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【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第22讲《圆周角》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第22讲《圆周角》预习讲学案，文件包含第22讲圆周角解析版docx、第22讲圆周角原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共57页， 欢迎下载使用。
第22讲 圆周角
一、圆周角
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
3.圆周角定理的推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4.圆周角定理的推论2：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
例1．如图，其中圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，，是圆周角，共2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．
例2．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
【答案】D
【解析】试题分析：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等；在圆中一条弦所对的圆周角有两个，它们互为补角，故选择D．
例3．如图，点，，都在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，根据等边对等角即可得到∠B=∠BCO，∠A=∠ACO，从而求得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
连接OC．
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
同理，∠A=∠ACO，
∴∠ACB=∠A+∠B=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得∠ACB的度数是关键．
例4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可.
∵∠AOB与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是关键.
例5．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
例6．如图，已知是的直径，若，点在上，则等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】
【分析】
由是的直径，可得的值，又由，则可得，由圆周角定理可得.
由是的直径，可得，又由，则可得，由圆周角定理可得.故选择D项.
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理.
例7．如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OC、OD、OA、OB，由圆周角定理，得到，，然后利用三角形的外角性质，即可求出答案．
解：如图：连接OC、OD、OA、OB，
∵和所对的圆心角分别为和，
即，，
∴，，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
例8．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
例9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（ ）
A．27° B．31° C．56° D．63°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠BOC，求出∠BOC的度数，根据圆周角定理得出∠A＝∠BOC，再求出答案即可．
解：连接OC，
∵BC＝DC，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵∠BOD＝124°，
∴∠BOC＝∠BOD＝62°，
∴∠A＝∠BOC＝31°（圆周角定理），
故选：B．
【点睛】
本考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记知识点是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
例10．如图，A、B、C、D是上四点，且点D是的中点，交于E，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得．
解：连接，
是弧的中点，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论以及三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键．
例11．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．
解：连接AD，
∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA =60°，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠AED=90°，
∵DE=1，
∴AD=2DE=2，
AE=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．
例12．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠DCA的度数（ ）
A．35° B．40° C．45° D．65°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案．
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−25°=65°，
根据翻折的性质,弧AC所对的圆周角为∠B,弧ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB−∠A=65°−25°=40°.
故选B.
【点睛】
本题考查圆周角定理，连接BC是解题的突破口.
例13．如图，经过原点O，并与两坐标轴相交于A，D两点，已知，点D的坐标为，则圆心C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系，连接AD，可证AD为直径；将已知圆周角∠OBA转化，即∠D=∠OBA=30°，在Rt△OAD中，根据勾股定理计算即可求解．
如图所示：
连接AD，OC， ∵∠DOA=90°，
所以AD为直径，即点C在AD上，
由圆周角定理，得∠D=∠OBA=30°，则∠CAO=60°，
又因为OC=CA，
所以三角形OAC为等边三角形，
所以OA=OC=，
在Rt△OAD中，OD=2，根据勾股定理得：
AD=， 即圆的半径为．
点C为AD的中点，
所以圆心C的坐标为（，1），
故选C.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线AD的，将已知条件集中到Rt△OAD中解直角三角形．
例14．如图，以的边BC为直径的分别交AB，AC于点D，E．若，，则AC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理可得，再说明，，最后根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半即可解答．
解：如图：连接CD
，
∴．
为的直径，
，
．
，，
．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆的性质等知识点，根据圆周角定理求得是解答本题的关键．
例15．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（ ）
A．37° B．74° C．54° D．64°
【答案】B
【解析】
【分析】
由∠BAC=27°，∠BEC=64°，根据三角形外角的性质，即可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOD的度数．
解：∵∠BEC是△AEC的外角，
∴∠BEC=∠C+∠BAC，
∵∠BAC=27°，∠BEC=64°，
∴∠C=∠BEC-∠BAC=64°-27°=37°，
∴∠AOD=2∠C=2×37°=74°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例16．如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是半圆AB上一动点（不与A、B重合）,连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°，则∠AED的范围为（ ）
A．0°< ∠AED <180° B．30°< ∠AED <120°
C．60°< ∠AED <120° D．60°< ∠AED <150°
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BD，根据圆周角定理得出∠ADC=30°, ∠ADB=90°，再根据三角形的外角性质可得到结论.
