【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第08讲《图形的轴对称 等腰三角形》预习讲学案

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第08讲 图形的轴对称 等腰三角形

一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点：
　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
　　要点：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
　　要点：
（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，
两弧相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形.
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B＝∠C
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.
(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.


例1．下列说法中正确的是（ ）
①对称轴上没有对称点；②如果与△关于直线对称，那么；③如果线段，直线垂直平分，则和关于直线对称；④射线不是轴对称图形．
A．② B．①④ C．②④ D．②③
【答案】A
【分析】
根据轴对称的性质和定义，对题中条件进行一一分析，选出正确答案．
①对称轴上有对称点，错误；
②如果与△关于直线对称，那么，正确；
③如果线段，直线垂直平分，由于位置关系不明确，则和不一定关于直线对称，错误；
④射线是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
【点睛】
本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
例2．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
【答案】D
【分析】
根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．
、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称，错误，例如图三：
故此选项错误；

、全等三角形是关于某直线对称的错误，例如图一，
故此选项错误；

、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧错误，例如图二：
，
故此选项错误；
、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，此选项正确；
故选：．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的应用，主要考查学生的理解能力，关键是熟练把握轴对称的定义．
例3．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．底边上的中线 B．顶角平分线 C．底边上的高 D．底边的垂直平分线
【答案】D
【分析】
根据等腰三角形的性质和图形的对称轴是直线解答即可．
解：根据等腰三角形的性质可知：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴，
选项A、B、C中底边上的中线，顶角平分线，底边上的高都是线段，故不符合题意；
选项D中，底边的垂直平分线是一条直线，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的轴对称性，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
例4．列四个图案中，不是轴对称图案的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案不是轴对称图形，符合题意；
C．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D．此图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
例5．有下列图形：角，线段，直角三角形，等边三角形，长方形.其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的定义依次判断即得答案.
解：根据轴对称图形的定义，角，线段，等边三角形和长方形一定是轴对称图形，共有4个.
故选：C.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义和常见的轴对称图形，熟知概念是解题关键.
例6．如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接，利用轴对称的性质解答即可．
解：连接，

点分别以、为对称轴，画出对称点、，
，，
，，
，
，
故选D．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
例7．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合．已知，的周长为，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据折叠的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得．
∵将沿直线折叠后，使得点与点重合，
∴，
∵的周长为，，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
例8．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（ ）

A．是等腰三角形 B．垂直平分
C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称的性质可以判断出图中各点或线段之间的关系．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，AA′∥CC′，
A′P和AC不一定垂直，
故选：D．
【点睛】
本题考查轴对称的性质与运用，等腰三角形的定义，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
例9．等边三角形是特殊的___________三角形，因此它也是___________图形，有_______条对称轴．
【答案】     等腰     轴对称     3
【解析】
【分析】
根据等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性即可得出结论．
解：等边三角形是特殊的__等腰___三角形，因此它也是__轴对称____图形，有____3___条对称轴．
故答案为：等腰；轴对称；3．
【点睛】
本题考查等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性，掌握等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性是解题关键．
例10．等腰三角形的一腰上的中线将三角形的周长分成9和15两部分，则该等腰三角形的腰长是______．
【答案】
【分析】
等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和15两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成腰＋腰一半和底＋腰一半两部分的长，哪个是9，哪个是15，因此，有两种情况，需要分类讨论；再利用三角形三边关系判断是否符合题意．
①若腰长和腰长的一半的和是9，则腰长为6，
底边长为，∵，
∴此时不能组成三角形，
②若腰长和腰长的一半的和是15，则腰长为10，
底边长为，能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是10．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质、中线的概念、三角形三边关系、分类讨论等知识点，难易程度适中，是一类典型的等腰三角形内容的训练题．答题的关键是理解等腰三角形腰上中线分成的两部分分别表示什么，并要注意利用三角形三边关系判断答案是否符合题意．


一、单选题
1．下列图形是轴对称图形的有（       ）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
解析：①③④⑤都能找到一条直线，使得图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形；②找不到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形．
答案：C
易错：D
错因：误认为第二个图形也是轴对称图形．
易错警示：判断图形是不是轴对称图形时，不能只凭感觉进行判断，必须根据轴对称图形的定义进行判断．
2．如图，是等边三角形，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质，以及平角的性质即可求得．
∵是等边三角形，
∴，
∴,
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　）

A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．ABB′C′
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质解答．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，
∴AC＝A′C′，BO＝B′O，AA′⊥MN，但ABB′C′不正确，
故选：D．
【点睛】
此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．
4．若一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60度，那么这个三角形是（       ）
A．等腰直角三角形 B．含有120度角的等腰三角形
C．等边三角形 D．含有60度角的直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定方法，是需要熟记的内容．
5．已知a、b、c是三角形的三边长，且满足，那么这个三角形一定是（       ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状．
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴这个三角形一定是等边三角形．
故选：B
【点睛】
本题考查的是非负数的性质以及等边三角形的判定，属较简单题目．
6．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ）

