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【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第24讲《正多边形》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第24讲《正多边形》预习讲学案，文件包含第24讲正多边形解析版docx、第24讲正多边形原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共60页， 欢迎下载使用。
第24讲 正多边形
一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
例1．下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
例2．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
．
故这个正多边形的边数为12．
故选B．
【点睛】
本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
例3．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【解析】
【分析】
正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】
本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
例4．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．
例5．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．
解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
为等边三角形，
正六边形ABCDEF的周长为
故选：
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．
例6．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
例7．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．
解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，
∵△BCD的面积为4，
∴△BCF的面积为：8．
故选C．
【点睛】
此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．
例8．如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB==60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=30°，AH=AB=1，于是得到结论．
解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要正确的作出辅助线和熟练掌握含30°角直角三角形的性质和勾股定理．
例9．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距，OA即半径．根据三角函数（或用直角三角形的性质也能解）即可求解．
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为R×cos60°．
四边形的边心距为R×cos45°，
正六边形的边心距为R×cos30°．
∴等于 ．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
例10．如图，的外切正八边形的边长2，则的半径为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA、OH，作AP⊥OH于P，作OQ⊥AH于Q，易知OQ是的半径.设OA=OH=2x，求出∠AOH==45°，从而可以用x表示出AP、PH，在中用勾股定理列出方程解出x，然后在中用勾股定理即可求出OQ．
解：如图，连接OA、OH，作AP⊥OH于P，作OQ⊥AH于Q，易知OQ是的半径，
设OA=OH=2x，
∵八边形是正八边形，
∴∠AOH==45°
∴∠OAP=45°，
∴OP=AP=，
∴PH=，
∴，
∴，
∴
=
=
=，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题考查了正多边形和圆，正八边形的性质，熟练掌握正八边形的性质是解本题的关键．
例11．如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BE，设正六边形的边长为a，首先证明△PMN是等边三角形，分别求出△PMN，正六边形ABCDEF的面积即可．
解：连接BE，设正六边形的边长为a．则AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，
∵AP＝PB，FN＝NE，
∴PN＝（AF+BE）＝1.5a，
同理可得PM＝MN＝1.5a，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PMN是等边三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
例12．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例13．如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，根据六边形是正六边形，得到，，求得.再利用六边形是正六边形得到，求出，证得，得到，再利用勾股定理求得答案即可.
如解图，连接.
∵六边形是正六边形，
∴，，，CF平分∠AFE，
∴.
∴.
∵六边形是正六边形，
∴.
∵，
∴.
又∵，，
∴.
∴.
∵，
∴.
故选：C.
【点睛】
此题考查正六边形的性质，三角形全等的判定及性质，此题的连线是解题的关键，由此证得，将求线段转化为求全等的对应线段CE.
错因分析 较难题.失分的原因是：没有掌握正六边形的基本性质.
例14．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（ ）
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；
②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
③＝；
④∠BAC＝30°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据圆的内接正六边形、正三角形及正十二边形的性质进行解答即可．
解：∵OA＝AB，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确；
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∴，故③正确；
∴∠AOC=30°，
∵
∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确；
∵∠BOC=∠AOC=30°
∴∠BAC＝15°，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆及垂径定理，熟知圆的内接正六边形、正三角形、正十二边形的性质及垂径定理是解答此题的关键．
例15．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____．
【答案】．
【解析】
【分析】
连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．
连接OD,OC,OE,
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠COD=∠DOE==45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE=∠COE
=45°.
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．
例16．如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__．
【答案】30°
【解析】
【分析】
利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.
多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠AOD=3×=120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA==30°，
故答案为30°.
