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【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第25讲《弧长及扇形面积》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第25讲《弧长及扇形面积》预习讲学案，文件包含第25讲弧长及扇形面积解析版docx、第25讲弧长及扇形面积原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共78页， 欢迎下载使用。
第25讲 弧长及扇形面积
一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
一、单选题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（ ）
A． B．2πcm C．4cm D．
【答案】B
【解析】
【分析】
扇形的弧长=圆形周长×，根据公式列出算式计算即可．
解：扇形的弧长：，
故选：B ．
【点睛】
本题考查扇形的弧长，掌握扇形的弧长公式是解决本题的关键．
2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（ ）
A．30 B．60 C．105 D．210
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧长，再根据弧长公式求解即可．
解：由题意可求得圆的周长，
其中一个扇形的弧长，则另一个扇形的弧长，
设另一个扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式：，有：
，解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查弧长的计算，解题关键是理解题意，正确应用弧长公式进行计算．
3．如图，圆上有四点，其中，若得长度分别为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的长度分别为，得到圆的周长为，由，得到∠BAD=80°，即可求解．
∵得长度分别为，
圆的周长为，
∵，
∴∠BAD=80°，
故的长==20π．
故选:C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，关键是利用圆的内接四边形对角互补和圆周角与弧的关系求解．
4．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则．
解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
5．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．
过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
解：连接CD，如图所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
7．如图，是圆O的直径，是弦，，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据公式计算弧的长．
解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵直径AB=6，
∴OB=3，
∴弧的长为，
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，弧长的计算公式，正确掌握圆周角定理求出∠BOD=60°是解题的关键．
8．如图，点A，B，C是上的点，连接，且，过点O作交于点D．连接，已知半径为2，则图中阴影面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解．
解：∵，
∴∠AOB=30°，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积等于扇形AOB的面积，
∴阴影面积等于．
故选：B
【点睛】
本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
9．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，
∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，
∴∠B′OB=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC′=cm，
∴B′C′=cm，
∴S扇形B′OB= cm2，
S扇形C′OC= cm2，
∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2；
故选：B．
【点睛】
此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．
10．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝.
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
二、填空题
11．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．
解：根据图象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
12．如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
连接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
直接五边形的内角和定理及扇形的面积即可得出结论．
解：∵五边形的内角和等于（5-2）×180°=540°，
∴S阴影==π(cm2)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14．如图，已知矩形中，，．分别以，为圆心，为半径画弧，两弧分别交对角线于点，，则图中阴影部分的面积为________（用含的式子表示）
【答案】4π
【解析】
【分析】
根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解．
∵S△ABD=5π×8÷2=20π；设,
S扇形BAE=；S扇形DFM=；
∴阴影面积=20π-=20π-16π=4π．
故答案为：4π．
【点睛】
本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．
15．如图，把边长分别为2，的两个正方形并排放在一起，以C为圆心，CD为半径画弧交正方形ABCD于点B，连接BD、CF、DF、BF，则图中阴影部分面积是______.（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】
先求出扇形BCD的面积，梯形CEFD的面积，三角形BEF的面积，进而即可求解．
解：∵扇形BCD的面积=，
梯形CEFD的面积=，
三角形BEF的面积=，
∴阴影部分面积=扇形BCD的面积+梯形CEFD的面积-三角形BEF的面积=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16．如图，分别以正五边形ABCDE的五个顶点为圆心，以对角线AC的长度为半径画五段圆弧，这五段圆弧围成的图形就是一个“圆弧五边形”．若，该“圆弧五边形”的周长为______．（圆周率用表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由正五边形的性质可得，，，可得五段圆弧相等，根据弧长公式求解即可．
解：在正五边形ABCDE中，可得，，
∴，
同理可得：，
∴，
由题意可得，该“圆弧五边形”的五段圆弧相等，
该“圆弧五边形”的周长为，
故答案为：
【点睛】
此题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，多边形内角和的性质以及弧长公式，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
17．如图1，扇形AOB中，，点C，D分别为OA，OB的中点，连接CD，AD，将绕点O逆时针旋转（如图2），若，则图2中弧AB，线段AD，BD构成的阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得出，代入数值计算可得出答案．
解：依题意得：，
过D作DE⊥AO于E，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查阴影部分面积，正确表达面积是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．
【答案】2022π
【解析】
【分析】
根据题意有后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，又因为的半径为，可知任何一段弧的半径都是的倍数，根据圆心以A、B、C、D四次一个循环，可得弧的半径为：，再根据弧长公式即可作答．
根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
．．．