如图，连接BD，
由∵∠AOC=60°,
∴∠ADC=30°,
∴∠DEB>30°
∴∠AED<150°,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠EDB=90°-30°=60°,
∴∠AED>60°
∴60°<∠AED<150°,
故选D
【点睛】
本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质.正确应用圆周角定理找出∠ADC=30°, ∠ADB=90°是解题的关键.
例17．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D、E分别是、的中点，设∠BAC＝α，∠DAE＝β，则（ ）
A．α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．β﹣α＝60° D．2α﹣β＝60°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接DE、DC、BE，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到∠ACD＝∠BCD，同弧所对的圆周角相等，∠ACD＝∠AED，即∠ACB＝2∠AED，∠ABC＝2∠ADE，在△ADE中三角形的内角和为180°，可以得出∠ADE+∠AED＝180°﹣β，在△ABC中，∠A＝2，∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝360°﹣2β，即可以得出β与α的关系．
解：如图，
连接DE、DC、BE，
∵D、E分别是、中点，
∴＝，＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠AED，
∴∠ACD＝∠AED＝∠BCD，
∴∠ACB＝2∠AED，
∵＝，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ADE，
在△ADE中，∠DAE＝β，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣β，
在△ABC中，
∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝2（180°﹣β）＝360°﹣2β，
∵∠BAC＝α，
∴α+360°﹣2β＝180°，
∴2β﹣α＝180°，
故选：B
【点睛】
此题考查了三角形的内心和外心，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和三角形的内外心性质等．
一、单选题
1．同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆周角定理求解即可．
解：∵弧所对的圆心角为80°，
∴这条弧所对的圆周角度数=×80°=40°．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠ACD=50°，然后再利用圆周角定理得到∠ABD的度数．
解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-40°=50°，
∴∠ABD=∠ACD=50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
3．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由是的外接圆，，易得是等腰直角三角形，继而求得答案．
解：如图，连接，，
是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理以及勾股定理是解决问题的关键．
4．如图，半圆的半径为6，将三角板的30角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（ ）
A．3 B．12 C． D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，半圆的圆心为O，连接OA，OB，根据圆周角定理可知，，根据OA=OB，为等边三角形，可求解．
解：如图，连接OA，OB，
根据圆周角定理可知，
∵OA=OB，
∴为等边三角形，
∴AB=OA=6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆周角定理．
5．如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解．
解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，
∵OA=OC，
∴∠ACE=∠CAB，
∵，
∴∠ACD=∠ACE，
∴，
∴AE=AD=2，
∵CE是直径，
∴∠CAE=90°，
∴，
∴⊙的半径为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
6．如图，在⊙O中，，，则的度数是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】
【分析】
利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
解：，，
．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理,注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆周角的一半这个定理的应用．
7．如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．如图，以的边BC为直径的分别交AB，AC于点D，E．若，，则AC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理可得，再说明，，最后根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半即可解答．
解：如图：连接CD
，
∴．
为的直径，
，
．
，，
．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆的性质等知识点，根据圆周角定理求得是解答本题的关键．
9．如图，AB,CD是⊙O的两条直径，∠AOC=，P是弧BD上的任意一点（不与点B,D重合），AP、CP分别交CD、AB于点E、F．若，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，连接BC，
∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=∠AOD=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠CBF=∠AOE=60°，BC=OC=OB=OA，
在△BCF和△OAE中，
∵，
∴△BCF≌△OAE（ASA），
∴S△BCF=S△OAE，
∵S△AOE+S△COF=2，
∴S△BCF+S△COF=S△BOC=2，即，
解得：OC=2，
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与面积的求法、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，有一定的综合性，通过证明全等将两个无联系的三角形的面积连接到一起是解题的切入点和关键．
10．如图，是的直径，，点、、在上，，，是直径上的一动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知周长的最小值为，根据圆周角定理可得，再根据弧与圆心角的关系可知，解直角三角形即可．
解：如下图所示，连接CO并延长至，连接CE，OE，，
∵，
∴∠COB=90°，
∴C点与点关于AB所在直线对称，故当P为与AB的交点时，周长的最小，此时，
∵，
∴ ，，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴周长为，最小值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题
11．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果=，那么____，_____，______．
【答案】 AB=CD， ， ， = ， ， ∠AOB=∠COD， AB＝CD， ∠AOB＝∠COD， =
【解析】
【分析】
根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