【点睛】
本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
例17．如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是___．
①的长为；②；③为等边三角形；④．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
先求出正八边形的中心角，得到，即可求出弧的长①正确错误；由勾股定理求得可得②正确；由，可得③错误；由于，可得，于是得到④正确．
解：，
，
弧的长为，
①正确；
，，
，
，
即，
②正确；
，
③错误；
，
，
，
，
④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断．
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、任何三角形有且只有一个内切圆，正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角和为360°计算即可．
解：，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键．
3．我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14
【答案】B
【解析】
【分析】
设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，则，然后即可解决问题
解：由题意时，，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
4．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接，，，交于点O．连接交于点G．连接．由于六边形是正六边形，可得：六边相等，六个内角相等，可求出各内角的度数为：．由于点O是正六边形的中心，可得：．可证出．所以是等边三角形，四边形是菱形，同理可得出：四边形是菱形，四边形是菱形，且这三个菱形全等．由于四边形是菱形，所以．在等边三角形中，边长为2a，可求出．所以，可求出．由题意得：、、，三点共线，四边形是平行四边形，所以，可求出
所以．
解：连接，，，交于点O
连接交点G，连接
六边形是正六边形
点O是正六边形的中心
在和中
四边形是菱形
同理可证：四边形是菱形，四边形是菱形
菱形菱形菱形
四边形是菱形
，，
，
在中，
六边形是正六边形
由平移得：、、，三点共线，四边形是平行四边形，
同理：四边形是平行四边形，且
故选A．
【点睛】
本题主要考查知识点，正多边形的性质以及平移的性质．正多边形是各边相等，各内角相等的多边形．平移的图形，原点和对应点的连线等于平移的距离，原线段与对应线段平行且相等．掌握正多边形的性质和平移的性质是解决本题的关键．
5．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
6．正六边形边长为2，分别以对角线和为边作正方形，则图中两个阴影部分的面积差的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两个正方形的面积，可得结论．
解：如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AD＝4，OD=，
∴CD=，EC=2CD=2，
∴AD为边的正方形的面积为16，EC为边的正方形的面积为12，
∵a＋空白＝16，b＋空白＝12，
∴两个阴影部分的面积差a−b＝16−12＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，具体的规划是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，AF是的直径，则的度数是（ ）
A．36° B．72° C．54° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．问题：“如图1，平面上，正方形内有一长为12，宽为6的矩形纸片，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙三名同学分别作了自认为边长最小的正方形，求出该正方形的边长x，再取最小整数n．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取．
乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取．
丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和时就可以移转过去；结果取．
对甲、乙、丙评价正确的是（ ）
A．甲的思路错，n值正确 B．乙的思路对，n值正确
C．丙的思路对，n值正确 D．甲、乙的思路都错，丙的思路对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形中对角线为最长的线段，当最长的线段能够在正方形中移转时，矩形就能够正常移转，根据勾股定理计算出矩形的对角线就可以进行判断得到最终的答案．
解：设矩形的对角线的长度为，为，
∴=
∵ ，
∴
∵矩形纸片中最长的地方为对角线
∴当x为矩形对角线长时，矩形就可以移转过去
甲的思路是正确的，但是结果取错误
故A错误
∵矩形的外接圆直径等于矩形的对角线长度
∴乙的思路正确
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形、矩形外接圆的性质，解题的关键是熟练掌握矩形、矩形外接圆的相关知识．
9．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接AO并延长交于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点G B．
C．点G是线段EF的三等分点 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可得结论．
解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
10．如图，正八边形ABCDEFGH的边长为1，点P从点B出发，沿B—C—D—E运动至点E，点是点B关于直线的对称点．点P从点B运动至点E的过程中，点到点F的距离的最小值是（ ）
A．-1 B．1 C．+1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
点从点运动至过程中，点的运动轨迹是弧线，连接与弧交于点，此时最短，，即为到点的距离的最小值．
解：点从点运动至过程中，
，
点的运动轨迹是弧线，
连接与弧交于点，此时最短，
，
连接，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
正八边形的边长为1，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，解题的关键是找出点的运动轨迹．
二、填空题
11．正九边形一个内角的度数为______．
【答案】140°
【解析】
【分析】
正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解．
正多边形的每个外角 （为边数），
所以正九边形的一个外角
正九边形一个内角的度数为
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．
12．如图，在的内接正六边形中，______°．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出正六边形的内角和，然后根据正六边形每个内角都相等即可求出的度数．
解：∵多边形是正六边形，
∴正六边形的内角和为，
∴正六边形的每个内角度数为．
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了正六边形的内角度数，解题的关键是熟知多边形内角和公式．多边形内角和=．
13．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合正多边形和等边三角形的性质求解．
解：根据题意，采用割补法，如图，边长为a的正六边形内的空白部分是一个边长为a的等边三角形
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．
14．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=_______________度．
【答案】22.5°
【解析】
【分析】
正八边形内接于圆，可求得GF所对的圆心角为45°，进而可求得GF所对的圆周角的度数．
解：∵多边形为正八边形
∴正八边形ABCDEFGH内接于圆
∴GF所对的圆心角为45°
∴GF所对的圆周角∠GBF为22.5°
故答案为：22.5°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，解题的关键是掌握正多边形与圆的关系．
15．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则________度．
【答案】80
【解析】
【分析】
根据正多边形性质求出中心角，即可求出．
解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，
∴．
故答案为：80
【点睛】