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式，找到每段弧的半径变化规律是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，A、B、C三点在半径为1的上，四边形是菱形，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，利用弧长公式计算即可．
连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OB=OC=BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴的长=
【点睛】
本题考查弧长公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，是以为斜边的等腰直角三角形，其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍．
解：连接AC的中点F与弧的交点D，BC的中点E与弧的交点D，如图，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB=a，
∴AC=BC=，
∴CE=CF=，
S阴影=2（S半圆-S正方形CEDF）
=
=
=
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算，明确阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍是解题的关键．
21．如图，已知点A（0，0），B（4，0），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'．
(1)画出△AB'C'；
(2)求的长度．
【答案】(1)图形见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的C' (-2，5)和B' (0，4)，再将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'；
(2) 点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，由弧长公式即可求解．
(1)
解：由已知：C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的坐标为：C' (-2，5)和B' (0，4)，将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'，如下图所示：
(2)
解：点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，
由弧长公式可知：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及弧长公式，属于基础题，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）10cm；（2）cm；（3）cm²
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB即可；
（2）连接OD，求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（3）分别求出扇形DOB的面积和△BOD的面积，再求出阴影部分的面积即可．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm）
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝5（cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5cm，S△DOB＝，
∴，
解得：OE＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△ODB＝﹣×＝cm2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若OE＝3，∠CBG＝30°，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【解析】
【分析】
（1）由AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，根据垂径定理可得，BE=CE，根据等弧所对圆周角性质可得∠BAD=∠CAD；
（2）连接OC，由含30度角的直角三角形的性质和圆周角定理可得∠COG=60°，OB=2OE=6，然后根据弧长公式求解即可．
解：（1）∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，
∴，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如图所示，连接OC，
∵∠CBG=30°，∠BEO=90°，
∴∠COG=60°，OB=2OE=6，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．如图，四边形内接于，且为直径，，过A点的的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)如果，求图中阴影的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理的推论确定∠BAD=90°，根据角的和差关系确定∠EAB=∠CAD，根据圆周角定理的推论求得∠ADB，根据三角形内角和定理和等角对等边确定AB=AD，根据圆内接四边形的性质确定∠ABE=∠ADC，最后根据全等三角形的判定定理和性质即可证明．
（2）根据等腰三角形的性质确定AO⊥BD，根据勾股定理求得BD的长度，进而求得OA和OD的长度，根据三角形面积公式和扇形面积公式分别求出扇形OAD的面积和△OAD的面积，最后用扇形OAD的面积减去△OAD的面积即可求出阴影部分的面积．
(1)
证明：∵BD是直径，
∴∠BAD=90°．
∵过A点的的垂线交的延长线于点E，
∴∠EAC=90°．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠BAC=∠BAD-∠BAC，即∠EAB=∠CAD．
∵∠ADB和∠ACB都是所对的圆周角，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°．
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=45°．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∵四边形ABCD内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠ADC．
∴．
∴BE=CD．
(2)
解：如下图所示，连接OA．
∵AB=AD，O为BD中点，
∴AO⊥BD．
∴∠AOD=90°．
∵，
∴．
∴．
∴OA=OD=1．
∴，S扇形OAD．
∴S阴=S扇形OAD-=．
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论，角的和差关系，三角形内角和定理，等角对等边，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
25．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据即可证明；
（2）从图中可以得就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．
（1）同圆中的半径相等，
，，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定以及扇形的面积，掌握全等三角形的判定方法以及扇形的面积公式是解题的关键．
26．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．
(1)
∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
(2)
连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的长．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
27．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD＝∠ECB；
(2)若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC．如图2，当AB＝2时，求AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接，由AD为直径，可知，，则，，由，可得，由，可得，进而结论得证；
（2）如图2，连接，由切线的性质可知，则，由，可得，，证明是等边三角形，则，求出，，的值，然后根据，计算求解即可．
(1)
证明：如图1，连接
∵AD为直径
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
(2)
解：如图2，连接
∵CE是⊙O的切线
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，，
