【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第02讲《定义与命题证明》预习讲学案

第02讲 定义与命题 证明

一、定义、命题、基本事实与定理
1.定义

一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.

2.命题

一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．

命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.

要点：
    命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．

3.基本事实

人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.

4.定理

用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.

要点：

满足以下两个条件的真命题称为定理：

（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.

（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.

二、证明

1.证明

    从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．

2.证明表述格式

证明几何命题时，表述格式一般如下：

（1）按题意画出图形；

（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；

（3）在“证明”中写出推理过程.

要点：

在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.

三、三角形外角的性质

三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。

考点一：命题与真假命题

例1．下列语句中，不是命题的是(   )

A．两点确定一条直线 B．垂线段最短

C．同位角相等 D．作∠A的平分线

例2．下列命题是假命题的是（    ）

A．和为180°的两个角互补

B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

例3．命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③同位角相等④相等的角是对顶角；其中假命题有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点二：命题的语句，形式

例4．把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ）

A．如果两个角互余，那么这两个角相等 B．如果两个角相等．那么这两个角互为余角

C．如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等 D．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等

考点三：三角形外角的性质

例5．如图，，，中是外角的是（    ）

A．， B．， C．， D．，，

例6．如图，在中，，，延长至点，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

例7．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于()

A．30° B．40°

C．60° D．70°

例8．下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题的有__________（只填序号）．

例9．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：____________________

例10．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题

一、单选题

1．下列语句中，（       ）是命题．

A．在上取一点P，使 B．若，则

C．a不一定比b大 D．同位角不相等，两直线平行吗？

2．下列命题中，属于假命题的是（       ）

A．三角形三个内角的和等于 B．两直线平行，同位角相等

C．长方形的对角线相等 D．相等的角是对顶角

3．下列命题中，真命题的个数为（       ）个．

①一个角的补角可以是锐角；

②两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离；

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（       ）．

A．， B．，

C． D．，

5．下列推理正确的是(   )

A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°

B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2

C．∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角

D．∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角

6．下列推理中，错误的是(   )

A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD

B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ

C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c

D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF

7．如图中，D在BC的延长线上，过D作于F，交AC于E．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

8．如图，，点E在BC上，，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

9．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　)

A．30° B．40° C．45° D．50°

10．如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则，和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？

（1）作，（ ）          （2）两个锐角互余．（       ）

（3）直线a与b有可能垂直．（ ）          （4）作射线．（       ）

（5）作直线．（ ）          （6）整数一定是有理数．（       ）

12．把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为_____．

13．如图所示，，那么________，依据是__________．

14．要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步，有根有据地进行_________．

15．三角形的一边与_______叫做三角形的外角；因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为__________；由三角形内角和定理，可以推出推论：三角形的外角等于_________，三角形的一个外角大于__________；同时，三角形的外角和等于__________．

16．已知：如图，，，则________．

17．如图，，，，则________．

18．如图，则________．

三、解答题

19．指出下列命题的题设和结论：

（1）如果，垂足为，那么；

（2）如果，，那么；

（3）两直线平行，同位角相等．

20．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假，填入题前括号内．

（       ）（1）两点确定一条直线．

（       ）（2）等角的补角相等．

（       ）（3）内铺角相等．

（       ）（4）平行于同一直线的两条直线互相平行．

（       ）（5）直角都相等．

（       ）（6）对顶角的平分线成一条直线．

（       ）（7）两边分别平行的两个角相等．

21．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.

22．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．

（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题?

（2）写出一个真命题，并证明．

23．已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线．

(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）；

(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”，

已知：如图，_____________________________．

求证：________.

证明：____________________.

24．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：．

25．如图，在中，，外角．求和的度数．

26．如图，是的一个外角，过点D作直线，分别交AC和AB于点E，H．下列哪个结论一定不正确？

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

27．已知：如图，O是的内角和外角的平分线的交点．

（1）若，求；

（2）若，用n的代数式表示的度数．

28．在中，

（1）如图1，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？

（2）如图2，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？

（3）如图3，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？（请选择其中一道小题写出详细过程）

29．如下几个图形是五角星和它的变形．

（1）图①中是一个五角星，求的和．

（2）如果把图①中的点A向下移到BE上，形成如图②中五个星的和（即）有无变化？说明你的结论的正确性．

（3）如果把图②中点C向上移动到BD上，形成如图③的图形，则此时五个角的和（即）有无变化？说明你的理由．