本题考查了正n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为 ．
16．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点其摆放方式如图所示，则____________________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，即可解决问题；
解：如图，由题意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，
∴
故答案：
【点睛】
本题考查正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握正多边形基本知识．
17．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
解：如图，连接CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．
解：如图，连接CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
18．如图，正五边形和正方形内接于圆，连结交于点，则的度数为________．
【答案】126°##126度
【解析】
【分析】
先根据正方形AFGH和正五边形ABCDE内接于求出，，再根据三角形的内角和求出的度数即可．
解：连接OA，OE，OF，OH，如图所示：
∵正方形AFGH内接于，
，
∵，
∴，
，
，
∵正五边形ABCDE内接于，
，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：126°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和，根据已知条件求出，，是解题的关键．
三、解答题
19．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
【答案】填表见解析．
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．
解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为：，面积为；
如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90°
由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，
∵边心距为1
∴，
∴边长为2，半径为 ，
∴周长为8，面积为4；
如图（3）所示：内角为120°，中心角，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOM=30°，AM=BM，
∴AO=2AM
∵边心距为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径为2，边长为2，
∴周长为12，面积，
故答案为：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
【答案】2cm
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】
考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
21．如图，正六边形内接于，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案.
解： 正六边形内接于，
是直径，
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键.
22．如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，连接OC、OD，由正五边形的性质可得的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案．
如图所示，连接OC、OD，
五边形是正五边形，
，
．
【点睛】
本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CD所对的圆心角．
23．如图，在的网格纸中，点O和点A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法，保留作图痕迹．）
(1)在图①中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH；
(2)在图②中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）在图①中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH即可；
（2）在图②中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF即可．
(1)
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求：
(2)
解：如图，正六边形ABCDEF即为所求：
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是准确画图．
24．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
【解析】
【分析】
过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．
解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
【点睛】
本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
25．如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．
（1）求证：AC∥ED；
（2）求证：ME＝AE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，由∠EAC的度数等于的度数的一半，得到∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，则 ∠EAC+∠AED＝180°，即可证明ED∥AC；
（2）由∠AEB的度数等于的度数的一半，得到∠AEB=36°，则∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，可推出∠EAM＝∠EMA＝72°，即可证明 EA＝EM．
解：∵正多边形必有外接圆，
∴作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，
∵ ∠EAC的度数等于的度数的一半，
∴ ∠EAC＝，
同理，∠AED＝×72°×3＝108°，
∴ ∠EAC+∠AED＝180°，
∴ ED∥AC；
（2）∵∠AEB的度数等于的度数的一半，
∴∠AEB=36°，
∴∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，
∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°，
∴ EA＝EM．
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
26．探究题：
（1） 都相等， 都相等的多边形叫做正多边形；
（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；
（3）正六边形有 条对角线，它的外角和为 度．
【答案】（1）各个角；各条边；（2）见解析；（3）9；360°．
【解析】
【分析】
（1）直接用正多边形的定义得出结论即可；
（2）用网格线的特征和正六边形的性质，画出图形即可；
（3）根据多边形的对角线条数的确定方法和多边形的外角和定理即可．
解：（1）由正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
故答案为：各个角；各条边；
（2）如图，
∵AB=2，BC=2，CD=2，DE=2，EF=2，FA=2，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∵网格是等边三角形的网格，
∴∠FAB=2×60°=120°，
同理：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴六边形ABCDEFA是正六边形．
最大面积为24×=；
（3）正六边形的对角线条数为=9，
∵多边形的外角和是360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故答案为：9；360°．
【点睛】
本题考查了正多边形的定义，正六边形的性质，网格线的特点，多边形的对角线的确定和多边形的外角和定理，解本题的关键掌握正六边形的性质．
27．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键．
28．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．
（1）求图①中的度数
（2）图②中的度数是______，图③中的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______．