∴
∴AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角为90°，圆内接四边形，同弧所对的圆周角相等，切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，正弦，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【答案】（1）①60°；②；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；
（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．
解：（1）①如图1，为圆的切线．
由题意可得，，．
，
②如图1，连结，交BP于点Q．则有．
在中，．
在中，，
．
（2）如图2．连结OD．设．
∵点D为的中点．
．
由题意可得，．
又
，，解得．
．
【点睛】
本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
29．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次
【解析】
【分析】
（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．
解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
一、单选题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（ ）
A． B．2πcm C．4cm D．
【答案】B
【解析】
【分析】
扇形的弧长=圆形周长×，根据公式列出算式计算即可．
解：扇形的弧长：，
故选：B ．
【点睛】
本题考查扇形的弧长，掌握扇形的弧长公式是解决本题的关键．
2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（ ）
A．30 B．60 C．105 D．210
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧长，再根据弧长公式求解即可．
解：由题意可求得圆的周长，
其中一个扇形的弧长，则另一个扇形的弧长，
设另一个扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式：，有：
，解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查弧长的计算，解题关键是理解题意，正确应用弧长公式进行计算．
3．如图，圆上有四点，其中，若得长度分别为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的长度分别为，得到圆的周长为，由，得到∠BAD=80°，即可求解．
∵得长度分别为，
圆的周长为，
∵，
∴∠BAD=80°，
故的长==20π．
故选:C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，关键是利用圆的内接四边形对角互补和圆周角与弧的关系求解．
4．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则．
解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
5．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．
过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
解：连接CD，如图所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
7．如图，是圆O的直径，是弦，，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据公式计算弧的长．
解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵直径AB=6，
∴OB=3，
∴弧的长为，
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，弧长的计算公式，正确掌握圆周角定理求出∠BOD=60°是解题的关键．
8．如图，点A，B，C是上的点，连接，且，过点O作交于点D．连接，已知半径为2，则图中阴影面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解．
解：∵，
∴∠AOB=30°，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积等于扇形AOB的面积，
∴阴影面积等于．
故选：B
【点睛】
本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
9．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，
∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，
∴∠B′OB=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC′=cm，
∴B′C′=cm，
∴S扇形B′OB= cm2，
S扇形C′OC= cm2，
∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2；
故选：B．
【点睛】
此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．
10．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝.
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
二、填空题
11．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．
解：根据图象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
12．如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
连接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
直接五边形的内角和定理及扇形的面积即可得出结论．
解：∵五边形的内角和等于（5-2）×180°=540°，
∴S阴影==π(cm2)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14．如图，已知矩形中，，．分别以，为圆心，为半径画弧，两弧分别交对角线于点，，则图中阴影部分的面积为________（用含的式子表示）
【答案】4π
【解析】
【分析】
根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解．
∵S△ABD=5π×8÷2=20π；设,
S扇形BAE=；S扇形DFM=；
∴阴影面积=20π-=20π-16π=4π．
故答案为：4π．
【点睛】
本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．
15．如图，把边长分别为2，的两个正方形并排放在一起，以C为圆心，CD为半径画弧交正方形ABCD于点B，连接BD、CF、DF、BF，则图中阴影部分面积是______.（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】
先求出扇形BCD的面积，梯形CEFD的面积，三角形BEF的面积，进而即可求解．
解：∵扇形BCD的面积=，
梯形CEFD的面积=，
三角形BEF的面积=，
∴阴影部分面积=扇形BCD的面积+梯形CEFD的面积-三角形BEF的面积=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16．如图，分别以正五边形ABCDE的五个顶点为圆心，以对角线AC的长度为半径画五段圆弧，这五段圆弧围成的图形就是一个“圆弧五边形”．若，该“圆弧五边形”的周长为______．（圆周率用表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由正五边形的性质可得，，，可得五段圆弧相等，根据弧长公式求解即可．
解：在正五边形ABCDE中，可得，，
∴，
同理可得：，
∴，
由题意可得，该“圆弧五边形”的五段圆弧相等，
该“圆弧五边形”的周长为，
故答案为：
【点睛】
此题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，多边形内角和的性质以及弧长公式，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
17．如图1，扇形AOB中，，点C，D分别为OA，OB的中点，连接CD，AD，将绕点O逆时针旋转（如图2），若，则图2中弧AB，线段AD，BD构成的阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得出，代入数值计算可得出答案．
解：依题意得：，
