【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第13讲《勾股定理》预习讲学案

第13讲 勾股定理一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，， .二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.　　　 图（1）中，所以.　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.　　　　 　　图（2）中，所以.　　　　　　方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.　　　　　　 　　　　 ，所以.三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.四、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.例1．直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ）A．13 B．14 C． D．1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理，即可求得斜边长.由题意得，该直角三角形的斜边长为：故选：A.【点睛】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理即可解题.例2．中，，，，于D，则_________，_________，_________，_________，_________．【答案】     2          3     1     【解析】【分析】根据勾股定理可以求出AC，根据直角三角形的面积公式，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD可以求出CD的长，再利用勾股定理即可求出BD、AD的长．解：如图：根据勾股定理AC2＝AB2−BC2＝16−12＝4，∴AC＝2，根据直角三角形的面积公式，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD即×2×4＝×4•CD，解得CD＝，BD＝,AD＝AB−BD＝4−3＝1,S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，故答案为：2；；3；1；．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及直角三角形的面积计算．例3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形面积求出CD的长．解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB=13，∴×AC×BC=×CD×AB∴5×12=13CD，解得：CD=，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积，熟练利用三角形面积求出是解题关键．例4．是的高且，，则____．【答案】【解析】【分析】由∠A：∠B：∠C=1:2:3，可得∠C=90°，∠A=30°，由AB=m可得CB=，由勾股定理可得AC=，通过面积计算可得CD长度．∵∠A：∠B：∠C=1:2:3，∴∠C=90°，∠A=30°，∵AB=m，∴CB=，则AC==，由等积法可得：，即：，解得：CD=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，有一个角是的直角三角形的边长关系，勾股定理，以及等积法求三角形的高的问题，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．例5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（       ）A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理即可得到结果．解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．例6．中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为_____．【答案】8【解析】【分析】利用勾股定理将转化为，再求值即可．∵中，BC为斜边，且，∴，∴，故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题关键．例7．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（       ）．A．90 B．100 C．110 D．120【答案】B【解析】【分析】由中，，得，结合正方形的面积公式，得+=，进而即可得到答案．解：∵中，，∴,∵=，=，=，∴+=，∵，，∴36+64=100．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与正方形的面积，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．例8．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解析】【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；故选：A．【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．例9．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（       ）A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长的平方之比为1∶2∶3C．三边长之比为3∶4∶5 D．三内角之比为3∶4∶5【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．A、设三个内角的度数为，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C、设三条边为，，，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、设三个内角的度数为，，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．例10．下列说法中正确的是（       ）A．在中，.B．在中，.C．在中，，.D．、、是的三边，若，则是直角三角形.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理逐项分析即可.A.因为不一定是直角三角形，故不正确；B.没说明哪个角是直角，故不正确；C. 在中，，则，故不正确；D.符合勾股定理的逆定理，故正确.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.例11．若，，分别是的三边，且，则为（       ）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】将等式展开即可得到，问题得解.∵，∴，∴为直角三角形.故选A.【点睛】本题考查了整式化简以及勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足a2＋b2＝c2，则三角形是直角三角形．例12．在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，能判断是直角三角形的有（       ）个．①，，；       ②；③；④，，．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可以判断①④；根据即可推出即可判断②；利用三角形内角和等于180度，即可求出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，即可判断③．解：∵在中，、、的对边分别为、、，∴当，，时，，∴此时△ABC是直角三角形，故①正确；∵，∴即，∴此时△ABC是直角三角形，故②正确；∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴此时△ABC是直角三角形，故③正确；∵，，，∴，，，∴此时△ABC是直角三角形，故④正确；故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．例13．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（　　）A．5组 B．4组 C．3组 D．2组【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．①中有92+122=152，可以构成直角三角形；②中有72+242=252，可以构成直角三角形；③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形；④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形；⑤中有(−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形；所以可以构成4组直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．例14．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据图形和勾股定理可以求得a，b，c，d四条线段的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可得到构成直角三角形的个数．解：由图可得，线段a，b，c，d的长度分别为：，，，，∴，∴从a，b，c，d四条线段中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和勾股定理的逆定理解答．例15．已知：k＞1，b=2k，a+c=2k2，ac=k4-1，则以a、b、c为边的三角形（ ）A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定【答案】C【解析】【分析】根据根与系数的关系得出a，b的值，进而得出a2-c2=4k2=b2，即可得出答案．