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【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第08讲《二次函数的应用-几何应用》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第08讲《二次函数的应用-几何应用》预习讲学案，文件包含第08讲二次函数的应用-几何应用解析版docx、第08讲二次函数的应用-几何应用原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共69页， 欢迎下载使用。
第08讲 二次函数的应用-几何应用
1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。
在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。
解决方案：识别模型，A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。
2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标。
解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“
3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标。
或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。
4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标。
解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。
5、讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。
6、相似三角形 (第4章) 问抛物线上是否存在一动点D，使得△ABD∽△ABC。
解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。
例1．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论．
解：设运动时间，，则，，
在中，，，，则，
当时，有最大值为，
解得，即，
根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，
抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，
，
在中，，，
根据勾股定理可得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．
例2．如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝•2x•4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4＋8＋4−4x）＝32−8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．
例3．如图，在中，，，，，点B，C，D，E在同一直线上（点C和点D重合），从点C出发沿射线方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点E运动到点C处时，停止运动．设运动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件列出特殊部分的表达式即可对应找出图像．
解：当点D由C运动到B时，此时，DC=x，则DC边上的高为，面积表达式为：，图像开口向上，
当点D运动过点B，点E不到点C时，此时，设DF与AB交于点M，EF与AC交于点N则，ED=5-x ，则高为，（如图）
此时面积表达式为：，图像开口向下，
当点E运动到点C时，此时 ，根据知点F恰好在边AB上，则面积表达式为：，
当点E运动过点C时，此时，由题意勾股定理求得，根据题意求得，则，则面积表达式为： ，面积逐渐减小，
故选：A．
【点睛】
此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
例4．如图，过点的抛物线：（常数）与轴和轴分别交于点，点，点是抛物线上一点，且//轴，作直线和．甲、乙、丙三人的说法如下：甲：用表示点的坐标为；乙：当，的值有2个，则；丙：若，点是直线上的一点，点到直线的最大距离为．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错 C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数解析式能确定点的坐标，结合题意能确定点的坐标，从而可对甲的说法进行判断；根据，可以用含代数式来表示点的坐标，结合二次函数解析式，可以用含的代数式表示的坐标，从而确定与的关系，能对已的说法进行判断；根据相关图形的性质结合一次函数性质得到直线的解析式，结合勾股定理，能确定点到直线的最大距离的长，从而对丙的说法进行判断．
甲：对于二次函数，
令，则有，
∴，
∵//轴，
∴，
令，则有
∴
∴
故甲正确；
乙：∵
∴
∴，
对于二次函数
∴抛物线的对称轴直线
∴
∴
∴与是一一对应的关系．
故乙错误；
丙：，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
设直线的解析式
∴
∴
∴直线的解析式：
∵点是直线上的一点
∴点到直线的最大距离为
∵，，，
∴
∴点到直线的最大距离为．
故丙正确；
故选：C
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数和几何图形的综合，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质，相关几何图形的性质是解本题的关键．
例5．已知抛物线与轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当时，y随的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将抛物线表达式分别转化为两点式和顶点式，得到A（-1，0）、B（5，0）及顶点P（2，-9a）；过点P作与点H，结合等边三角形的性质，可知，，利用勾股定理计算PH的值，再由计算a值即可．
解：∵，
令，解得，，
即A（-1，0）、B（5，0）；
∵，
∴其顶点坐标为（2，-9a），对称轴为，
∵当时，y随的增大而减小，
∴抛物线开口向上，即，
∵△ABP为等边三角形，
∴，
如图，过点P作与点H，则，
在中，，
又∵，即（），
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与实际问题（图形问题）、等边三角形的性质以及勾股定理的知识，解题关键是准确作出图形并运用数形结合的思想分析问题．
例6．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别求出解析式判定即可．
解：P点在AB上运动时，过点Q作QE⊥AB于点E，
由题意得：AP=x，BQ=x，∠ABQ=∠CBQ=45°，
∴BP=5-x，EQ=，
∴y=（5-x）×=-x2+x，（0＜x≤5），是开口向下的抛物线的一部分；
同理，点P在BC上运动时，
y=（x-5）×=x2-x（5＜x≤5）．是开口向上的抛物线的一部分．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是正确的求出函数解析式．
例7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的解析数求出点和点的坐标，从而求得直线的表达式，将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，直线的表达式为，根据抛物线与直线只有一个交点时，即，即可求得的值，则可求得，要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，利用勾股定理即可求解．
解：当时，，
点的坐标为，
当时，即，
解得，，
点，点，
设直线的表达式为：，且过点和，
得，解得，
，
将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，如图所示，
要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，
则可设直线的表达式为：，
，
，
，
则，即，
由于只有一个交点，则，
解得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与抛物线的综合应用，根据题意，点E到直线BC距离d的最大值即可转化为求的长度，利用数形结合思想根据直线平移的性质及勾股定理的应用是解题的关键．
例8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足c=3，a+b=5，则此三角形面积的最大值为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
先求出，然后代入到公式中得到关于a的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
解：由题意得：，，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，即有最大值3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
例9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．
【答案】（2，0）
【解析】
【分析】
根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
例10．如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ______．
【答案】##
【解析】
【分析】
连接，交AC于点O．可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，根据等积法可求出的长，即得出B和的坐标．根据勾股定理可求出A和C的坐标，从而可求出经过A、B的直线解析式和经过、C的直线解析式．故可设P(，)，Q(，)，根据两点的距离公式求出，，根据BP=，即得出m，n的关系．还可求出，结合二次函数的性质求出的最小值即得出PQ的最小值．
连接，交AC于点O．
由翻折可知，．
故可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图．
∵在中，AB=12，BC=5，
∴．
∵，
∴．
∴B(0，)，(0，)．
∵在中，AB=12，，
∴，
∴，
∴A (，0)，C(，0)．
设经过A、B的直线解析式为，
则，解得：，
∴经过A、B的直线解析式为．
设经过、C的直线解析式为，
则，解得：，
∴经过、C的直线解析式为．
故可设P(，)，Q(，)，
则，，
∵，
∴，
整理，得：．
根据所作坐标系可知，．
∴．
∵，
将代入，并整理得：，
其对称轴为，且开口向上，
又∵，
∴当时，最小，最小值为，
∴此时最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查翻折的性质，勾股定理，坐标与图形，两点的距离公式以及二次函数的性质．把几何问题改为二次函数求最值的问题是解题关键．本题数据处理较大，较难．
一、单选题
1．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积
当时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠时，菜园最大面积平方米；
方案3，半圆的半径
此时菜园最大面积平方米>8平方米，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
2．如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线AB的解析式为，然后设点P的坐标为，可得，从而得到四边形的面积为，再根据二次函数的性质，即可求解．
解：设直线AB的解析式为
，
把点代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设点P的坐标为，
∵，
∴点C（-1，0），
∵于点E，于点D，
∴，
∴四边形的面积为
，
∴当m=3时，四边形的面积最大，此时点P（3，2）．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的
【答案】C
【解析】
【分析】
设P(x，)()．根据周长公式求出周长，即可判定小明的正误；根据面积公式求出面积，结合二次函数的性质，即可判断小红的正误．
设P(x，)()，
∵，
∴周长不变，且始终为6，即小明正确；
∵，
∴当时，最大，最大为，即小红是错误的．
故选C
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的综合．掌握二次函数的性质是解题关键．
4．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE=BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解的长度，再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可.