A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM
C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
解：直线是四边形的对称轴，
，，．
由于和不是对应线段，故不一定等于．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
7．如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（       ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分已知角是底角和不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．
解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度，
当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，
当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为，
则，
解得：，
即该等腰三角形的底角为：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是解答本题的关键．
8．已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据绝对值和平方的非负性，可得到，然后分两种情况讨论，即可求解．
解：根据题意得：
，
解得：．
若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，因为 ，不能组成三角形；
若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， ，能组成三角形，
所以周长为4+8+8=20．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的定义，绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
9．如图，在中，，点关于边的对称点为，点关于边的对称点为，点关于边的对称点为，则与的面积之比为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，依据AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，可得△ABC≌△A'B'C，进而得出S△ABC＝S△A'B'C，再根据CD＝CE＝EC'，可得S△A'B'C＝S△A'B'C'，进而得到S△ABC＝S△A'B'C'．
连接并反向延长交于，交于，连接，．
∵点关于边的对称点为，点关于边的对称点为，点关于边的对称点为，

∴，，，，垂直平分，
∴，
∴， ，
∴，∴，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得，
∴，
∴，
∴与的面积之比为．
故选B．
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．如图所示，，点为内一点，点关于对称的对称点分别为点，连接，分别与交于点，连接，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出．
∵
∴
∵，
∴
又∵点关于对称的对称点分别为点
∴，
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是解题的关键.
二、填空题
11．等边三角形的边长为a，则它的周长为______，等边三角形共有________条对称轴．
【答案】     3a     3
【解析】
【分析】
根据周长公式求解即可，根据轴对称图形的概念及对称轴求解即可.
解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a；等边三角形共有对称轴有3条．
故答案为：3a，3．
【点睛】
本题利用了等边三角形的三边相等的性质以及轴对称图形的对称轴的概念．
12．成轴对称的两个图形的主要性质是:
（1）成轴对称的两个图形是________﹔
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对________的垂直平分线．
【答案】     全等的     对应点所连线段
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点的垂直平分线，进行求解即可．
解：（1）成轴对称的两个图形是全等的；
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
故答案为：全等的，对应点所连线段．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
13．小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是________．

【答案】16:25:08
【解析】
【分析】
关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是16:25:08.
故答案为16:25:08.
【点睛】
本题考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．
14．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为_____．
【答案】15
【解析】
【分析】
分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可．
解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；
当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能组成三角形，
综上所述，等腰三角形的三边长为3，3，6，周长为15；
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系定理，是基础知识，要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．
15．如图所示，内一点P，，分别是P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，则的周长是__________．

【答案】5cm
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质可得MP1=MP，NP2=NP，可得MP1+NP2+MN=MP+MN+NP=P1P2，即可得答案．
∵，分别是P关于OA，OB的对称点，
∴MP1=MP，NP2=NP，
∵P1P2=5cm，
∴MP1+NP2+MN=MP+MN+NP=P1P2=5，
∴△PMN的周长为5cm，
故答案为：5cm
【点睛】
本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
16．一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】
先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，构建方程，再解方程可得答案.
解：如图，为等腰三角形，

设 则
当时，

解得：


当时，

解得：


故答案为：或
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.
17．△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，如果△ABC的周长为38cm，△A′B′C′的面积为55 cm2，那么△A′B′C′的周长为__________cm，△ABC的面积为__________cm2.

【答案】     38     55
【解析】
∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的周长与面积分别相等，
∵△ABC的周长为38cm，△A′B′C′的面积为55 cm2，
∴△A′B′C′的周长为38cm，△ABC的面积为55 cm2.
故答案为38；55.
18．有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰钝角三角形纸片的顶角度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠BAC与∠B的关系，再根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
解：如图，

，
．
设．
，
，
，
．
，
，
，
．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．正确画出图形是解题关键．
三、解答题
19．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．

【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析．
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可．
解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，
对称轴如下：
．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键．
20．燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线L为对称轴的轴对称图形．已知∠1＝∠4＝45°，求∠2和∠5的度数．

【答案】∠2＝45°，∠5＝45°
【解析】
【分析】
利用对顶角的定义以及轴对称图形的性质求出即可．
∵风筝的骨架如图所示，它是以直线L为对称轴的轴对称图形，∠1＝∠4＝45°，∴∠2＝∠4＝45°（对顶角相等），∠5＝∠4＝45°．

【点睛】
本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称图形的性质求出是解题的关键．
21．在以线段为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么共同特征？
【答案】这些顶点都在线段的垂直平分线上．
【解析】
【分析】
根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上判断即可．
解：设三角形的第三个端点为C，

∵CA=CB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的定义，熟练掌握性质是解题的关键．
22．如图，与关于直线对称．与的交点F在直线上．

