【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第15讲《幂指对函数复习及阶段测试》同步讲学案

第十五讲  《幂指对（函数）》复习

一、知识梳理

【难度系数：★   参考时间：15 min】

（一）幂函数   

1. 定义：形如（）     幂的基本不等式：当，时，

2. 幂运算法则：（1）（2）（3）（4）（5）

3. 图像：①当时，下凹严格增      ②当时，正比例严格增

        ③当时，上凸严格增   ④当时，反比例严格减

4. 性质：①当时，函数过定点、，在上严格增

②当时，函数过定点，在上严格减，坐标轴为渐近线

③，奇分之奇仍为奇，奇分之偶方为偶，分母偶数两不是

（二）指数函数和对数函数                    

1. 对数概念：   真数     

(1)      (2)零与负数没有对数      (3)      (4)     (5)

2. 对数运算及性质（）

(1) （积）       (2) （商）

(3) （真数幂）       (4) （底数幂）

(5) （换底）                               (6) （倒数）

(7) （恒等式）                            (8) （恒等式）

3. 指数函数和对数函数

二、典型例题

【难度系数：★   参考时间：20 min】

例1. 解不等式：.

【答案】

例2. 已知，函数的图像关于原点对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值.

【答案】1，3，5，7

例3. 已知，，用、表示.

【答案】

例4. 求函数，的最值.

【解析】设，则，对称轴，在严格减

所以当，时，；当，时，

例5. 已知函数（其中、为常量，且，）的图像经过点.

（1）求该函数的表达式；（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

例6. 已知，求下列各式的值：

（1）；            （2）；           （3）.

【答案】（1）8；             （2）3；                  （3）

【解析】（1）原式

（2），，

（3）

，，

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 计算：________. 【答案】

2. 若，且，，则________. 【答案】

3. 若，则________. 【答案】

4. 若点在幂函数的图像上，则________. 【答案】6

5. 函数的定义域是                   . 【答案】

6. 若函数在R上是严格增函数，则实数m的取值范围是          . 【答案】

7. 若，则等于……………………………………（      ）

A. 4 B. 2 C.  D. 1

【答案】B

8. 若，，，则的最小值是………………………………………（      ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

9. 函数的值域为………………………………………………………………………（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

10. 已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ）

A.  B. 2 C. 或2 D. 3

【答案】A

11. 已知，求的值.

【答案】

12. 求函数的最大值及相应x的取值.

【答案】当时，

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：25 min】

1. 若，则的值是________. 【答案】

2. 若，且，则的值是________. 【答案】

3. 方程的解为________. 【答案】0或1

4. 已知，，试用、表示              .

【答案】

5. 无论为何值，函数恒过一定点，这个定点的坐标是________.

【答案】

6. 若函数在区间是严格减函数，则实数的取值集合是________.

【答案】

7. 若，则的取值范围是………………………………………………………………（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C（可用特殊值法）

8. 若，则的值为………………………………………………（       ）

A.  B. 4 C. 1 D. 4或1

【答案】B（可用淘汰法或特殊值法）

9. 设，，若函数在的函数值大于函数在的函数值，函数在的函数值大于的函数值，则下列关系式中一定成立的是………………………………………………………（      ）

A.   B.

C.   D.

【答案】D

10. 已知关于x的方程有实数解，求实数的取值范围.

【答案】

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★    参考时间：45 min】

1. 若函数在上严格单调递减，则实数的取值范围是________.

【答案】

2. 若正实数、、均不为1，满足，且，则的值为________.

【答案】1

3. 函数. 若时，函数值均小于0，则实数的取值范围是           .

【答案】

【提示】；；综上

4. 若函数的值域为，当正数、满足时，则的最小值为…………………………………………………………………………………………………（       ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】A       【提示】，所以，从而

当且仅当，时等号成立

5. 已知、是方程的两个实根，求的值.

【答案】12

【解析】原方程可化为，设，则原方程化为，所以，

由已知，是原方程的两个根，则，，即，

故

6. 已知函数的图像过点和.

（1）求此函数的表达式；

（2）已知函数，若两个函数图像在区间上有公共点，求t的最小值.

【解析】（1）解得所以.

（2）由（1），在上有解，在严格单调递增，

所以当，最小值2. 所以，即：t的最小值为2.

7. 已知不等式的解集为M，求当时，函数的最大值和最小值. 【答案】；【解析】因为，所以

所以，即，所以，所以.

所以.     .

因为，所以.

所以当，即时，；当，即时，.