（1）∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴=，∠AOB=∠COD；
（3）∵=，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=．
故答案为AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，=
【点睛】
此题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
12．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为________．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=60°，继而∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，
又∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．如图，是的直径，点、在上，且在异侧，连接、、．若，则的大小是_________．
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】
利用圆周角定理和补角的概念即可解答；
解：∵∠BOC=130°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；掌握定理是解题关键．
14．如图，在⊙O中，点C为优弧ACB上的一点，，则∠C=_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆周角定理直接解答即可．
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半是解题的关键．
15．如图，是的直径，点、在上，，则______度．
【答案】120
【解析】
【分析】
利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．
解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长．
解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°，
∴OC=2CE=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
17．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
18．如图，在半径为的⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】
∵点是劣弧的中点，
∴，①正确．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．②错误．
同理可得为等边三角形，
∴，③正确．
∵，
∴四边形为菱形，④正确．
故答案为①③④．
三、解答题
19．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.
（1）求证：BE=DF；
（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).
【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．
【解析】
【分析】
（1）根据DF∥AB，BE∥DC，得到∠EBA=∠CDF，然后根据相等的弧所对的弦相等即可证明BE=DF；
（2）根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧．
(1)∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA=∠COA=∠CDF.
∴弧ECA=弧CAF，
∴弧BE=弧DF，
∴BE=DF；
(2) 由（1）可得，弧DF=弧BE；
∵弧ECA=弧CAF，
∴弧EC=弧FA；
∵，
∴弧AC=弧BD；
∵弧BE＋弧EC=弧AF＋弧DF；
∴弧DA=弧BC．
∴综上所述，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．
【点睛】
此题考查了相等的圆周角所对的弧相等，弦相等，等弧对等弦等知识，解题的关键是熟练掌握相等的圆周角所对的弧相等，弦相等，等弧对等弦等知识．
20．已知：如图，是所对的圆周角，是所对的圆心角．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分圆周角的一边过圆心、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部3种情况，分别结合图（1）、（2）、（3）证明上述结论．
解：在图（1）中，，
，
又，
；
在图（2）中，作直径，
，
，，
又，，
∴，，
∴，
即：；
在图（3）中，作直径，
，
，，
又，，
∴，，
∴，
即：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的证明，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，正确进行分类讨论是解决本题的关键．
21．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
(1)
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
22．如图，，是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，．求证．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长BC交于点G，连接AG，BE，根据圆周角定理以及三角形外角性质可得∠ACB=∠CAG+∠AEB，从而得到∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，即可求证．
证明∶如图，延长BC交于点G，连接AG，BE，
∵∠AGB=∠AEB，∠ACB=∠AGB+∠CAG，
∴∠ACB=∠CAG+∠AEB，
∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，
∴∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，
∵点在内，点在外，
∴∠CAG＞0°，∠DBE＞0°，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的关键．
23．在⊙O中，弦与直径相交于点P．
(1)若，，则= ；= ；
(2)若的度数为m度、的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形外角的性质可得∠BCD=38°，再根据圆周角定理可得，然后由直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=52°，即可求解；
（2）根据的度数为m度、的度数为n度，可得，再根据三角形外角的性质，即可求解．
(1)
解：∵，，
∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=52°，
∵∠BPD=∠APC=100°，
∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°；
(2)
解：，理由如下：
证明：∵的度数为m度、的度数为n度，
∴，
∵ ，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．
（1）求证：．
（2）若，，求BD．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；
（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．
（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，
∴AC垂直平分BD，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴△ABD是等边三角形，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长．
【答案】（1）BC∥MD，见解析；（2）CD的长是16．
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出AB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论.