解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故选：C
【点睛】
本题考查的是二次函数的几何应用，列二次函数关系式，掌握“利用图形面积公式列二次函数关系式”是解题的关键.
5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式求解即可．
解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1），
∵，，
∴，
∴-1≤m≤0，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．
6．如图，的三个顶点A、C、D都在二次函数的图象上，斜边平行于x轴，若斜边上的高长为h，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设斜边与y轴交于点E，连接AE，设点C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，则h=4a2-4b2，再利用勾股定理，即可求解．
解：设斜边与y轴交于点E，连接AE，如图，
设点C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，
∴h=4a2-4b2，，
∵的三个顶点A、C、D都在二次函数的图象上，斜边平行于x轴，
∴点E为斜边的中点，
∴，
在中，，即，
∴，
解得．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与三角形的综合、勾股定理．
7．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交CD于点F，设点E的运动路程为xcm，DF＝ycm，则y与x对应关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出点E在AB、BC段运动时函数的表达式，即可求解．
解：由已知，AB= BC =4，
当E在AB上时，如图1， 即0＜x≤4，
图1
此时，DF=AE=x，
∴当0＜x≤4，函数关系式为：y=x，
当E在BC上时，如图2，即4＜x≤8，
图2
∵EF⊥AE
∴△ABE∽△ECF
∴
∴，
∴，
∴，
由此可得出：当0＜x≤4时，函数关系式为y=x；当4＜x≤8时，函数关系式为
故选：A
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
8．在边长为的正方形中，对角线与相交于点O，P是上一动点，过P作，分别交正方形的两条边于点E，F．设，的面积为y，当时，y与x之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方形的性质和勾股定理求得AC=BD=2，再由面积公式可求y与x的函数关系，即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=1，
∵当1＜x＜2时，即P在OD上，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：1，
∴EF=4-2x，
∴y=EF•OP=×(4−2x)•(x−1)=-x2+3x-2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求二次函数的解析式，解答本题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题．
9．如图，在平面四边形ABCD中，，，点M从A出发沿路径运动，点N从B出发沿路径运动，M，N两点同时出发，且点N的运动速度是点M运动速度的3倍，当M运动到B时，M，N两点同时停止运动，若M的运动路程为x，△BMN的面积为y；则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点N作NE⊥AB交射线AB于E，根据四边形ABCD为平行四边形，求出∠DAB=∠NBE=60°，根据NE⊥AB，求出∠BNE=90°-∠NBE=30°，分两段，当点N在BC上时， 求出，当点N在CD上，点N到AB的距离，过点C作CF⊥AB交射线AB于F，求出，然后对各选项进行分析即可．
解：过点N作NE⊥AB交射线AB于E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB=∠NBE=60°，
∵NE⊥AB，
∴∠BNE=90°-∠NBE=30°，
分两段，当点N在BC上时，AM=x，BN=3AM=3x，
∴BE=，
∴NE=，
∴，
当点N在CD上，点N到AB的距离，过点C作CF⊥AB交射线AB于F，
∵NE⊥AB，CF⊥AB，CD∥AB，
∴∠NEF=∠CFE=∠ENC=90°，
∴四边形NEFC为矩形，
∴CF=NE，
在Rt△BCF中，BC=4，∠BCF=90°-∠CBE=30°，
∴BF=，
∴CF=，
，
∴点N在BC上是开口向下的抛物线，点N在CD上是一次函数，
A．图像是两个一次函数的联合，故选项A不合题意；
B．点N在BC上时函数图像是一次函数，点N在CD上函数图像是开口向上的抛物线，故选项B不合题意；
C．点N在BC上时函数图像是开口向下的抛物线，点N在CD上函数图像是一次函数，故选项C合题意；
D．点N在BC上时函数图像是开口向下的抛物线函数，点N在CD上函数图像是开口向上的抛物线，故选项D不合题意．
故选择C．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，二次函数，一次函数，图形动点问题，30°张角三角形性质，勾股定理，三角形面积，掌握平行四边形性质，二次函数，一次函数，图形动点问题，30°张角三角形性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．
10．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，当C、H、G共线时y最小，此时FH=1，由三角形的中位线可求得AB=4，当FH=EF=4时，y最大，连接BE、GE，利用勾股定理求出BE和GE即可求解．
解：连接CG交EF于H′，当H运动到H′时y最小，由函数图象知， x=1，即FH=1时y最小，
∵在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，
∴EF∥AB，EF=AB，BF=AE= BC=3，AG=BG，
∴CH′=GH′，
∴BG=2FH′=2，则AB=4，
当H运动到E点时，y最大，此时FH=EF=4，即x=4，
连接BE、GE，
由勾股定理得：BE= ，GE= ，
∴GH+BH=BE+GE=5+ ，即y=5+ ，
∴Q点坐标为（4，5+ ），
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质、三角形的中位线、二次函数的性质、勾股定理、最短路径问题，理解题意，能从图象中找到有效信息并能利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
二、填空题
11．如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A与矩形B面积和的最小值是____．
【答案】
【解析】
【分析】
设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出矩形A与矩形B面积，求出面积和的表达式，根据二次函数的性质求解即可．
解：设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，
根据图中各边关系可得：
，
，
∴，
当时，，符合题意，
∴矩形A与矩形B面积和的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查了矩形的性质、二次函数的应用及最值问题，理解题意，表示出两个矩形的面积是解题关键．
12．如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】
根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解．
解：∵PQ∥y轴，
∴可设点，则，
∴，
∴当时，最大，最大值．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．如图，在中，，，为边上的高，动点在上，从点出发，沿方向运动，设，的面积为，矩形的面积为，，则与的关系式是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求BC，AD是等腰直角三角形斜边上的高得AD=BD=DC=
由，则PD=，S1=，S2=，求即可．
在中，，，
∴，
∵为边上的高，
∴AD=BD=DC=
设，
∴PD=，
∵矩形，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45º，
∴PE=AP=x，
S1=，
S2=，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积是解题关键．
14．如图，B船位于A船正东25km处，现在A，B两船同时出发，A船以的速度朝正北方向行驶，B船以的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是______km．
【答案】15
【解析】
【分析】
设A、B船行驶的时间为t小时，则可根据勾股定理及二次函数的性质可进行求解．
解：设A、B船行驶的时间为t小时，由图可得：
，
∴在Rt△中，，