解：∵a+c=2k2，ac=k4-1，∴a，c可以认为是x2-（2k2）x+k4-1=0的两根，解得：x1=k2-1，x2=k2+1，∵b=2k，∴b2=4k2，不妨令a=k2+1，c=k2-1于是a2-c2=4k2=b2，即a2=b2+c2，故为直角三角形．故选：C．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的逆定理，根据已知得出a，c的值是解题关键．例16．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．【答案】直角三角形或等腰三角形【解析】【分析】将a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．解答：解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0∴a2−b2＝0或a2＋b2−c2＝0∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：直角三角形或等腰三角形．【点睛】此题主要考查学生对因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力，关键是对等式进行合理的因式分解．一、单选题1．斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是（       ）A．3， B．2，3 C．3，5 D．2，2【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边 4，逐项分析即可．解：∵直角三角形的斜边为4，则．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．2．如图，在中，，，，D为AB上一动点，当时，的周长为（       ）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】勾股定理求得的长，进而根据三角形周长公式求解，根据进行线段的转化即可解：在中，，，，的周长为故选C【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．3．已知中，，，，则的周长等于（       ）A．11 B． C．12 D．13【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求出BC即可求解。解：∵，，，∴ ∴的周长=AC+BC+AB=4+3+5=12.故选：C．【点睛】本题考查勾股定理．掌握勾股定理是解答本题的关键．4．下列四组数中，是勾股数的是（       ）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，，【答案】C【解析】【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可．解：A、能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误； B、 不能构成勾股数，故选项错误； C、 能构成勾股数，故选项正确； D、 又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误． 故选：C．【点睛】本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键．5．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（       ）A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，故E为AB的中点，∴AE=BE=5，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB＝，BC＝，DC＝4，AD=5， 则四边形ABCD的面积是（       ）A． B． C． D．12【答案】B【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，再根据直角三角形的面积计算公式求解即可．连接AC，∵∠ABC=90°，AB＝，BC＝∴ 在△ACD中，DC＝4，AD=5，∵ ∴∠ACD=90°∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= 故选：B【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，判定△ACD是直角三角形是解答的关键．7．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（       ）A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形【答案】A【解析】【分析】由绝对值和偶次方的非负性求出a=17，b=15，c=8，由82+152=172，得出△ABC是以a为斜边的直角三角形即可．∵(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0，∴(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，∴a-17=0，b-15=0，c-8=0，∴a=17，b=15，c=8，∵82+152=172，∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性，由勾股定理的逆定理得出结论是关键．8．给出下列几组数：① 4,5,6；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（       ）．A．①② B．③④ C．①③④ D．④【答案】D【解析】①42+52≠62，∴不能组成直角三角形；②82+152≠162，∴不能组成直角三角形；③当n=1时，三边长为：0、2、2，不能组成直角三角形；④(m2－n2)2+( 2mn)2=( m2＋n2)2,且m>n>0，∴能组成直角三角形.故选D.【点睛】本题关键在于勾股定理逆定理的运用．9．如图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=4，AB=5，将四个直角三角形中边长4的直角边分别向外延长一倍，得到如图（2）所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线部分）周长是（       ）A．36 B． C． D．52【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出BC以及BE，即可得到图形的周长．解：∵∠ACB=90°，AC=AE=4，AB=5，∴，∵CE=2AC=8，∴,∴这个风车的外围（实线部分）周长是4AE+4BE=，故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解图形中各线段的关系是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD−DM＝3−1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：C．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题11．若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________．【答案】74或24【解析】略12．如图，在数轴上点A表示的实数是 ________．【答案】【解析】【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长所以点A表示的实数是故答案为【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．13．的三边为a、b、c，若满足，则_______；若满足，则是_______角；若满足，则是_______角．【答案】          钝     锐【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 ，则这个三角形是直角三角形，进行求解即可．解：若，则∠B=90°；若，则∠B是钝角；若，则∠B是锐角，故答案为：∠B，钝，锐．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．14．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_________．【答案】24【解析】【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．解：连接BD，∵∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD5，∵52+122＝132，∴∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积5×123×4＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状是解答此题的关键．15．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．【答案】【解析】【分析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=，∴OA或OB的长度为（尺）．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．【答案】m2+1【解析】【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦长为m2+1，故答案为：m2+1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．17．如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．【答案】     12；     s1+s2=s3【解析】【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，（1）线段AB的长度为_________；（2）△APB的面积为___________．【答案】          1【解析】【分析】（1）连接，证明，得到，再证、、 三点共线，，利用勾股定理求得；（2）利用三角形的面积公式直接求得结果．如图，连接，，，在与中， ，， ；，，，，，，为等腰直角三角形，，而，，即；，，∴点，点，点共线，，，，，．