（1）BC、MD的位置关系是平行，
理由：∵∠M＝∠D，
∴，
∴∠M＝∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝16，BE＝4，
∴，
∴，
∴，
∴，
即线段CD的长是16．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题此类问题的关键是明确题意，根据所要证明或求解的问题找出相应的条件，利用圆周角定理、垂径定理和勾股定理的相关知识解答．
26．如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且.
（1）试判断的形状，并说明理由.
（2）已知半圆的半径为5，，求的长.
【答案】（1）为等腰三角形．理由见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD的值.
（1）为等腰三角形．
理由如下：
连结，如图，
∵，
∴，即平分，
∵为直径，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）∵为等腰三角形，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴
【点睛】
考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．
27．如图，在中，，，以AB为直径作，连接，过点B作交于点D，连接AD交OC于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，求OE的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据平行线的性质得∠AEO=90°，根据等角的余角相等得到∠OAE=∠ACE，于是可判断△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE；
（2）由于OE⊥AD，根据垂径定理得到AE=DE，则AE=BD=2OE，然后在Rt△AOE中利用勾股定理可求出OE的长．
（1）∵AB是圆O直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD=2OE，
∴AE=2OE，
在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=AO2，
∴OE2+4OE2=22，
∴；
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
28．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD＝CD＝5；（Ⅱ）BD＝5
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点睛】
本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
29．已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
【答案】（1）；（2）α+2β=90°，见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）连接OA、OB、OQ，由证得∠APQ=∠BPQ，即可证得OQ⊥ON，然后根据三角形内角和定理证得2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，，即可证得α+2β=90°．
（1）连接AB，
∵∠APQ=∠BPQ=45°，
∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB=，
∴⊙O的半径为；
（2）α+2β=90°，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∵OA=OB，
∴OQ⊥AB，
∵ON∥AB，
∴NO⊥OQ，
∴∠NOQ=90°，
∵OP=OQ，
∴∠OPN=∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，
∴∠NOP+2∠OPN=90°，
∵∠NOP=α，∠OPN=β，
∴α+2β=90°．
【解答】
解：
【点评】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
30．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为等垂弦，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，．求AB的长度；
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝AB，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，请求出点F在⊙O内时对应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） 或；（3）当＜m≤2时，点F在⊙O内．
【解析】
【分析】
（1）连接BC，先证明∠AOB＝∠COD，得到AB＝CD，再证明∠ABC＝∠BCD45°，得到AB⊥CD，问题得证；
（2）分点E在⊙O内或⊙O外两类讨论，当E在⊙O内时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，先证明四边形OHEG是矩形，进而证明是正方形，根据得到AH＝2BE＝2OH，根据勾股定理即可求解，当点E在⊙O外，同理求出AH= ，进而即可求出AB；
（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，证明四边形OHBG是矩形，根据勾股定理得到，进而得到，即可得到结论．
证明：（1）如图②，连接BC，
∵OC⊥OA、OD⊥OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠ABC＝∠AOC＝45°，∠BCD＝∠BOD＝45°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB、CD是⊙O的等垂弦；
（2）如图，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
∵AB、CD是⊙O的等垂弦，
∴AB＝CD，AB⊥CD，
∴四边形OHEG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH＝AB，DG＝CD，
∴AH＝DG，
又∵OA＝OD，
∴△AHO≌△DGO（HL），
∴OH＝OG，
∴矩形OHEG为正方形，
∴OH＝HE．
∵，且AH＝BH，
∴AH＝2BE＝2OH，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2．
即（2OH）2+OH2＝AO2＝25，
解得OH＝，
∴AB＝4HE＝4 ；
若点E在⊙O外，如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理，AH＝，则AB＝4AH＝4；
（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理可证四边形OHBG是矩形，
∴BH＝，OH＝BG＝，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴，
∴，
∴当＜m≤2时，点F在⊙O内．
【点睛】
本题为与圆有关的新定义问题，综合性较强，根据题意理解等垂弦的定义并结合圆的有关知识解题是解题关键，本题要注意分类讨论思想的应用．
第22讲 圆周角
一、圆周角
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
3.圆周角定理的推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4.圆周角定理的推论2：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
例1．如图，其中圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，，是圆周角，共2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．
例2．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
【答案】D
【解析】试题分析：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等；在圆中一条弦所对的圆周角有两个，它们互为补角，故选择D．
例3．如图，点，，都在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，根据等边对等角即可得到∠B=∠BCO，∠A=∠ACO，从而求得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
连接OC．
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
同理，∠A=∠ACO，
∴∠ACB=∠A+∠B=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得∠ACB的度数是关键．
例4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可.