∴当t=2时，取最小值，
即km，
∴两船相距最近是15km；
故答案为15．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=−4x +c上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，若AB边上的中线CD的最小值为则c=____________________．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质，得,进而得到抛物线的顶点坐标为（2，3），代入函数表达式，即可求解．
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴,
∵CD的最小值为
∴AB的最小值为3，
∵点A在抛物线y=−4x +c上运动， AB⊥x轴，
∴点A运动到抛物线的顶点位置时，AB=3，即抛物线的顶点坐标为：（2，3），
∴3=−4×2+c，即：c=7，
故答案是：7
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像的性质，是解题的关键．
16．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，过点，作一条直线．
（1）的度数是______；
（2）点在线段上，且点的坐标为，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，则线段的长为______．
【答案】 45°； 2
【解析】
【分析】
（1）分别求出A,B,C的坐标，得到，故可求解；
（2）先求出直线l的解析式，再得到M,N的坐标即可求解．
（1）当时，，解得，，∵点在点的左侧，
∴点坐标为，点坐标为．当时，，
∴点坐标为，∴，∴．
（2）设直线的函数表达式为，根据题意得，解得，
∴直线的函数表达式为；
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为；∴．
故答案为：45°；2．
【点睛】
此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的解析数求出点和点的坐标，从而求得直线的表达式，将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，直线的表达式为，根据抛物线与直线只有一个交点时，即，即可求得的值，则可求得，要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，利用勾股定理即可求解．
解：当时，，
点的坐标为，
当时，即，
解得，，
点，点，
设直线的表达式为：，且过点和，
得，解得，
，
将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，如图所示，
要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，
则可设直线的表达式为：，
，
，
，
则，即，
由于只有一个交点，则，
解得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与抛物线的综合应用，根据题意，点E到直线BC距离d的最大值即可转化为求的长度，利用数形结合思想根据直线平移的性质及勾股定理的应用是解题的关键．
18．如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
中令y=0得：，得A（-1，0），B（3，0），从而判断①；中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点作轴，交于点，求出BC的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．
∵抛物线与x轴相交于于点，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正确；
∵抛物线与y轴相交于于点C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正确；
过点作轴，交于点，如图1所示．
设直线的解析式为，
将、代入，
得，解得，
直线的解析式为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
故③正确，
故答案为：①②③．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．
(1)求m的值以及二次函数的表达式；
(2)若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．
【答案】(1)m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
(2)△POA的面积为3．
【解析】
【分析】
（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；
（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．
(1)
解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
(2)
解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点P（2，4），
把x=2代入y=x中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积，
∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE
=PD（OC+AE）
=×2×3
=3，
答：△POA的面积为3．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)存在，或或
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入解析式求解即可；
（2）令，求得点的坐标，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设，边上的高为，则，根据与的面积相，求得，令解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴，
解得，
即，
；
(2)
存在，或或，
理由如下，
由，令，
即，
解得，
，
；
(3)
设，边上的高为，
与的面积相等，
，
是上的点，
则，
或，
解得或.，
或或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，三角形面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点的直线平行于轴，交直线于点，点是直线上一动点（异于点），连接．
(1)求直线的解析式；
(2)设，求的面积的表达式（用含的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点为直角顶点作等腰直角，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)
【解析】
【分析】
（1）将点（4，0）代入即可；
（2）过点作，垂足为，即可得出；
（3）首先求出点P坐标，再分类讨论即可；
(1)
解：∵直线交轴于点，
∴， ∴，
∴直线，
(2)
解：如图1（a），过点作，垂足为，
∵过点的直线平行于轴，交直线于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
当时，，
当时，；
(3)
解：由（2）可知，
∵面积为3，
∴，
解得或，
当时，点P坐标为（2，2）如图，
与x轴交与点Q，
当时，，
∴，
∴点坐标为（2，-2），
过点作轴，交x轴于点H，
当时，，
∴，
∴点坐标为（6，2），
当时，点P坐标为（2，-1）如图，
轴，交于点N，
当时，，
∴，，
∴点坐标为（5，-2），
作，交于点M，
当时，，
∴，，
∴点坐标为（3，2），
综上点C坐标为（6，2）、（2，-2）、（5，-2）、（3，2）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，等腰直角三角形的判定，解题关键是掌握一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定．
22．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式及对称轴．
(2)在抛物线上任取一点E，过点E作轴，且四边形ABEF为平行四边形，在线段EF上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为．当点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴x
(2)的取值范围：-12≤yQ≤
【解析】
【分析】
（1）先根据点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，得出点C的坐标及OC的长，再根据2OB=2OC=3OA，得出点A和点B的坐标，然后用待定系数法求解即可求得解析式，最后根据x=-求对称轴即可．
（2）作平行四边形ABEF，由平行四边形的性质可得EF=AB=5；由点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，得出xE的取值范围，从而可得xF的范围；根据点P在线段EF上，PQ⊥EF，得出xP和xQ的范围，结合点Q在抛物线上，根据二次函数的性质可得点Q的纵坐标yQ的取值范围．