【答案】（1）120°；（2）90°，72°；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出，即可求出答案；
（2）与（1）同理，可求，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案；
（3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案．
解：（1）∵是正三角形，
∴，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，
∴，
∴；
（2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理，
，
∴；
由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理，
∴，
∴；
故答案为：90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=；
故答案为：；
【点睛】
此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
第24讲 正多边形
一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
例1．下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
例2．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
．
故这个正多边形的边数为12．
故选B．
【点睛】
本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
例3．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【解析】
【分析】
正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】
本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
例4．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．
例5．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．
解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
为等边三角形，
正六边形ABCDEF的周长为
故选：
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．
例6．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
例7．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．
解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，
∵△BCD的面积为4，
∴△BCF的面积为：8．
故选C．
【点睛】
此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．
例8．如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB==60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=30°，AH=AB=1，于是得到结论．
解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要正确的作出辅助线和熟练掌握含30°角直角三角形的性质和勾股定理．
例9．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距，OA即半径．根据三角函数（或用直角三角形的性质也能解）即可求解．
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为R×cos60°．
四边形的边心距为R×cos45°，
正六边形的边心距为R×cos30°．
∴等于 ．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
例10．如图，的外切正八边形的边长2，则的半径为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA、OH，作AP⊥OH于P，作OQ⊥AH于Q，易知OQ是的半径.设OA=OH=2x，求出∠AOH==45°，从而可以用x表示出AP、PH，在中用勾股定理列出方程解出x，然后在中用勾股定理即可求出OQ．
解：如图，连接OA、OH，作AP⊥OH于P，作OQ⊥AH于Q，易知OQ是的半径，
设OA=OH=2x，
∵八边形是正八边形，
∴∠AOH==45°
∴∠OAP=45°，
∴OP=AP=，
∴PH=，
∴，
∴，
∴
=
=
=，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题考查了正多边形和圆，正八边形的性质，熟练掌握正八边形的性质是解本题的关键．
例11．如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BE，设正六边形的边长为a，首先证明△PMN是等边三角形，分别求出△PMN，正六边形ABCDEF的面积即可．
解：连接BE，设正六边形的边长为a．则AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，
∵AP＝PB，FN＝NE，
∴PN＝（AF+BE）＝1.5a，
同理可得PM＝MN＝1.5a，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PMN是等边三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
例12．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例13．如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，根据六边形是正六边形，得到，，求得.再利用六边形是正六边形得到，求出，证得，得到，再利用勾股定理求得答案即可.
如解图，连接.
∵六边形是正六边形，
∴，，，CF平分∠AFE，
∴.
∴.
∵六边形是正六边形，
∴.
∵，
∴.
又∵，，
∴.
∴.
∵，
∴.
故选：C.
【点睛】
此题考查正六边形的性质，三角形全等的判定及性质，此题的连线是解题的关键，由此证得，将求线段转化为求全等的对应线段CE.
错因分析 较难题.失分的原因是：没有掌握正六边形的基本性质.
例14．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（ ）
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；
②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
③＝；
④∠BAC＝30°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据圆的内接正六边形、正三角形及正十二边形的性质进行解答即可．
解：∵OA＝AB，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确；
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∴，故③正确；
∴∠AOC=30°，
∵
∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确；
∵∠BOC=∠AOC=30°
∴∠BAC＝15°，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆及垂径定理，熟知圆的内接正六边形、正三角形、正十二边形的性质及垂径定理是解答此题的关键．
例15．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____．
【答案】．
【解析】
【分析】
连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．
连接OD,OC,OE,
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠COD=∠DOE==45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE=∠COE
=45°.
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．
例16．如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__．
【答案】30°
【解析】
【分析】
利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.
多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠AOD=3×=120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA==30°，
故答案为30°.