∵∠AOB与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是关键.
例5．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
例6．如图，已知是的直径，若，点在上，则等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】
【分析】
由是的直径，可得的值，又由，则可得，由圆周角定理可得.
由是的直径，可得，又由，则可得，由圆周角定理可得.故选择D项.
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理.
例7．如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OC、OD、OA、OB，由圆周角定理，得到，，然后利用三角形的外角性质，即可求出答案．
解：如图：连接OC、OD、OA、OB，
∵和所对的圆心角分别为和，
即，，
∴，，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
例8．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
例9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（ ）
A．27° B．31° C．56° D．63°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠BOC，求出∠BOC的度数，根据圆周角定理得出∠A＝∠BOC，再求出答案即可．
解：连接OC，
∵BC＝DC，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵∠BOD＝124°，
∴∠BOC＝∠BOD＝62°，
∴∠A＝∠BOC＝31°（圆周角定理），
故选：B．
【点睛】
本考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记知识点是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
例10．如图，A、B、C、D是上四点，且点D是的中点，交于E，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得．
解：连接，
是弧的中点，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论以及三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键．
例11．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．
解：连接AD，
∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA =60°，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠AED=90°，
∵DE=1，
∴AD=2DE=2，
AE=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．
例12．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠DCA的度数（ ）
A．35° B．40° C．45° D．65°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案．
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−25°=65°，
根据翻折的性质,弧AC所对的圆周角为∠B,弧ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB−∠A=65°−25°=40°.
故选B.
【点睛】
本题考查圆周角定理，连接BC是解题的突破口.
例13．如图，经过原点O，并与两坐标轴相交于A，D两点，已知，点D的坐标为，则圆心C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系，连接AD，可证AD为直径；将已知圆周角∠OBA转化，即∠D=∠OBA=30°，在Rt△OAD中，根据勾股定理计算即可求解．
如图所示：
连接AD，OC， ∵∠DOA=90°，
所以AD为直径，即点C在AD上，
由圆周角定理，得∠D=∠OBA=30°，则∠CAO=60°，
又因为OC=CA，
所以三角形OAC为等边三角形，
所以OA=OC=，
在Rt△OAD中，OD=2，根据勾股定理得：
AD=， 即圆的半径为．
点C为AD的中点，
所以圆心C的坐标为（，1），
故选C.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线AD的，将已知条件集中到Rt△OAD中解直角三角形．
例14．如图，以的边BC为直径的分别交AB，AC于点D，E．若，，则AC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理可得，再说明，，最后根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半即可解答．
解：如图：连接CD
，
∴．
为的直径，
，
．
，，
．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆的性质等知识点，根据圆周角定理求得是解答本题的关键．
例15．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（ ）
A．37° B．74° C．54° D．64°
【答案】B
【解析】
【分析】
由∠BAC=27°，∠BEC=64°，根据三角形外角的性质，即可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOD的度数．
解：∵∠BEC是△AEC的外角，
∴∠BEC=∠C+∠BAC，
∵∠BAC=27°，∠BEC=64°，
∴∠C=∠BEC-∠BAC=64°-27°=37°，
∴∠AOD=2∠C=2×37°=74°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例16．如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是半圆AB上一动点（不与A、B重合）,连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°，则∠AED的范围为（ ）
A．0°< ∠AED <180° B．30°< ∠AED <120°
C．60°< ∠AED <120° D．60°< ∠AED <150°
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BD，根据圆周角定理得出∠ADC=30°, ∠ADB=90°，再根据三角形的外角性质可得到结论.