(1)
解：∵点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，
∴C（0，3），
∴OC=3，
又∵2OB=2OC=3OA，
∴OB=3，OA=2，
∴A（-2，0），B（3，0），
将点A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3中，
得 ，解得，
∴抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x．
(2)
作平行四边形ABEF，如图所示：
∴EF=AB=5，点F在点E的左侧，
又∵点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，且抛物线的对称轴为直线x=，
∴0≤xE≤1，
∴-5≤xF≤-4，
又∵点P在线段EF上，PQ⊥EF，
∴-5≤xP≤1，xP=xQ，
∴-5≤xQ≤1，
又∵点Q在抛物线 上，
∴当xQ=时，yQ取最大值，
当xQ=-5时，yQ取最小值-12，
∴-12≤yQ≤．
【点睛】
本题考查了抛物线与纵坐标的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，抛物线的顶点为C（c，-4），联结AB、AC、BC．
（1）求这条抛物线的表达式和c的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一个点M（点M不与点B重合），使得∠AMC＝90°，并将△AMC沿直线AC翻折，得到△ANC，求点N的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；c=1，（2）3；（3）（4，-3）
【解析】
【分析】
（1）用对称轴公式求出c的值，代入即可求出抛物线解析式；
（2）求出A、B两点坐标，利用面积和差求出三角形面积即可；
（3）利用勾股定理求出点M坐标，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可．
（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3的对称轴为：直线，
所以，顶点横坐标c的值为1，顶点坐标为C（1，-4），代入抛物线解析式得，，
解得，，
抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x=0时，y＝﹣3，点B的坐标为（0，-3）；
当y=0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得，，，点A的坐标为（3，0）；
连接OC， ；
；
；
；
（3）设点M坐标为（0，m），
， ，，
∵∠AMC＝90°，
∴，即，
解得，，（舍去）；
∴点M坐标为（0，-1），
由翻折可知，MN⊥AC，MH＝HN，
∵，；
∴AM＝MC，
∴AH＝HC，
∴点H坐标为，即，
设点N坐标为（n，d），
则，
解得，，
点N坐标为（4，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合，包括勾股定理，求解析式，对称点的坐标，解题关键是熟练运用二次函数知识进行计算求解，利用设坐标建立方程．
24．如图，已知抛物线的对称轴，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)求直线和抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）根据点A坐标与对称轴，可得出点B坐标，结合点C坐标即可得出直线与抛物线表达式．
（2）点A与对点B关于对称，则，最小，即最小，B，M，C三点共线，可确定点M．
（3）分三种情况，点B、C、P分别为直角顶点时，讨论即可得出点P坐标．
(1)
解：∵抛物线对称轴，经过
∴抛物线与x轴另一交点
∴直线表达式：．
设抛物线，将点代入，
有，解得
∴抛物线表达式．
(2)
解：∵点A，B关于对称，
∴
∴，
∴B，M，C三点共线时有最小值，
∴M为BC与对称轴的交点，
当时，，
∴．
(3)
解：设点
∵点、，
∴BC2＝BO2＋CO2＝32＋32＝18，
，，
①当点B为直角顶点时，即，即，解得t＝－2，此时点．
②当点C为直角顶点时，即，即，解得t＝4，此时点．
③当点P为直角顶点时，即，即，解得 ，，此时点或．
∴点P的坐标为或或或．
【点睛】
本题综合考查二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、利用轴对称性质确定线段最小长度等，综合性较强，熟练掌握函数知识是解题的关键．
25．综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标．
(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线BC的表达式为，用m表示点P、E、F的坐标，根据，列方程求解即可；
（3）分当FP=FC和FP=PC时，两种情况讨论，建立方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为y=-；
(2)
解：令，得，
∴点C(0，4)．
∵B(4，0)，C(0，4)，设直线BC的表达式为，
∴，解得，
∴直线BC的表达式为；
设点的横坐标为，则，，．
∴，
，
当时，．解得，（舍去）．
当时，．
∴点坐标为；
(3)
解：由（2）得，，，C(0，4)，
当FP=FC时，
∴=，
整理得：m2-(4-2)m=0或m2-(4+2)m=0，
解得：m=0(舍去)或m=4-2或m=4+2，
∴CQ=PF=4-4或4+4，
如图①，当点Q在点C上方时，点Q(0，4)；
如图②，当点Q在点C下方时，点Q(0，-4)；
；
当FP=PC时，
∴=，
整理得：m2-2m=0，
解得：m=0(舍去)或m=2，
∴CQ=PF=2，
∴点Q(0，2)；
综上，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．
第08讲 二次函数的应用-几何应用
1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。
在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。
解决方案：识别模型，A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。
2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标。
解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“
3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标。
或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。
4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标。
解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。
5、讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。
6、相似三角形 (第4章) 问抛物线上是否存在一动点D，使得△ABD∽△ABC。
解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。
例1．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论．
解：设运动时间，，则，，
在中，，，，则，
当时，有最大值为，
解得，即，
根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，
抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，
，
在中，，，
根据勾股定理可得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．
例2．如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝•2x•4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4＋8＋4−4x）＝32−8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．
例3．如图，在中，，，，，点B，C，D，E在同一直线上（点C和点D重合），从点C出发沿射线方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点E运动到点C处时，停止运动．设运动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件列出特殊部分的表达式即可对应找出图像．
解：当点D由C运动到B时，此时，DC=x，则DC边上的高为，面积表达式为：，图像开口向上，
当点D运动过点B，点E不到点C时，此时，设DF与AB交于点M，EF与AC交于点N则，ED=5-x ，则高为，（如图）
此时面积表达式为：，图像开口向下，
当点E运动到点C时，此时 ，根据知点F恰好在边AB上，则面积表达式为：，
