）；

（2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）增大（严格增函数）.

时：（图B）

（1）图象都通过点（1，1）；

（2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）减小（严格减函数）；

（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近.

【思考】时，图像如何画？

【小结】与两坐标轴都无公共点

幂的基本不等式：当时，若，则，得.

三、典型例题

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

例1. 求函数的定义域.

【答案】

例2. 写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性.

【答案】，严格减

例3. 已知，求实数的取值范围. 【答案】

变式1. 已知，求实数的取值范围. 【答案】

变式2. 已知，求实数的取值范围. 【答案】

【提示】法一：分类讨论：①正正；②负负；③一正一负；

法二：穿针引线：

变式3. 已知，求实数的取值范围.

【答案】     【提示】

例4. 已知点在函数的图像上.

（1）求实数的值；

（2）作出此函数的大致图像，并写出对称中心以及判断它的单调性.

【答案】（1）由，，可得，得；

（2）函数的图像如图2所示，其对称中心为

该函数在区间和区间上是严格减函数

例5. 设幂函数.

（1）求证：该函数在区间上是严格减函数；

（2）设，，利用（1）的结论，比较与的大小.

【答案】（1）利用幂的基本不等式；（2）

【解析】（1）证明：对于任意、，且，于是

由，得，故【幂的基本不等式】，则

所以，故该函数在上是严格减函数

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 若幂函数的图像经过点，则___________. 【答案】

2. 函数与的图像交点的坐标为                . 【答案】

3. 幂函数的图像必经过第___________象限. 【答案】一、三

4. 若，则实数的取值范围为                      . 【答案】，数形结合

5. 若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格减函数，写出一个满足上述条件的函数表达式：             . 【答案】

6. 下列结论：①幂函数的图像都经过点和；②幂函数的图像不可能在第四象限；③当时，函数的图像是一条直线；④当时，幂函数是严格增函数；⑤当时，幂函数在第一象限内是严格减函数. 其中，正确的序号有             . 【答案】②⑤

7. 下列函数是幂函数的是…………………………………………………………………………………（ C  ）

A. ； B. ；      C. ；           D. .

8. 请把相应的幂函数图像代号填入表格.

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.

【答案】依次是E，C，A，G，B，D，H，F.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：25 min】

1. 若，则实数的取值范围为___________. 【答案】

2. 若幂函数的图像与坐标轴无交点，则实数的所有取值组成的集合为___________. 【答案】

3. 不等式的解集为             . 【答案】 

【提示】移项，两边6次方（最小公倍数）【分数指数幂变整数指数幂】

4. 若，则实数的取值范围为___________________. 【答案】

5. 设，则下列不等式成立的是………………………………………………………………（ C  ）

A. ；   B. ；   C. ；   D. .

6. 设. 若，均有成立，则取值的个数是（ A  ）

A. 4个；    B. 3个；    C. 2个；    D. 1个.

【提示】数形结合：幂函数PK“V”字型

7. 设点在幂函数的图像上，点幂函数的图像上. 问：当为何值时，？

【答案】

8. 设幂函数在区间上是严格减函数.

（1）求该函数的表达式；

（2）设（为奇数），，且函数的图像关于原点对称，写出实数满足的条件.

【答案】（1）或；（2）

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】

1. 下列结论中，正确的是……………………………………………………………………………………（ A ）

A. 幂函数的图像都不经过第四象限；

B. 幂函数，当时为严格增函数，当时为严格减函数；

C. 两个不同的幂函数的图像最多有三个交点，最少有0个交点；

D. 若幂函数的图像关于轴对称，则幂函数的图像也关于轴对称.

2. 若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则…………………………………………（ B  ）

A.            

B. ，

C. ，            

D. ，

3. 设函数的图像与两坐标轴都无公共点，且关于原点对称，则的值为         .

【答案】0或2

【提示】与两坐标轴都无公共点

4. 设幂函数，当时，其图像在函数的图像的上方，则的范围为         .

【答案】     【提示】数形结合，分类讨论

5. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一簇美丽

的曲线（如图）．设点A(1,0)，B(0,1)，联结AB，线段AB恰好被其中的两个幂

函数，的图像三等分，即有BM=MN=NA，可得________.

【答案】1

【提示】，

6. 设函数，根据下列条件分别求出的值：

（1）该函数为二次函数；

（2）该函数为幂函数，且在区间上是严格减函数.

【答案】（1）；（2）

7. （1）求函数的单调区间和对称中心；

（2）求函数（）的单调区间和对称中心；若此函数是由某个幂函数平移得到的，求、满足的条件.

【答案】（1），和严格单调递增，对称中心；

（2），，和严格单调递减，对称中心；.

8. 设幂函数（）的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数.

（1）求的表达式；

（2）记. 求实数，使得函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数.

【答案】（1）；（2）

【提示】（2）换元，由题意得在取最小值

D组  综合训练

【难度系数：★★★    参考时间：30 min】

1. 下列所给出的函数中，是幂函数的是           （填序号）.

①；②；③；④

【答案】②

2. 若，则使函数的定义域为R且图像关于原点成中心对称的所有的值为________. 【答案】1，3

3. 若幂函数在上是严格减函数，则实数的值为       .

【答案】

4. 已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是严格增函数，求函数的表达式.

【答案】或

5. 已知，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】在和都为严格减函数，

所以，或，或，解得或

6. 已知函数，当m取什么值时，这个函数是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）在第一象限内它的图像是上升曲线？

【解析】（1）由可得；

（2）由可得；

（3）由可得或.

7. 已知幂函数的图像与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定函数的表达式.

【答案】或

【提示】由，又是偶数，得，1，3.