过D作DE⊥AO于E，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查阴影部分面积，正确表达面积是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．
【答案】2022π
【解析】
【分析】
根据题意有后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，又因为的半径为，可知任何一段弧的半径都是的倍数，根据圆心以A、B、C、D四次一个循环，可得弧的半径为：，再根据弧长公式即可作答．
根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
．．．
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式，找到每段弧的半径变化规律是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，A、B、C三点在半径为1的上，四边形是菱形，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，利用弧长公式计算即可．
连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OB=OC=BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴的长=
【点睛】
本题考查弧长公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，是以为斜边的等腰直角三角形，其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍．
解：连接AC的中点F与弧的交点D，BC的中点E与弧的交点D，如图，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB=a，
∴AC=BC=，
∴CE=CF=，
S阴影=2（S半圆-S正方形CEDF）
=
=
=
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算，明确阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍是解题的关键．
21．如图，已知点A（0，0），B（4，0），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'．
(1)画出△AB'C'；
(2)求的长度．
【答案】(1)图形见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的C' (-2，5)和B' (0，4)，再将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'；
(2) 点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，由弧长公式即可求解．
(1)
解：由已知：C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的坐标为：C' (-2，5)和B' (0，4)，将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'，如下图所示：
(2)
解：点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，
由弧长公式可知：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及弧长公式，属于基础题，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）10cm；（2）cm；（3）cm²
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB即可；
（2）连接OD，求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（3）分别求出扇形DOB的面积和△BOD的面积，再求出阴影部分的面积即可．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm）
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝5（cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5cm，S△DOB＝，
∴，
解得：OE＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△ODB＝﹣×＝cm2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若OE＝3，∠CBG＝30°，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【解析】
【分析】
（1）由AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，根据垂径定理可得，BE=CE，根据等弧所对圆周角性质可得∠BAD=∠CAD；
（2）连接OC，由含30度角的直角三角形的性质和圆周角定理可得∠COG=60°，OB=2OE=6，然后根据弧长公式求解即可．
解：（1）∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，
∴，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如图所示，连接OC，
∵∠CBG=30°，∠BEO=90°，
∴∠COG=60°，OB=2OE=6，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．如图，四边形内接于，且为直径，，过A点的的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)如果，求图中阴影的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理的推论确定∠BAD=90°，根据角的和差关系确定∠EAB=∠CAD，根据圆周角定理的推论求得∠ADB，根据三角形内角和定理和等角对等边确定AB=AD，根据圆内接四边形的性质确定∠ABE=∠ADC，最后根据全等三角形的判定定理和性质即可证明．
（2）根据等腰三角形的性质确定AO⊥BD，根据勾股定理求得BD的长度，进而求得OA和OD的长度，根据三角形面积公式和扇形面积公式分别求出扇形OAD的面积和△OAD的面积，最后用扇形OAD的面积减去△OAD的面积即可求出阴影部分的面积．
(1)
证明：∵BD是直径，
∴∠BAD=90°．
∵过A点的的垂线交的延长线于点E，
∴∠EAC=90°．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠BAC=∠BAD-∠BAC，即∠EAB=∠CAD．
∵∠ADB和∠ACB都是所对的圆周角，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°．
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=45°．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∵四边形ABCD内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠ADC．
∴．
∴BE=CD．
(2)
解：如下图所示，连接OA．
∵AB=AD，O为BD中点，
∴AO⊥BD．
∴∠AOD=90°．
∵，
∴．
∴．
∴OA=OD=1．
∴，S扇形OAD．
∴S阴=S扇形OAD-=．
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论，角的和差关系，三角形内角和定理，等角对等边，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
25．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据即可证明；
（2）从图中可以得就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．
（1）同圆中的半径相等，
，，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定以及扇形的面积，掌握全等三角形的判定方法以及扇形的面积公式是解题的关键．
26．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．
(1)
∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
(2)
连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的长．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
27．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD＝∠ECB；