如图，连接BD，
由∵∠AOC=60°,
∴∠ADC=30°,
∴∠DEB>30°
∴∠AED<150°,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠EDB=90°-30°=60°,
∴∠AED>60°
∴60°<∠AED<150°,
故选D
【点睛】
本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质.正确应用圆周角定理找出∠ADC=30°, ∠ADB=90°是解题的关键.
例17．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D、E分别是、的中点，设∠BAC＝α，∠DAE＝β，则（ ）
A．α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．β﹣α＝60° D．2α﹣β＝60°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接DE、DC、BE，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到∠ACD＝∠BCD，同弧所对的圆周角相等，∠ACD＝∠AED，即∠ACB＝2∠AED，∠ABC＝2∠ADE，在△ADE中三角形的内角和为180°，可以得出∠ADE+∠AED＝180°﹣β，在△ABC中，∠A＝2，∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝360°﹣2β，即可以得出β与α的关系．
解：如图，
连接DE、DC、BE，
∵D、E分别是、中点，
∴＝，＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠AED，
∴∠ACD＝∠AED＝∠BCD，
∴∠ACB＝2∠AED，
∵＝，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ADE，
在△ADE中，∠DAE＝β，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣β，
在△ABC中，
∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝2（180°﹣β）＝360°﹣2β，
∵∠BAC＝α，
∴α+360°﹣2β＝180°，
∴2β﹣α＝180°，
故选：B
【点睛】
此题考查了三角形的内心和外心，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和三角形的内外心性质等．
一、单选题
1．同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆周角定理求解即可．
解：∵弧所对的圆心角为80°，
∴这条弧所对的圆周角度数=×80°=40°．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠ACD=50°，然后再利用圆周角定理得到∠ABD的度数．
解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-40°=50°，
∴∠ABD=∠ACD=50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
3．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由是的外接圆，，易得是等腰直角三角形，继而求得答案．
解：如图，连接，，
是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理以及勾股定理是解决问题的关键．
4．如图，半圆的半径为6，将三角板的30角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（ ）
A．3 B．12 C． D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，半圆的圆心为O，连接OA，OB，根据圆周角定理可知，，根据OA=OB，为等边三角形，可求解．
解：如图，连接OA，OB，
根据圆周角定理可知，
∵OA=OB，
∴为等边三角形，
∴AB=OA=6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆周角定理．
5．如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解．
解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，
∵OA=OC，
∴∠ACE=∠CAB，
∵，
∴∠ACD=∠ACE，
∴，
∴AE=AD=2，
∵CE是直径，
∴∠CAE=90°，
∴，
∴⊙的半径为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
6．如图，在⊙O中，，，则的度数是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】
【分析】
利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
解：，，
．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理,注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆周角的一半这个定理的应用．
7．如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．如图，以的边BC为直径的分别交AB，AC于点D，E．若，，则AC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理可得，再说明，，最后根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半即可解答．
解：如图：连接CD
，
∴．
为的直径，
，
．
，，
．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆的性质等知识点，根据圆周角定理求得是解答本题的关键．
9．如图，AB,CD是⊙O的两条直径，∠AOC=，P是弧BD上的任意一点（不与点B,D重合），AP、CP分别交CD、AB于点E、F．若，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，连接BC，
∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=∠AOD=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠CBF=∠AOE=60°，BC=OC=OB=OA，
在△BCF和△OAE中，
∵，
∴△BCF≌△OAE（ASA），
∴S△BCF=S△OAE，
∵S△AOE+S△COF=2，
∴S△BCF+S△COF=S△BOC=2，即，
解得：OC=2，
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与面积的求法、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，有一定的综合性，通过证明全等将两个无联系的三角形的面积连接到一起是解题的切入点和关键．
10．如图，是的直径，，点、、在上，，，是直径上的一动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知周长的最小值为，根据圆周角定理可得，再根据弧与圆心角的关系可知，解直角三角形即可．
解：如下图所示，连接CO并延长至，连接CE，OE，，
∵，
∴∠COB=90°，
∴C点与点关于AB所在直线对称，故当P为与AB的交点时，周长的最小，此时，
∵，
∴ ，，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴周长为，最小值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题
11．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果=，那么____，_____，______．
【答案】 AB=CD， ， ， = ， ， ∠AOB=∠COD， AB＝CD， ∠AOB＝∠COD， =
【解析】
【分析】
根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