【点睛】
本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
例17．如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是___．
①的长为；②；③为等边三角形；④．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
先求出正八边形的中心角，得到，即可求出弧的长①正确错误；由勾股定理求得可得②正确；由，可得③错误；由于，可得，于是得到④正确．
解：，
，
弧的长为，
①正确；
，，
，
，
即，
②正确；
，
③错误；
，
，
，
，
④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断．
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、任何三角形有且只有一个内切圆，正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角和为360°计算即可．
解：，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键．
3．我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14
【答案】B
【解析】
【分析】
设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，则，然后即可解决问题
解：由题意时，，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
4．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接，，，交于点O．连接交于点G．连接．由于六边形是正六边形，可得：六边相等，六个内角相等，可求出各内角的度数为：．由于点O是正六边形的中心，可得：．可证出．所以是等边三角形，四边形是菱形，同理可得出：四边形是菱形，四边形是菱形，且这三个菱形全等．由于四边形是菱形，所以．在等边三角形中，边长为2a，可求出．所以，可求出．由题意得：、、，三点共线，四边形是平行四边形，所以，可求出
所以．
解：连接，，，交于点O
连接交点G，连接
六边形是正六边形
点O是正六边形的中心
在和中
四边形是菱形
同理可证：四边形是菱形，四边形是菱形
菱形菱形菱形
四边形是菱形
，，
，
在中，
六边形是正六边形
由平移得：、、，三点共线，四边形是平行四边形，
同理：四边形是平行四边形，且
故选A．
【点睛】
本题主要考查知识点，正多边形的性质以及平移的性质．正多边形是各边相等，各内角相等的多边形．平移的图形，原点和对应点的连线等于平移的距离，原线段与对应线段平行且相等．掌握正多边形的性质和平移的性质是解决本题的关键．
5．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
6．正六边形边长为2，分别以对角线和为边作正方形，则图中两个阴影部分的面积差的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两个正方形的面积，可得结论．
解：如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AD＝4，OD=，
∴CD=，EC=2CD=2，
∴AD为边的正方形的面积为16，EC为边的正方形的面积为12，
∵a＋空白＝16，b＋空白＝12，
∴两个阴影部分的面积差a−b＝16−12＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，具体的规划是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，AF是的直径，则的度数是（ ）
A．36° B．72° C．54° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．问题：“如图1，平面上，正方形内有一长为12，宽为6的矩形纸片，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙三名同学分别作了自认为边长最小的正方形，求出该正方形的边长x，再取最小整数n．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取．
乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取．
丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和时就可以移转过去；结果取．
对甲、乙、丙评价正确的是（ ）
A．甲的思路错，n值正确 B．乙的思路对，n值正确
C．丙的思路对，n值正确 D．甲、乙的思路都错，丙的思路对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形中对角线为最长的线段，当最长的线段能够在正方形中移转时，矩形就能够正常移转，根据勾股定理计算出矩形的对角线就可以进行判断得到最终的答案．
解：设矩形的对角线的长度为，为，
∴=
∵ ，
∴
∵矩形纸片中最长的地方为对角线
∴当x为矩形对角线长时，矩形就可以移转过去
甲的思路是正确的，但是结果取错误
故A错误
∵矩形的外接圆直径等于矩形的对角线长度
∴乙的思路正确
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形、矩形外接圆的性质，解题的关键是熟练掌握矩形、矩形外接圆的相关知识．
9．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接AO并延长交于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点G B．
C．点G是线段EF的三等分点 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可得结论．
解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
10．如图，正八边形ABCDEFGH的边长为1，点P从点B出发，沿B—C—D—E运动至点E，点是点B关于直线的对称点．点P从点B运动至点E的过程中，点到点F的距离的最小值是（ ）
A．-1 B．1 C．+1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
点从点运动至过程中，点的运动轨迹是弧线，连接与弧交于点，此时最短，，即为到点的距离的最小值．
解：点从点运动至过程中，
，
点的运动轨迹是弧线，
连接与弧交于点，此时最短，
，
连接，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
正八边形的边长为1，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，解题的关键是找出点的运动轨迹．
二、填空题
11．正九边形一个内角的度数为______．
【答案】140°
【解析】
【分析】
正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解．
正多边形的每个外角 （为边数），
所以正九边形的一个外角
正九边形一个内角的度数为
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．
12．如图，在的内接正六边形中，______°．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出正六边形的内角和，然后根据正六边形每个内角都相等即可求出的度数．
解：∵多边形是正六边形，
∴正六边形的内角和为，
∴正六边形的每个内角度数为．
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了正六边形的内角度数，解题的关键是熟知多边形内角和公式．多边形内角和=．
13．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合正多边形和等边三角形的性质求解．
解：根据题意，采用割补法，如图，边长为a的正六边形内的空白部分是一个边长为a的等边三角形
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．
14．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=_______________度．
【答案】22.5°
【解析】
【分析】
正八边形内接于圆，可求得GF所对的圆心角为45°，进而可求得GF所对的圆周角的度数．
解：∵多边形为正八边形
∴正八边形ABCDEFGH内接于圆
∴GF所对的圆心角为45°
∴GF所对的圆周角∠GBF为22.5°
故答案为：22.5°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，解题的关键是掌握正多边形与圆的关系．
15．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则________度．
【答案】80
【解析】
【分析】
根据正多边形性质求出中心角，即可求出．
解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，
∴．
故答案为：80
【点睛】
本题考查了正n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为 ．
16．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点其摆放方式如图所示，则____________________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，即可解决问题；
解：如图，由题意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，
∴
故答案：
【点睛】