(2)若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC．如图2，当AB＝2时，求AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接，由AD为直径，可知，，则，，由，可得，由，可得，进而结论得证；
（2）如图2，连接，由切线的性质可知，则，由，可得，，证明是等边三角形，则，求出，，的值，然后根据，计算求解即可．
(1)
证明：如图1，连接
∵AD为直径
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
(2)
解：如图2，连接
∵CE是⊙O的切线
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，，
∴
∴AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角为90°，圆内接四边形，同弧所对的圆周角相等，切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，正弦，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【答案】（1）①60°；②；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；
（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．
解：（1）①如图1，为圆的切线．
由题意可得，，．
，
②如图1，连结，交BP于点Q．则有．
在中，．
在中，，
．
（2）如图2．连结OD．设．
∵点D为的中点．
．
由题意可得，．
又
，，解得．
．
【点睛】
本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
29．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次
【解析】
【分析】
（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．
解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
第25讲 弧长及扇形面积
一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
一、单选题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（ ）
A． B．2πcm C．4cm D．
【答案】B
【解析】
【分析】
扇形的弧长=圆形周长×，根据公式列出算式计算即可．
解：扇形的弧长：，
故选：B ．
【点睛】
本题考查扇形的弧长，掌握扇形的弧长公式是解决本题的关键．
2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（ ）
A．30 B．60 C．105 D．210
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧长，再根据弧长公式求解即可．
解：由题意可求得圆的周长，
其中一个扇形的弧长，则另一个扇形的弧长，
设另一个扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式：，有：
，解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查弧长的计算，解题关键是理解题意，正确应用弧长公式进行计算．
3．如图，圆上有四点，其中，若得长度分别为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的长度分别为，得到圆的周长为，由，得到∠BAD=80°，即可求解．
∵得长度分别为，
圆的周长为，
∵，
∴∠BAD=80°，
故的长==20π．
故选:C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，关键是利用圆的内接四边形对角互补和圆周角与弧的关系求解．
4．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则．
解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
5．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．
过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
解：连接CD，如图所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
7．如图，是圆O的直径，是弦，，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据公式计算弧的长．
解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵直径AB=6，
∴OB=3，
∴弧的长为，
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，弧长的计算公式，正确掌握圆周角定理求出∠BOD=60°是解题的关键．
8．如图，点A，B，C是上的点，连接，且，过点O作交于点D．连接，已知半径为2，则图中阴影面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解．
解：∵，
∴∠AOB=30°，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积等于扇形AOB的面积，
∴阴影面积等于．
故选：B
【点睛】
本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
9．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，
∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，
∴∠B′OB=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC′=cm，
∴B′C′=cm，
∴S扇形B′OB= cm2，
S扇形C′OC= cm2，
∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2；
故选：B．
【点睛】
此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．
10．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝.
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
二、填空题
11．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．
解：根据图象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
12．如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
连接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
直接五边形的内角和定理及扇形的面积即可得出结论．
解：∵五边形的内角和等于（5-2）×180°=540°，
∴S阴影==π(cm2)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14．如图，已知矩形中，，．分别以，为圆心，为半径画弧，两弧分别交对角线于点，，则图中阴影部分的面积为________（用含的式子表示）
【答案】4π
【解析】
【分析】
根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解．
∵S△ABD=5π×8÷2=20π；设,
S扇形BAE=；S扇形DFM=；
∴阴影面积=20π-=20π-16π=4π．
故答案为：4π．
【点睛】
本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．
15．如图，把边长分别为2，的两个正方形并排放在一起，以C为圆心，CD为半径画弧交正方形ABCD于点B，连接BD、CF、DF、BF，则图中阴影部分面积是______.（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】
先求出扇形BCD的面积，梯形CEFD的面积，三角形BEF的面积，进而即可求解．
解：∵扇形BCD的面积=，
梯形CEFD的面积=，
三角形BEF的面积=，
∴阴影部分面积=扇形BCD的面积+梯形CEFD的面积-三角形BEF的面积=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16．如图，分别以正五边形ABCDE的五个顶点为圆心，以对角线AC的长度为半径画五段圆弧，这五段圆弧围成的图形就是一个“圆弧五边形”．若，该“圆弧五边形”的周长为______．（圆周率用表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由正五边形的性质可得，，，可得五段圆弧相等，根据弧长公式求解即可．
解：在正五边形ABCDE中，可得，，