当点E运动过点C时，此时，由题意勾股定理求得，根据题意求得，则，则面积表达式为： ，面积逐渐减小，
故选：A．
【点睛】
此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
例4．如图，过点的抛物线：（常数）与轴和轴分别交于点，点，点是抛物线上一点，且//轴，作直线和．甲、乙、丙三人的说法如下：甲：用表示点的坐标为；乙：当，的值有2个，则；丙：若，点是直线上的一点，点到直线的最大距离为．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错 C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数解析式能确定点的坐标，结合题意能确定点的坐标，从而可对甲的说法进行判断；根据，可以用含代数式来表示点的坐标，结合二次函数解析式，可以用含的代数式表示的坐标，从而确定与的关系，能对已的说法进行判断；根据相关图形的性质结合一次函数性质得到直线的解析式，结合勾股定理，能确定点到直线的最大距离的长，从而对丙的说法进行判断．
甲：对于二次函数，
令，则有，
∴，
∵//轴，
∴，
令，则有
∴
∴
故甲正确；
乙：∵
∴
∴，
对于二次函数
∴抛物线的对称轴直线
∴
∴
∴与是一一对应的关系．
故乙错误；
丙：，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
设直线的解析式
∴
∴
∴直线的解析式：
∵点是直线上的一点
∴点到直线的最大距离为
∵，，，
∴
∴点到直线的最大距离为．
故丙正确；
故选：C
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数和几何图形的综合，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质，相关几何图形的性质是解本题的关键．
例5．已知抛物线与轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当时，y随的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将抛物线表达式分别转化为两点式和顶点式，得到A（-1，0）、B（5，0）及顶点P（2，-9a）；过点P作与点H，结合等边三角形的性质，可知，，利用勾股定理计算PH的值，再由计算a值即可．
解：∵，
令，解得，，
即A（-1，0）、B（5，0）；
∵，
∴其顶点坐标为（2，-9a），对称轴为，
∵当时，y随的增大而减小，
∴抛物线开口向上，即，
∵△ABP为等边三角形，
∴，
如图，过点P作与点H，则，
在中，，
又∵，即（），
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与实际问题（图形问题）、等边三角形的性质以及勾股定理的知识，解题关键是准确作出图形并运用数形结合的思想分析问题．
例6．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别求出解析式判定即可．
解：P点在AB上运动时，过点Q作QE⊥AB于点E，
由题意得：AP=x，BQ=x，∠ABQ=∠CBQ=45°，
∴BP=5-x，EQ=，
∴y=（5-x）×=-x2+x，（0＜x≤5），是开口向下的抛物线的一部分；
同理，点P在BC上运动时，
y=（x-5）×=x2-x（5＜x≤5）．是开口向上的抛物线的一部分．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是正确的求出函数解析式．
例7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的解析数求出点和点的坐标，从而求得直线的表达式，将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，直线的表达式为，根据抛物线与直线只有一个交点时，即，即可求得的值，则可求得，要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，利用勾股定理即可求解．
解：当时，，
点的坐标为，
当时，即，
解得，，
点，点，
设直线的表达式为：，且过点和，
得，解得，
，
将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，如图所示，
要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，
则可设直线的表达式为：，
，
，
，
则，即，
由于只有一个交点，则，
解得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与抛物线的综合应用，根据题意，点E到直线BC距离d的最大值即可转化为求的长度，利用数形结合思想根据直线平移的性质及勾股定理的应用是解题的关键．
例8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足c=3，a+b=5，则此三角形面积的最大值为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
先求出，然后代入到公式中得到关于a的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
解：由题意得：，，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，即有最大值3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
例9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．
【答案】（2，0）
【解析】
【分析】
根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
例10．如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ______．
【答案】##
【解析】
【分析】
连接，交AC于点O．可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，根据等积法可求出的长，即得出B和的坐标．根据勾股定理可求出A和C的坐标，从而可求出经过A、B的直线解析式和经过、C的直线解析式．故可设P(，)，Q(，)，根据两点的距离公式求出，，根据BP=，即得出m，n的关系．还可求出，结合二次函数的性质求出的最小值即得出PQ的最小值．
连接，交AC于点O．
由翻折可知，．
故可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图．
∵在中，AB=12，BC=5，
∴．
∵，
∴．
∴B(0，)，(0，)．
∵在中，AB=12，，
∴，
∴，
∴A (，0)，C(，0)．
设经过A、B的直线解析式为，
则，解得：，
∴经过A、B的直线解析式为．
设经过、C的直线解析式为，
则，解得：，
∴经过、C的直线解析式为．
故可设P(，)，Q(，)，
则，，
∵，
∴，
整理，得：．
根据所作坐标系可知，．
∴．
∵，
将代入，并整理得：，
其对称轴为，且开口向上，
又∵，
∴当时，最小，最小值为，
∴此时最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查翻折的性质，勾股定理，坐标与图形，两点的距离公式以及二次函数的性质．把几何问题改为二次函数求最值的问题是解题关键．本题数据处理较大，较难．
一、单选题
1．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积
当时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠时，菜园最大面积平方米；
方案3，半圆的半径
此时菜园最大面积平方米>8平方米，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
2．如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线AB的解析式为，然后设点P的坐标为，可得，从而得到四边形的面积为，再根据二次函数的性质，即可求解．
解：设直线AB的解析式为
，
把点代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设点P的坐标为，
∵，
∴点C（-1，0），
∵于点E，于点D，
∴，
∴四边形的面积为
，
∴当m=3时，四边形的面积最大，此时点P（3，2）．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的
【答案】C
【解析】
【分析】
设P(x，)()．根据周长公式求出周长，即可判定小明的正误；根据面积公式求出面积，结合二次函数的性质，即可判断小红的正误．
设P(x，)()，
∵，
∴周长不变，且始终为6，即小明正确；
∵，
∴当时，最大，最大为，即小红是错误的．
故选C
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的综合．掌握二次函数的性质是解题关键．
4．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE=BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解的长度，再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可.