（1）∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴=，∠AOB=∠COD；
（3）∵=，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=．
故答案为AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，=
【点睛】
此题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
12．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为________．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=60°，继而∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，
又∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．如图，是的直径，点、在上，且在异侧，连接、、．若，则的大小是_________．
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】
利用圆周角定理和补角的概念即可解答；
解：∵∠BOC=130°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；掌握定理是解题关键．
14．如图，在⊙O中，点C为优弧ACB上的一点，，则∠C=_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆周角定理直接解答即可．
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半是解题的关键．
15．如图，是的直径，点、在上，，则______度．
【答案】120
【解析】
【分析】
利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．
解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长．
解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°，
∴OC=2CE=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
17．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
18．如图，在半径为的⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】
∵点是劣弧的中点，
∴，①正确．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．②错误．
同理可得为等边三角形，
∴，③正确．
∵，
∴四边形为菱形，④正确．
故答案为①③④．
三、解答题
19．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.
（1）求证：BE=DF；
（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).
【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．
【解析】
【分析】
（1）根据DF∥AB，BE∥DC，得到∠EBA=∠CDF，然后根据相等的弧所对的弦相等即可证明BE=DF；
（2）根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧．
(1)∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA=∠COA=∠CDF.
∴弧ECA=弧CAF，
∴弧BE=弧DF，
∴BE=DF；
(2) 由（1）可得，弧DF=弧BE；
∵弧ECA=弧CAF，
∴弧EC=弧FA；
∵，
∴弧AC=弧BD；
∵弧BE＋弧EC=弧AF＋弧DF；
∴弧DA=弧BC．
∴综上所述，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．
【点睛】
此题考查了相等的圆周角所对的弧相等，弦相等，等弧对等弦等知识，解题的关键是熟练掌握相等的圆周角所对的弧相等，弦相等，等弧对等弦等知识．
20．已知：如图，是所对的圆周角，是所对的圆心角．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分圆周角的一边过圆心、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部3种情况，分别结合图（1）、（2）、（3）证明上述结论．
解：在图（1）中，，
，
又，
；
在图（2）中，作直径，
，
，，
又，，
∴，，
∴，
即：；
在图（3）中，作直径，
，
，，
又，，
∴，，
∴，
即：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的证明，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，正确进行分类讨论是解决本题的关键．
21．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
(1)
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
22．如图，，是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，．求证．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长BC交于点G，连接AG，BE，根据圆周角定理以及三角形外角性质可得∠ACB=∠CAG+∠AEB，从而得到∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，即可求证．
证明∶如图，延长BC交于点G，连接AG，BE，
∵∠AGB=∠AEB，∠ACB=∠AGB+∠CAG，
∴∠ACB=∠CAG+∠AEB，
∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，
∴∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，
∵点在内，点在外，
∴∠CAG＞0°，∠DBE＞0°，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的关键．
23．在⊙O中，弦与直径相交于点P．
(1)若，，则= ；= ；
(2)若的度数为m度、的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形外角的性质可得∠BCD=38°，再根据圆周角定理可得，然后由直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=52°，即可求解；
（2）根据的度数为m度、的度数为n度，可得，再根据三角形外角的性质，即可求解．
(1)
解：∵，，
∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=52°，
∵∠BPD=∠APC=100°，
∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°；
(2)
解：，理由如下：
证明：∵的度数为m度、的度数为n度，
∴，
∵ ，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．
（1）求证：．
（2）若，，求BD．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；
（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．
（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，
∴AC垂直平分BD，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴△ABD是等边三角形，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长．
【答案】（1）BC∥MD，见解析；（2）CD的长是16．
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出AB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论.