（1）指出两个三角形中的对称点；
（2）指出两个三角形中相等的对应线段和对应角（各写三对即可）；
（3）图中还有对称的三角形吗？
【答案】（1）A→A，B→D，C→E，F→F；（2）AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；（3）不另加字母和线段的情况下：△AFC与△AFE，△ABF与△ADF，也都关于直线MN成轴对称．
【解析】
【分析】
根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形．
解：①A→A，B→D，C→E，F→F；
②AB=AD，AC=AE，BC=DE，
∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；
③不另加字母和线段的情况下：△AFC与△AFE，△ABF与△ADF，也都关于直线MN成轴对称．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的图形的性质．
23．如图，与关于直线对称，其中．


（1）连接，线段与的关系是什么？
（2）求的度数；
（3）求的周长和的面积．
【答案】（1）垂直平分线段；（2）90゜；（3）24cm，24cm2
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称的性质即可得到答案；
（2）根据成轴对称的两个图形全等即可得到答案；
（3）根据成轴对称的两个图形全等即可得到答案．
解：（1）∵与关于直线对称，
∴垂直平分线段；


（2）∴与关于直线对称，
∴，
∴；
（3），，，，
∴，
∴的周长；
∴．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键在于能够熟练掌握成轴对称的两个图形是完全一样的．
24．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
（2）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
【答案】（1）都是；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和是，等腰三角形的两个底角相等，可以判断出的角是顶角，进而求出等腰三角形的两底角的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当已知角是顶角以及已知角是底角时分别求解即可．
解：（1）∵等腰三角形的一个角是，
所以等腰三角形的顶角为，
设底角的度数为，
则：，
解得：，
∴它的另外两个角都是；
（2）当顶角是时，
底角等于：；
当底角是时，则另一个底角度数也为，
等腰三角形的顶角为，
∴等腰三角形的另外两个角是：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况讨论，这是非常重要的，也是解答问题的关键．
25．等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论．
【答案】相等，相等，相等，见解析
【解析】
【分析】
根据题意，作出图像，根据等腰三角形的性质，以及已知条件结合三角形全等的性质与判定证明即可
①等腰三角形两底角的平分线相等，证明如下，
如图， 中，，分别为两底角的角平分线


分别为两底角的角平分线


在与中



等腰三角形两底角的平分线相等；

②等腰三角形两腰上的中线相等，证明如下，
如图，中，，分别为的中点



在与中



等腰三角形两腰上的中线相等；
③等腰三角形两腰上的高相等
如图，中，，分别为两腰上的高线，

，
在与中，

，
，
等腰三角形两腰上的高相等．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的性质三角形的高，中线，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26．（1）已知等腰三角形的一边等于，另一边等于，求它的周长；
（2）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长；
（3）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求其它两边的长；
（4）一个等腰三角形的周长为，一边与另一边的差是，求三边的长；
（5）等腰三角形的腰长是整数，周长是8，求它的各边长．
【答案】（1）；（2）6，6，6；（3），或，；（4），，；（5）3，3，2
【解析】
【分析】
（1）分为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形的三边关系，从而可得答案；
（2）设腰长为 底边长为再根据周长为18，腰长的3倍比底边的2倍多6，列方程组，再解方程组可得答案；
（3）分为腰长或底边长两种情况讨论，结合三角形周长与三角形的三边关系可得答案；
（4）设腰长为 则底边长为或 再分两种情况讨论，结合三角形的周长求解 再结合三角形的三边关系可得答案；
（5）设腰长为 底边长为，都为整数，再利用三角形三边关系求解的范围，利用周长为8列方程，从而可得答案.
解：（1）当为腰长时， 不合题意，舍去，
当为底边长时，则腰长为 此时三角形存在，
所以三角形的周长为：
（2）设腰长为 底边长为 则

解得：
所以三角形的三边长分别为：
（3）当为腰长时，则底边长为： 此时三角形存在，
则另外两边长分别为：
当为底边长时，则腰长为： 此时三角形存在，
则另外两边长分别为：
（4）设腰长为 则底边长为或
当腰长为 底边长为时，则
此时三角形不存在，舍去，
当腰长为 底边长为时，则

所以三角形的三边分别为：，此时三角形存在，
（5）设腰长为 底边长为，都为整数，则


而
所以：＜＜，且是2的倍数，

所以三角形的三边长为：
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等，灵活应用分类讨论，方程思想是解本题的关键.
27．如图，已知三角形纸片，将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边交于点．

（1）画出直线；
（2）若点关于直线的对称点为点，请画出点；
（3）在（2）的条件下，联结，如果的面积为2，的面积为，那么的面积等于 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12
【解析】
【分析】
（1）画出线段AC的垂直平分线即为直线DE；
（2）作出点B关于直线DE的对称点F即可；
（3）先求得S△AEC=8，＝2，再求得＝＝和 ＝＝，再代入S△AEC的面积即可求得．
（1）直线DE如图所示：
（2）点F如图所：

（3）连接AE，如图所示：

由对折可得：S△AED=S△DEC,S△BDE=S△DEF，
∴S△AEC=8，＝2，
设△BED中BE边上的高为h，
，即，则2BE=EC，
设△AEC中EC边上的高为h'，则：
，
∴．
【点睛】
考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．