解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故选：C
【点睛】
本题考查的是二次函数的几何应用，列二次函数关系式，掌握“利用图形面积公式列二次函数关系式”是解题的关键.
5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式求解即可．
解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1），
∵，，
∴，
∴-1≤m≤0，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．
6．如图，的三个顶点A、C、D都在二次函数的图象上，斜边平行于x轴，若斜边上的高长为h，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设斜边与y轴交于点E，连接AE，设点C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，则h=4a2-4b2，再利用勾股定理，即可求解．
解：设斜边与y轴交于点E，连接AE，如图，
设点C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，
∴h=4a2-4b2，，
∵的三个顶点A、C、D都在二次函数的图象上，斜边平行于x轴，
∴点E为斜边的中点，
∴，
在中，，即，
∴，
解得．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与三角形的综合、勾股定理．
7．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交CD于点F，设点E的运动路程为xcm，DF＝ycm，则y与x对应关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出点E在AB、BC段运动时函数的表达式，即可求解．
解：由已知，AB= BC =4，
当E在AB上时，如图1， 即0＜x≤4，
图1
此时，DF=AE=x，
∴当0＜x≤4，函数关系式为：y=x，
当E在BC上时，如图2，即4＜x≤8，
图2
∵EF⊥AE
∴△ABE∽△ECF
∴
∴，
∴，
∴，
由此可得出：当0＜x≤4时，函数关系式为y=x；当4＜x≤8时，函数关系式为
故选：A
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
8．在边长为的正方形中，对角线与相交于点O，P是上一动点，过P作，分别交正方形的两条边于点E，F．设，的面积为y，当时，y与x之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方形的性质和勾股定理求得AC=BD=2，再由面积公式可求y与x的函数关系，即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=1，
∵当1＜x＜2时，即P在OD上，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：1，
∴EF=4-2x，
∴y=EF•OP=×(4−2x)•(x−1)=-x2+3x-2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求二次函数的解析式，解答本题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题．
9．如图，在平面四边形ABCD中，，，点M从A出发沿路径运动，点N从B出发沿路径运动，M，N两点同时出发，且点N的运动速度是点M运动速度的3倍，当M运动到B时，M，N两点同时停止运动，若M的运动路程为x，△BMN的面积为y；则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点N作NE⊥AB交射线AB于E，根据四边形ABCD为平行四边形，求出∠DAB=∠NBE=60°，根据NE⊥AB，求出∠BNE=90°-∠NBE=30°，分两段，当点N在BC上时， 求出，当点N在CD上，点N到AB的距离，过点C作CF⊥AB交射线AB于F，求出，然后对各选项进行分析即可．
解：过点N作NE⊥AB交射线AB于E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB=∠NBE=60°，
∵NE⊥AB，
∴∠BNE=90°-∠NBE=30°，
分两段，当点N在BC上时，AM=x，BN=3AM=3x，
∴BE=，
∴NE=，
∴，
当点N在CD上，点N到AB的距离，过点C作CF⊥AB交射线AB于F，
∵NE⊥AB，CF⊥AB，CD∥AB，
∴∠NEF=∠CFE=∠ENC=90°，
∴四边形NEFC为矩形，
∴CF=NE，
在Rt△BCF中，BC=4，∠BCF=90°-∠CBE=30°，
∴BF=，
∴CF=，
，
∴点N在BC上是开口向下的抛物线，点N在CD上是一次函数，
A．图像是两个一次函数的联合，故选项A不合题意；
B．点N在BC上时函数图像是一次函数，点N在CD上函数图像是开口向上的抛物线，故选项B不合题意；
C．点N在BC上时函数图像是开口向下的抛物线，点N在CD上函数图像是一次函数，故选项C合题意；
D．点N在BC上时函数图像是开口向下的抛物线函数，点N在CD上函数图像是开口向上的抛物线，故选项D不合题意．
故选择C．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，二次函数，一次函数，图形动点问题，30°张角三角形性质，勾股定理，三角形面积，掌握平行四边形性质，二次函数，一次函数，图形动点问题，30°张角三角形性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．
10．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，当C、H、G共线时y最小，此时FH=1，由三角形的中位线可求得AB=4，当FH=EF=4时，y最大，连接BE、GE，利用勾股定理求出BE和GE即可求解．
解：连接CG交EF于H′，当H运动到H′时y最小，由函数图象知， x=1，即FH=1时y最小，
∵在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，
∴EF∥AB，EF=AB，BF=AE= BC=3，AG=BG，
∴CH′=GH′，
∴BG=2FH′=2，则AB=4，
当H运动到E点时，y最大，此时FH=EF=4，即x=4，
连接BE、GE，
由勾股定理得：BE= ，GE= ，
∴GH+BH=BE+GE=5+ ，即y=5+ ，
∴Q点坐标为（4，5+ ），
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质、三角形的中位线、二次函数的性质、勾股定理、最短路径问题，理解题意，能从图象中找到有效信息并能利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
二、填空题
11．如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A与矩形B面积和的最小值是____．
【答案】
【解析】
【分析】
设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出矩形A与矩形B面积，求出面积和的表达式，根据二次函数的性质求解即可．
解：设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，
根据图中各边关系可得：
，
，
∴，
当时，，符合题意，
∴矩形A与矩形B面积和的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查了矩形的性质、二次函数的应用及最值问题，理解题意，表示出两个矩形的面积是解题关键．
12．如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】
根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解．
解：∵PQ∥y轴，
∴可设点，则，
∴，
∴当时，最大，最大值．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．如图，在中，，，为边上的高，动点在上，从点出发，沿方向运动，设，的面积为，矩形的面积为，，则与的关系式是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求BC，AD是等腰直角三角形斜边上的高得AD=BD=DC=