（1）BC、MD的位置关系是平行，
理由：∵∠M＝∠D，
∴，
∴∠M＝∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝16，BE＝4，
∴，
∴，
∴，
∴，
即线段CD的长是16．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题此类问题的关键是明确题意，根据所要证明或求解的问题找出相应的条件，利用圆周角定理、垂径定理和勾股定理的相关知识解答．
26．如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且.
（1）试判断的形状，并说明理由.
（2）已知半圆的半径为5，，求的长.
【答案】（1）为等腰三角形．理由见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD的值.
（1）为等腰三角形．
理由如下：
连结，如图，
∵，
∴，即平分，
∵为直径，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）∵为等腰三角形，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴
【点睛】
考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．
27．如图，在中，，，以AB为直径作，连接，过点B作交于点D，连接AD交OC于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，求OE的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据平行线的性质得∠AEO=90°，根据等角的余角相等得到∠OAE=∠ACE，于是可判断△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE；
（2）由于OE⊥AD，根据垂径定理得到AE=DE，则AE=BD=2OE，然后在Rt△AOE中利用勾股定理可求出OE的长．
（1）∵AB是圆O直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD=2OE，
∴AE=2OE，
在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=AO2，
∴OE2+4OE2=22，
∴；
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
28．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD＝CD＝5；（Ⅱ）BD＝5
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点睛】
本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
29．已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
【答案】（1）；（2）α+2β=90°，见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）连接OA、OB、OQ，由证得∠APQ=∠BPQ，即可证得OQ⊥ON，然后根据三角形内角和定理证得2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，，即可证得α+2β=90°．
（1）连接AB，
∵∠APQ=∠BPQ=45°，
∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB=，
∴⊙O的半径为；
（2）α+2β=90°，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∵OA=OB，
∴OQ⊥AB，
∵ON∥AB，
∴NO⊥OQ，
∴∠NOQ=90°，
∵OP=OQ，
∴∠OPN=∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，
∴∠NOP+2∠OPN=90°，
∵∠NOP=α，∠OPN=β，
∴α+2β=90°．
【解答】
解：
【点评】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
30．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为等垂弦，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，．求AB的长度；
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝AB，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，请求出点F在⊙O内时对应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） 或；（3）当＜m≤2时，点F在⊙O内．
【解析】
【分析】
（1）连接BC，先证明∠AOB＝∠COD，得到AB＝CD，再证明∠ABC＝∠BCD45°，得到AB⊥CD，问题得证；
（2）分点E在⊙O内或⊙O外两类讨论，当E在⊙O内时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，先证明四边形OHEG是矩形，进而证明是正方形，根据得到AH＝2BE＝2OH，根据勾股定理即可求解，当点E在⊙O外，同理求出AH= ，进而即可求出AB；
（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，证明四边形OHBG是矩形，根据勾股定理得到，进而得到，即可得到结论．
证明：（1）如图②，连接BC，
∵OC⊥OA、OD⊥OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠ABC＝∠AOC＝45°，∠BCD＝∠BOD＝45°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB、CD是⊙O的等垂弦；
（2）如图，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
∵AB、CD是⊙O的等垂弦，
∴AB＝CD，AB⊥CD，
∴四边形OHEG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH＝AB，DG＝CD，
∴AH＝DG，
又∵OA＝OD，
∴△AHO≌△DGO（HL），
∴OH＝OG，
∴矩形OHEG为正方形，
∴OH＝HE．
∵，且AH＝BH，
∴AH＝2BE＝2OH，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2．
即（2OH）2+OH2＝AO2＝25，
解得OH＝，
∴AB＝4HE＝4 ；
若点E在⊙O外，如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理，AH＝，则AB＝4AH＝4；
（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理可证四边形OHBG是矩形，
∴BH＝，OH＝BG＝，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴，
∴，
∴当＜m≤2时，点F在⊙O内．
【点睛】
本题为与圆有关的新定义问题，综合性较强，根据题意理解等垂弦的定义并结合圆的有关知识解题是解题关键，本题要注意分类讨论思想的应用．
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