【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第12讲《直角三角形》预习讲学案

第12讲 直角三角形

一、直角三角形的概念

    有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.

要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.

二、直角三角形的性质

直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.

含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.

三、直角三角形判定

两个角互余的三角形是直角三角形.

在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，

求证：△ABC是直角三角形．

证明：∵AD=CD，

∴∠A=∠1．

同理∠2=∠B．

∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，

即2（∠1+∠2）=180°，

∴∠1+∠2=90°，

即：∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形．

例1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）

A．35° B．55° C．60° D．70°

例2．如图：在中，，，BE平分，交AC于E，则（       ）．

A．2 B．1 C． D．

例3．若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角为（       ）度

A．60 B．45 C．30 D．无法确定

例4．在中，，则为（       ）

A．4 B．2 C．1 D．不能确定

例5．如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（          ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

例6．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则等于(          ).

A． B． C． D．

例7．如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则等于（       ）．

A． B． C．5 D．4

例8．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

例9．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，则的周长是（       ）

A．7 B．10 C．11 D．14

例10．如图，已知△ABC中，，，， 那么AC边上的中线BD的长为_____m．

例11．在中，，的垂直平分线交于点M﹐交于点N，，则的长为_________．

例12．如图，，，若，则线段长为______．

例13．如图，在中，，，AD是的中线，AE是的角平分线，交AE的延长线于点F，则DF的长为________．

例14．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为_____．

一、单选题

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（       ）

A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B

2．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）

A．米 B．米 C．4米 D．6米

3．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（       ）

A．5° B．10° C．15° D．45°

4．如图是屋架设计图的一部分，其中，D是斜梁AB的中点，，垂直于横梁AC，cm，则DE的长为（       ）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

5．如图，为的角平分线，于点E，，，则的长为（       ）

A．6 B．8 C．12 D．16

6．如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（     ）

A． B． C． D．

7．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（       ）

A．3 B． C．6 D．

8．如图，在四边形ABCD中，，，，E是AC的中点，连接BE，BD，则的度数为（        ）

A．15° B．14° C．12° D．10°

9．如图，在四边形中，，，是的中点，，则的面积为（       ）．

A． B．16 C．8 D．

10．如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（     ）

A．2 B．4 C．6 D．8

二、填空题

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD= ___________cm．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．

13．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角等于_____度．

14．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D为边AB上一点．将BCD直线CD翻折，点B落在点E处，联结AE．如果，那么BE=______．

15．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，那么∠ECD＝___．

16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．

17．如图，Rt △ABC，∠B=90∘，∠BAC=72°，过C作CF∥AB，联结 AF 与 BC 相交于点 G，若 GF=2AC，则 ∠BAG=_____________°．

18．如图，在RtABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，E是AC的中点，DE⊥AC交AB于D，连接CD．若AD=8，BD的长等于_____．

19．如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则________．

20．如图，在△ABC中，，，AM平分∠BAC，，点D、E分别为线段AM、AB上的动点，则的最小值是______．

三、解答题

21．已知：如图在△ABC中，AD⊥BC，，求证△ABC是直角三角形．

22．已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC于A，交BC于D．

求证：CD=2AB．

23．如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．

求证：DE =DF．

24．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，，求证：DF⊥CE．

25．已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，D为垂足，E是AB的中点，，交AC于点F，∠A＝2∠C．求证：．

26．如图，已知在△ABC中，高AD、BE交于点H，G、F分别是BH、AC的中点，∠ABC=45° ，GD=5cm，求DF的长度．

27．如图，△ABC中，，，点O在BC边上运动（O不与B，C重合），点D在线段AB上，连接AO，OD．点O运动时，始终满足．

(1)当时，判断△AOB的形状并说明理由；

(2)当AO的最小值为4时，此时_____________；

(3)在点O的运动过程中，△AOD的形状是等腰三角形，请求出此时∠BDO的度数．

28．如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE．

（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．

（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．