由，则PD=，S1=，S2=，求即可．
在中，，，
∴，
∵为边上的高，
∴AD=BD=DC=
设，
∴PD=，
∵矩形，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45º，
∴PE=AP=x，
S1=，
S2=，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积是解题关键．
14．如图，B船位于A船正东25km处，现在A，B两船同时出发，A船以的速度朝正北方向行驶，B船以的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是______km．
【答案】15
【解析】
【分析】
设A、B船行驶的时间为t小时，则可根据勾股定理及二次函数的性质可进行求解．
解：设A、B船行驶的时间为t小时，由图可得：
，
∴在Rt△中，，
∴当t=2时，取最小值，
即km，
∴两船相距最近是15km；
故答案为15．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=−4x +c上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，若AB边上的中线CD的最小值为则c=____________________．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质，得,进而得到抛物线的顶点坐标为（2，3），代入函数表达式，即可求解．
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴,
∵CD的最小值为
∴AB的最小值为3，
∵点A在抛物线y=−4x +c上运动， AB⊥x轴，
∴点A运动到抛物线的顶点位置时，AB=3，即抛物线的顶点坐标为：（2，3），
∴3=−4×2+c，即：c=7，
故答案是：7
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像的性质，是解题的关键．
16．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，过点，作一条直线．
（1）的度数是______；
（2）点在线段上，且点的坐标为，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，则线段的长为______．
【答案】 45°； 2
【解析】
【分析】
（1）分别求出A,B,C的坐标，得到，故可求解；
（2）先求出直线l的解析式，再得到M,N的坐标即可求解．
（1）当时，，解得，，∵点在点的左侧，
∴点坐标为，点坐标为．当时，，
∴点坐标为，∴，∴．
（2）设直线的函数表达式为，根据题意得，解得，
∴直线的函数表达式为；
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为；∴．
故答案为：45°；2．
【点睛】
此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的解析数求出点和点的坐标，从而求得直线的表达式，将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，直线的表达式为，根据抛物线与直线只有一个交点时，即，即可求得的值，则可求得，要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，利用勾股定理即可求解．
解：当时，，
点的坐标为，
当时，即，
解得，，
点，点，
设直线的表达式为：，且过点和，
得，解得，
，
将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，如图所示，
要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，
则可设直线的表达式为：，
，
，
，
则，即，
由于只有一个交点，则，
解得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与抛物线的综合应用，根据题意，点E到直线BC距离d的最大值即可转化为求的长度，利用数形结合思想根据直线平移的性质及勾股定理的应用是解题的关键．
18．如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
中令y=0得：，得A（-1，0），B（3，0），从而判断①；中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点作轴，交于点，求出BC的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．
∵抛物线与x轴相交于于点，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正确；
∵抛物线与y轴相交于于点C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正确；
过点作轴，交于点，如图1所示．
设直线的解析式为，
将、代入，
得，解得，
直线的解析式为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
故③正确，
故答案为：①②③．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．
(1)求m的值以及二次函数的表达式；
(2)若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．
【答案】(1)m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
(2)△POA的面积为3．
【解析】
【分析】
（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；
（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．
(1)
解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
(2)
解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点P（2，4），
把x=2代入y=x中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积，
∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE
=PD（OC+AE）
=×2×3
=3，
答：△POA的面积为3．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)存在，或或
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入解析式求解即可；
（2）令，求得点的坐标，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设，边上的高为，则，根据与的面积相，求得，令解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴，
解得，
即，
；
(2)
存在，或或，
理由如下，
由，令，
即，
解得，
，
；
(3)
设，边上的高为，
与的面积相等，
，
是上的点，
则，
或，
解得或.，
或或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，三角形面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点的直线平行于轴，交直线于点，点是直线上一动点（异于点），连接．
(1)求直线的解析式；
(2)设，求的面积的表达式（用含的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点为直角顶点作等腰直角，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)
【解析】
【分析】
（1）将点（4，0）代入即可；
（2）过点作，垂足为，即可得出；