本题考查正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握正多边形基本知识．
17．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
解：如图，连接CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．
解：如图，连接CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
18．如图，正五边形和正方形内接于圆，连结交于点，则的度数为________．
【答案】126°##126度
【解析】
【分析】
先根据正方形AFGH和正五边形ABCDE内接于求出，，再根据三角形的内角和求出的度数即可．
解：连接OA，OE，OF，OH，如图所示：
∵正方形AFGH内接于，
，
∵，
∴，
，
，
∵正五边形ABCDE内接于，
，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：126°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和，根据已知条件求出，，是解题的关键．
三、解答题
19．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
【答案】填表见解析．
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．
解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为：，面积为；
如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90°
由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，
∵边心距为1
∴，
∴边长为2，半径为 ，
∴周长为8，面积为4；
如图（3）所示：内角为120°，中心角，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOM=30°，AM=BM，
∴AO=2AM
∵边心距为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径为2，边长为2，
∴周长为12，面积，
故答案为：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
【答案】2cm
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】
考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
21．如图，正六边形内接于，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案.
解： 正六边形内接于，
是直径，
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键.
22．如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，连接OC、OD，由正五边形的性质可得的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案．
如图所示，连接OC、OD，
五边形是正五边形，
，
．
【点睛】
本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CD所对的圆心角．
23．如图，在的网格纸中，点O和点A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法，保留作图痕迹．）
(1)在图①中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH；
(2)在图②中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）在图①中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH即可；
（2）在图②中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF即可．
(1)
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求：
(2)
解：如图，正六边形ABCDEF即为所求：
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是准确画图．
24．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
【解析】
【分析】
过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．
解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
【点睛】
本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
25．如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．
（1）求证：AC∥ED；
（2）求证：ME＝AE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，由∠EAC的度数等于的度数的一半，得到∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，则 ∠EAC+∠AED＝180°，即可证明ED∥AC；
（2）由∠AEB的度数等于的度数的一半，得到∠AEB=36°，则∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，可推出∠EAM＝∠EMA＝72°，即可证明 EA＝EM．
解：∵正多边形必有外接圆，
∴作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，
∵ ∠EAC的度数等于的度数的一半，
∴ ∠EAC＝，
同理，∠AED＝×72°×3＝108°，
∴ ∠EAC+∠AED＝180°，
∴ ED∥AC；
（2）∵∠AEB的度数等于的度数的一半，
∴∠AEB=36°，
∴∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，
∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°，
∴ EA＝EM．
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
26．探究题：
（1） 都相等， 都相等的多边形叫做正多边形；
（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；
（3）正六边形有 条对角线，它的外角和为 度．
【答案】（1）各个角；各条边；（2）见解析；（3）9；360°．
【解析】
【分析】
（1）直接用正多边形的定义得出结论即可；
（2）用网格线的特征和正六边形的性质，画出图形即可；
（3）根据多边形的对角线条数的确定方法和多边形的外角和定理即可．
解：（1）由正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
故答案为：各个角；各条边；
（2）如图，
∵AB=2，BC=2，CD=2，DE=2，EF=2，FA=2，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∵网格是等边三角形的网格，
∴∠FAB=2×60°=120°，
同理：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴六边形ABCDEFA是正六边形．
最大面积为24×=；
（3）正六边形的对角线条数为=9，
∵多边形的外角和是360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故答案为：9；360°．
【点睛】
本题考查了正多边形的定义，正六边形的性质，网格线的特点，多边形的对角线的确定和多边形的外角和定理，解本题的关键掌握正六边形的性质．
27．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键．
28．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．
（1）求图①中的度数
（2）图②中的度数是______，图③中的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______．
【答案】（1）120°；（2）90°，72°；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出，即可求出答案；
（2）与（1）同理，可求，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案；
（3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案．
解：（1）∵是正三角形，
∴，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，
∴，
∴；
（2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理，
，
∴；
由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理，
∴，
∴；
故答案为：90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=；
故答案为：；
【点睛】
此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
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