故答案为：；【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点，作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．三、解答题19．如图，在中，，求的长．【答案】【解析】【分析】由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可求解．解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，点D是线段AB上一点，BD=6，连接CD，CD=8．(1)求证：CD⊥AB；(2)求AC的长．【答案】(1)见解析(2)．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证CD⊥AB；（2）根据勾股定理即可求得AD，AC的长．(1)证明：在△BDC中，BC=10，BD=6，CD=8，∵BD2+CD2=62+82=102=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴CD⊥AB；(2)解：∵CD⊥AB，∴△ADC是直角三角形，∴AD2+CD2=AC2=AB2，即AD2+82=（AD+6）2，解得AD=，∴AC=6+=．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形．21．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．(1)求证：是直角三角形；(2)求四边形的面积．【答案】(1)证明见详解（1）(2)【解析】【分析】（1）根据勾股定理判定三角形的三边关系；（2）把四边形的面积分成两个三角形的面积作答．(1)解：∴△ABC是直角三角形，由勾股定理得：AC2=AB2＋BC2；∴AC==2，AD2=8，CD2=4，AC2=4，AD2=AC2＋CD2,∴△ACD是直角三角形；(2)解：SABCD=S△ABC＋S△ACD，S△ABC==，S△ACD=，∴SABCD=，答：四边形的面积是：．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，多边形的面积计算；直角三角形的三边满足勾股数，三边满足勾股数的三角形是直角三角形，多边形的面积可以分成多个三角形的面积计算．22．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55cm、10cm、6cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？【答案】【解析】【分析】把原图形展开可得一个直角三角形，利用勾股定理求出AB即可求解．解：展开后由题意得，如图所示：在中，∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48，BC＝55，由勾股定理得：AB＝＝＝73cm，答：一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有73cm．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．如图，，，．(1)求证：≌．(2)若，，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】由全等三角形的判定定理证得≌；由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案．(1)证明：∵，∴，∴．在与中，，∴≌；(2)解：∵≌，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．24．如图，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长米，且米，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长米．(1)试判定的形状，并说明理由；(2)求船体移动距离的长度．(3)若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析(2)船体移动距离的长度为5米(3)把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长即可得到答案；（2）用勾股定理求出AB的长结合（1）中AD的长即可得到答案；（3）分别求出B到D和D到A说需要的时间即可得到答案．(1)解：是等腰直角三角形．理由如下：由题意可得：米，米，，可得（米， ∴AC=AD，又∵∠CAD=90°，故是等腰直角三角形；(2)解：米，米，，， ∴（米．答：船体移动距离的长度为5米．(3)解：船在BD段所用时间为：=5（秒），船在AD段所用时间为：=7.5（秒），∴5+7.5=12.5(秒)．答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定，熟知勾股定理是解题的关键．25．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以的速度向终点运动，点从点出发沿方向以的速度向终点运动，，两点同时出发，设点的运动时间为秒．(1)求的长；(2)当时，求，两点之间的距离；(3)当时，求的值？【答案】(1)(2)(3)秒【解析】【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；（2）当t=2时，表示出BP、BQ的长度，运用勾股定理求解即可；（3）根据题意表示出AP、CQ的长度，列方程求解即可．(1)解：在中，，，，cm，∴BC的长为24cm．(2)解：如图，连接，由题意可知：AP=t=2，，，在中，由勾股定理得到：；∴P、Q两点之间的距离为13cm．(3)解：设秒后，,则，解得．答： t的值为．【点睛】本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义，解题的关键是表示相应线段长，运用勾股定理求解．26．在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．(1)证明：在和中，，∴ ，∴ ，∴ ，∵，∴．(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，∵，CM＝CB，∴ 垂直平分BM，∴，在和中，，∴ ，∴ ，，∵，∴ ，∴ ，∵，∴ ，∴ ，即，∵，∴ ，∴ ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．27．定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．(1)已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．【答案】(1)是，见解析(2)或10【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点．（2）设，则，分三种情形①当为最大线段时，依题意，②当为最大线段时，依题意，③当为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．(1)解：是．理由：，，，、、为边的三角形是一个直角三角形，点、是线段的勾股分割点．(2)解：设，则，①当为最大线段时，依题意，即，解得；②当为最大线段时，依题意．即，解得，综上所述，或10．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．28．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；问题解决：(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________；(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24．【解析】【分析】（1）运用等面积法计算即可；（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法化简计算即可；（3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可；（4）将风车周长表示出来，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理求解出b，最后计算面积即可．(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为，空白小正方形的面积为，整个围成的大正方形的面积为，∵，即，故；(2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE可知 ，其中，，，，代入可得，，即；(3)由图2可知，，∵，，∴，则=100，∴，故空白部分的面积为52；(4)由题意可知，风车的周长为 ，其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，且，即，将c=9-b代入得，，解得b=4，则．【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．29．在中，，，于点．(1)如图所示，点，分别在线段，上，且，当，时，求线段的长；(2)如图所示，点，分别在，上，且，求证：是等腰直角三角形；(3)如图所示，点在的延长线上，点在上，且，求证：．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得到，再求出，则，然后由勾股定理计算即可；证≌，得，，再证，即可得出结论；先证≌，得，再由等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论．(1)解：，，，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，由勾股定理得，，即，解得：，∴；(2)证明：如图4，连接EF，由得：，， ∵，∴≌，∴，，∴，∴，即，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形；(3)证明：过点作，交的延长线于点，如图5所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴≌，   ∴，∴，在中，，，∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．