（3）首先求出点P坐标，再分类讨论即可；
(1)
解：∵直线交轴于点，
∴， ∴，
∴直线，
(2)
解：如图1（a），过点作，垂足为，
∵过点的直线平行于轴，交直线于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
当时，，
当时，；
(3)
解：由（2）可知，
∵面积为3，
∴，
解得或，
当时，点P坐标为（2，2）如图，
与x轴交与点Q，
当时，，
∴，
∴点坐标为（2，-2），
过点作轴，交x轴于点H，
当时，，
∴，
∴点坐标为（6，2），
当时，点P坐标为（2，-1）如图，
轴，交于点N，
当时，，
∴，，
∴点坐标为（5，-2），
作，交于点M，
当时，，
∴，，
∴点坐标为（3，2），
综上点C坐标为（6，2）、（2，-2）、（5，-2）、（3，2）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，等腰直角三角形的判定，解题关键是掌握一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定．
22．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式及对称轴．
(2)在抛物线上任取一点E，过点E作轴，且四边形ABEF为平行四边形，在线段EF上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为．当点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴x
(2)的取值范围：-12≤yQ≤
【解析】
【分析】
（1）先根据点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，得出点C的坐标及OC的长，再根据2OB=2OC=3OA，得出点A和点B的坐标，然后用待定系数法求解即可求得解析式，最后根据x=-求对称轴即可．
（2）作平行四边形ABEF，由平行四边形的性质可得EF=AB=5；由点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，得出xE的取值范围，从而可得xF的范围；根据点P在线段EF上，PQ⊥EF，得出xP和xQ的范围，结合点Q在抛物线上，根据二次函数的性质可得点Q的纵坐标yQ的取值范围．
(1)
解：∵点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，
∴C（0，3），
∴OC=3，
又∵2OB=2OC=3OA，
∴OB=3，OA=2，
∴A（-2，0），B（3，0），
将点A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3中，
得 ，解得，
∴抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x．
(2)
作平行四边形ABEF，如图所示：
∴EF=AB=5，点F在点E的左侧，
又∵点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，且抛物线的对称轴为直线x=，
∴0≤xE≤1，
∴-5≤xF≤-4，
又∵点P在线段EF上，PQ⊥EF，
∴-5≤xP≤1，xP=xQ，
∴-5≤xQ≤1，
又∵点Q在抛物线 上，
∴当xQ=时，yQ取最大值，
当xQ=-5时，yQ取最小值-12，
∴-12≤yQ≤．
【点睛】
本题考查了抛物线与纵坐标的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，抛物线的顶点为C（c，-4），联结AB、AC、BC．
（1）求这条抛物线的表达式和c的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一个点M（点M不与点B重合），使得∠AMC＝90°，并将△AMC沿直线AC翻折，得到△ANC，求点N的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；c=1，（2）3；（3）（4，-3）
【解析】
【分析】
（1）用对称轴公式求出c的值，代入即可求出抛物线解析式；
（2）求出A、B两点坐标，利用面积和差求出三角形面积即可；
（3）利用勾股定理求出点M坐标，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可．
（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3的对称轴为：直线，
所以，顶点横坐标c的值为1，顶点坐标为C（1，-4），代入抛物线解析式得，，
解得，，
抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x=0时，y＝﹣3，点B的坐标为（0，-3）；
当y=0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得，，，点A的坐标为（3，0）；
连接OC， ；
；
；
；
（3）设点M坐标为（0，m），
， ，，
∵∠AMC＝90°，
∴，即，
解得，，（舍去）；
∴点M坐标为（0，-1），
由翻折可知，MN⊥AC，MH＝HN，
∵，；
∴AM＝MC，
∴AH＝HC，
∴点H坐标为，即，
设点N坐标为（n，d），
则，
解得，，
点N坐标为（4，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合，包括勾股定理，求解析式，对称点的坐标，解题关键是熟练运用二次函数知识进行计算求解，利用设坐标建立方程．
24．如图，已知抛物线的对称轴，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)求直线和抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）根据点A坐标与对称轴，可得出点B坐标，结合点C坐标即可得出直线与抛物线表达式．
（2）点A与对点B关于对称，则，最小，即最小，B，M，C三点共线，可确定点M．
（3）分三种情况，点B、C、P分别为直角顶点时，讨论即可得出点P坐标．
(1)
解：∵抛物线对称轴，经过
∴抛物线与x轴另一交点
∴直线表达式：．
设抛物线，将点代入，
有，解得
∴抛物线表达式．
(2)
解：∵点A，B关于对称，
∴
∴，
∴B，M，C三点共线时有最小值，
∴M为BC与对称轴的交点，
当时，，
∴．
(3)
解：设点
∵点、，
∴BC2＝BO2＋CO2＝32＋32＝18，
，，
①当点B为直角顶点时，即，即，解得t＝－2，此时点．
②当点C为直角顶点时，即，即，解得t＝4，此时点．
③当点P为直角顶点时，即，即，解得 ，，此时点或．
∴点P的坐标为或或或．
【点睛】
本题综合考查二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、利用轴对称性质确定线段最小长度等，综合性较强，熟练掌握函数知识是解题的关键．
25．综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标．
(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线BC的表达式为，用m表示点P、E、F的坐标，根据，列方程求解即可；
（3）分当FP=FC和FP=PC时，两种情况讨论，建立方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为y=-；
(2)
解：令，得，
∴点C(0，4)．
∵B(4，0)，C(0，4)，设直线BC的表达式为，
∴，解得，
∴直线BC的表达式为；
设点的横坐标为，则，，．
∴，
，
当时，．解得，（舍去）．
当时，．
∴点坐标为；
(3)
解：由（2）得，，，C(0，4)，
当FP=FC时，
∴=，
整理得：m2-(4-2)m=0或m2-(4+2)m=0，
解得：m=0(舍去)或m=4-2或m=4+2，
∴CQ=PF=4-4或4+4，
如图①，当点Q在点C上方时，点Q(0，4)；
如图②，当点Q在点C下方时，点Q(0，-4)；
；
当FP=PC时，
∴=，
整理得：m2-2m=0，
解得：m=0(舍去)或m=2，
∴CQ=PF=2，
∴点Q(0，2)；
综上，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．
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