【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第20讲《垂径定理》预习讲学案

第20讲 垂径定理

一、垂径定理

1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

如图，几何语言为：          

CD是直径             

要点：

2.推论
　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：

（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.

（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

二、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

要点：
     在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

例1．下列说法正确的是（       ）

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心

例2．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．

符号语言：

∵①CD是直径，②CD⊥AB

∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________．

例3．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．

例4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为________m．

例5．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（       ）

A．4 B．5 C．8 D．16

例6．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定

例7．的半径为，弦．若，则和的距离为（       ）

A． B． C．或 D．或

例8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子（　　）

A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块

例9．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．

例10．如图，的半径，弦于点，若，则的长为（　　）

A．7.5 B．9 C．10 D．12

例11．如图，半径为5的与y轴交于点，点P的坐标为______．

例12．如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____．

例13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．6 D．8

例14．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（　　）

A．48 B．45 C．42 D．40

例15．如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

例16．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（　　　）

A．3 B．2 C．3 D．6

一、单选题

1．如图，在中，于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（       ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

2．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（       ）cm．

A．10 B．14 C．26 D．52

3．下列命题中假命题是（       ）

A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心

C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦

4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（          ）．

A． B． C．3 D．或

5．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（       ）

A． B． C． D．

6．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（       ）

A．3 B．4 C． D．

7．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（       ）

A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（－1.5，﹣4）

8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD=2，CD=4，则DF的最大值为（       ）

A．2 B． C．5 D．10

9．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（       ）

A． B．3 C． D．

10．如图，在半径为3的中，是劣弧的中点，连接并延长到.使，连接、、，如果，那么等于（       ）

A．2 B．1 C． D．

二、填空题

11．平分弦（不是直径）的直径____于弦，并且_____弦所对的两条弧．

符号语言：

∵①CD是直径 ②AE＝BE且AB不是直径

∴③CD⊥_______，④＝ _______，⑤＝ _______

12．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝___．

13．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．

14．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与的距离为4米，且弧所在圆的半径为10米，则路面的宽度为_____米．

15．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．

16．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．

17．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 _____．

18．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．

三、解答题

19．如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦与大圆的弦在同一条直线上，你认为与的大小有什么关系？为什么？

20．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．

求证：．

21．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到）

22．如图，和分别是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是和．如果和的大小有什么关系？为什么？

23．如图，在半径为的中，弦长．求：

（1）的度数；

（2）点O到的距离．

24．在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽为，当油面宽为时，油上升了多少厘米？

王源的解题步骤如下：

[解]连接，过点作于点．

于点，且为弦，．

当时，在中，．

当时，在中，．

．即油上升了．

请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．

25．如图，是的直径，E为上一点，于点F，连接，，于点D．若，求线段长．

26．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．

（1）若，，求的直径；

（2）若，求的度数．

27．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．

（1）求证:AP = AO；

（2）若弦AB = 24，求OP的长．

28．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．

（1）点O到弦AB的距离为　　；．

（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；

①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；

②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；

③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．