8. （1）关于x的方程在上有唯一解，求实数k的取值范围；

（2）已知关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

【解析】（1）令，所以原方程化为即

显然，，再令，，

在同一直角坐标系中作出它们的图像，所以原方程有唯一解，两曲线有唯一公共点

或，所以或

（2）原方程可化为       令得

原方程有两个不同的实数根等价于方程有两个大于0的根，于是即得

D组  综合训练

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

1. 若函数在区间上是严格减函数，则实数m的取值范围是________.

【答案】

2. 若函数的定义域是R，则的取值范围是             .

【答案】

3. 若函数的值域是R，则实数的取值范围是                .

【答案】

4. 若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是________.

【答案】

5. 若函数，存在实数，和的函数值相反，则实数m的取值范围是________.

【答案】

6. 方程解的情况为……………………………………………………………………（      ）

A. 两个正根  B. 一个正根一个负根

C. 一个正根  D. 无实数根

【答案】C

7. 如果，m、n为不等于1的正数，那么下列关系式中成立的是………………（      ）

A.   B.

C.   D.

【答案】D

8. 若，，，且，，则等于………………（      ）

A.   B.

C.   D.

【答案】D

9. 化简或求值：

（1）；  （2）.

【答案】（1）  （2） 

10. 已知x满足，求函数的最大值和最小值.

【答案】当时，最小值为0；当时，最大值为2.

11. 已知，求的值.

【解析】由，去分母可得，

所以 ，所以.

12. 设x、y、z均为正数，且.

（1）试求x、y、z之间的关系；

（2）求使成立，且与p最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的正整数）；

（3）试比较3x、4y、6z的大小.

【解析】（1）令，由x、y、z均为正数得，

则，所以

因为，且，所以；

（2）因为，所以，

所以，即，因为，，

因为，所以，即，所以与p的差最小的整数是3；

（3）由（1）得，，，，

又x、y、且x、y、，所以，，

所以，则，同理可求，则，综上可知，.

阶段测试卷

                         （总分100分，时间45分钟）        姓名         成绩       

一、填空题（共12小题，1~6每题4分，7~11每题6分，共54分）

1. 已知，，则          .

【答案】    【出处】2021·上海·2

2. 不等式的解集为          .

【答案】   【出处】2017·上海·3

3. 已知集合且，则实数的值为             .

【答案】

【提示】

4. 已知，，用，表示=             .

【答案】

【提示】换底公式，

5. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是             .

【答案】，    【出处】2018·七宝·7

6. 已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上递减，则_________.

【答案】         【出处】2018·上海·7

7. 若，且，则的最大值为        .

【答案】         【出处】2019·上海·7

【提示】

8. 集合，若，，则实数的取值范围是                 .

【答案】 

【提示】分母为零，

9. 已知集合，集合，且，，则        ，        ，        .

【答案】  

【提示】推理出A集合只有一根，

10. 已知，则           .

【答案】2

【解析】即

两边同除以，得，解得或，由，故

所以

11. 若集合中只有一个元素，则实数的取值范围是___________.

【答案】 

【出处】2017·上中·5

【提示】绝对值的几何意义，距离最近的整数和，一个距离，一个距离，能否取等

二、选择题（共2小题，第12题4分，第13题6分，共10分）

12. 若，则“”是“”的（       ）.

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 

【答案】A      【出处】2020·复旦青分·10月月考·3

13. 已知集合，是的子集，当时，，且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的4元子集的个数是（       ）.

A. 4        B. 5        C. 6        D. 7

【答案】C       【提示】注意审题，理解题意，一一列举

四连：，，；2连+2连：，，

三、解答题（共2大题，第14题16分，第15题20分，共36分）

14. （本题共2问，第一小问6分，第二小问10分，共16分）

（1）已知关于的二次方程两根均在区间内，求实数的取值范围；

（2）已知，求函数在上的最小值.

【答案】（1）；（2）

【提示】（1）同一区间，要看三点；（2）定轴动区间，区间漂流记，对称轴左中右

15. （本题共2问，第一问8分，第二小问12分，共20分）

已知关于的不等式（），设为整数集.

（1）求不等式的解集；

（2）对于上述集合，设，探究能否为有限集？若能，求出使元素个数最少时的的所有取值，及此时的集合，若不能，请说明理由.

【出处】2020·复旦青分·10月月考·20

【答案】（1）当时，；当时，；当时，；

（2），

【提示】（1）对应方程两根

只要，必定；只要，必定【平均值不等式】

（2）当时，，要使元素个数最少，只需

此时