∴，
同理可得：，
∴，
由题意可得，该“圆弧五边形”的五段圆弧相等，
该“圆弧五边形”的周长为，
故答案为：
【点睛】
此题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，多边形内角和的性质以及弧长公式，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
17．如图1，扇形AOB中，，点C，D分别为OA，OB的中点，连接CD，AD，将绕点O逆时针旋转（如图2），若，则图2中弧AB，线段AD，BD构成的阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得出，代入数值计算可得出答案．
解：依题意得：，
过D作DE⊥AO于E，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查阴影部分面积，正确表达面积是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．
【答案】2022π
【解析】
【分析】
根据题意有后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，又因为的半径为，可知任何一段弧的半径都是的倍数，根据圆心以A、B、C、D四次一个循环，可得弧的半径为：，再根据弧长公式即可作答．
根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
．．．
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式，找到每段弧的半径变化规律是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，A、B、C三点在半径为1的上，四边形是菱形，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，利用弧长公式计算即可．
连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OB=OC=BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴的长=
【点睛】
本题考查弧长公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，是以为斜边的等腰直角三角形，其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍．
解：连接AC的中点F与弧的交点D，BC的中点E与弧的交点D，如图，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB=a，
∴AC=BC=，
∴CE=CF=，
S阴影=2（S半圆-S正方形CEDF）
=
=
=
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算，明确阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍是解题的关键．
21．如图，已知点A（0，0），B（4，0），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'．
(1)画出△AB'C'；
(2)求的长度．
【答案】(1)图形见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的C' (-2，5)和B' (0，4)，再将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'；
(2) 点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，由弧长公式即可求解．
(1)
解：由已知：C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的坐标为：C' (-2，5)和B' (0，4)，将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'，如下图所示：
(2)
解：点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，
由弧长公式可知：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及弧长公式，属于基础题，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）10cm；（2）cm；（3）cm²
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB即可；
（2）连接OD，求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（3）分别求出扇形DOB的面积和△BOD的面积，再求出阴影部分的面积即可．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm）
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝5（cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5cm，S△DOB＝，
∴，
解得：OE＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△ODB＝﹣×＝cm2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若OE＝3，∠CBG＝30°，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【解析】
【分析】
（1）由AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，根据垂径定理可得，BE=CE，根据等弧所对圆周角性质可得∠BAD=∠CAD；
（2）连接OC，由含30度角的直角三角形的性质和圆周角定理可得∠COG=60°，OB=2OE=6，然后根据弧长公式求解即可．
解：（1）∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，
∴，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如图所示，连接OC，
∵∠CBG=30°，∠BEO=90°，
∴∠COG=60°，OB=2OE=6，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．如图，四边形内接于，且为直径，，过A点的的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)如果，求图中阴影的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理的推论确定∠BAD=90°，根据角的和差关系确定∠EAB=∠CAD，根据圆周角定理的推论求得∠ADB，根据三角形内角和定理和等角对等边确定AB=AD，根据圆内接四边形的性质确定∠ABE=∠ADC，最后根据全等三角形的判定定理和性质即可证明．
（2）根据等腰三角形的性质确定AO⊥BD，根据勾股定理求得BD的长度，进而求得OA和OD的长度，根据三角形面积公式和扇形面积公式分别求出扇形OAD的面积和△OAD的面积，最后用扇形OAD的面积减去△OAD的面积即可求出阴影部分的面积．
(1)
证明：∵BD是直径，
∴∠BAD=90°．
∵过A点的的垂线交的延长线于点E，
∴∠EAC=90°．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠BAC=∠BAD-∠BAC，即∠EAB=∠CAD．
∵∠ADB和∠ACB都是所对的圆周角，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°．
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=45°．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∵四边形ABCD内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠ADC．
∴．
∴BE=CD．
(2)
解：如下图所示，连接OA．
∵AB=AD，O为BD中点，
∴AO⊥BD．
∴∠AOD=90°．
∵，
∴．
∴．
∴OA=OD=1．
∴，S扇形OAD．
∴S阴=S扇形OAD-=．
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论，角的和差关系，三角形内角和定理，等角对等边，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
25．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据即可证明；
（2）从图中可以得就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．
（1）同圆中的半径相等，
，，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定以及扇形的面积，掌握全等三角形的判定方法以及扇形的面积公式是解题的关键．
26．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．
(1)
∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
(2)
连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的长．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
27．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD＝∠ECB；
(2)若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC．如图2，当AB＝2时，求AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接，由AD为直径，可知，，则，，由，可得，由，可得，进而结论得证；
（2）如图2，连接，由切线的性质可知，则，由，可得，，证明是等边三角形，则，求出，，的值，然后根据，计算求解即可．
(1)
证明：如图1，连接
∵AD为直径
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
(2)
解：如图2，连接
∵CE是⊙O的切线
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，，
∴
∴AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角为90°，圆内接四边形，同弧所对的圆周角相等，切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，正弦，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【答案】（1）①60°；②；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；
（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．
解：（1）①如图1，为圆的切线．
由题意可得，，．
，
②如图1，连结，交BP于点Q．则有．
在中，．
在中，，
．
（2）如图2．连结OD．设．
∵点D为的中点．
．
由题意可得，．
又
，，解得．
．
【点睛】
本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
29．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次
【解析】
【分析】
（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．
解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
一、单选题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（ ）
A． B．2πcm C．4cm D．
【答案】B
【解析】
【分析】
扇形的弧长=圆形周长×，根据公式列出算式计算即可．
解：扇形的弧长：，
故选：B ．
【点睛】
本题考查扇形的弧长，掌握扇形的弧长公式是解决本题的关键．
2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（ ）
A．30 B．60 C．105 D．210
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧长，再根据弧长公式求解即可．
解：由题意可求得圆的周长，
其中一个扇形的弧长，则另一个扇形的弧长，
设另一个扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式：，有：
，解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查弧长的计算，解题关键是理解题意，正确应用弧长公式进行计算．
3．如图，圆上有四点，其中，若得长度分别为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的长度分别为，得到圆的周长为，由，得到∠BAD=80°，即可求解．
∵得长度分别为，
圆的周长为，
∵，
∴∠BAD=80°，
故的长==20π．
故选:C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，关键是利用圆的内接四边形对角互补和圆周角与弧的关系求解．
4．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则．
解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
5．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．
过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
解：连接CD，如图所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
7．如图，是圆O的直径，是弦，，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据公式计算弧的长．
解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵直径AB=6，
∴OB=3，
∴弧的长为，
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，弧长的计算公式，正确掌握圆周角定理求出∠BOD=60°是解题的关键．
8．如图，点A，B，C是上的点，连接，且，过点O作交于点D．连接，已知半径为2，则图中阴影面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解．
解：∵，
∴∠AOB=30°，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积等于扇形AOB的面积，
∴阴影面积等于．
故选：B
【点睛】
本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
9．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，
∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，
∴∠B′OB=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC′=cm，
∴B′C′=cm，
∴S扇形B′OB= cm2，
S扇形C′OC= cm2，
∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2；
故选：B．
【点睛】
此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．
10．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝.
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
二、填空题
11．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．
解：根据图象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
12．如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
连接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
直接五边形的内角和定理及扇形的面积即可得出结论．
解：∵五边形的内角和等于（5-2）×180°=540°，
∴S阴影==π(cm2)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14．如图，已知矩形中，，．分别以，为圆心，为半径画弧，两弧分别交对角线于点，，则图中阴影部分的面积为________（用含的式子表示）
【答案】4π
【解析】
【分析】
根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解．
∵S△ABD=5π×8÷2=20π；设,
S扇形BAE=；S扇形DFM=；
∴阴影面积=20π-=20π-16π=4π．
故答案为：4π．
【点睛】
本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．
15．如图，把边长分别为2，的两个正方形并排放在一起，以C为圆心，CD为半径画弧交正方形ABCD于点B，连接BD、CF、DF、BF，则图中阴影部分面积是______.（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】
先求出扇形BCD的面积，梯形CEFD的面积，三角形BEF的面积，进而即可求解．
解：∵扇形BCD的面积=，
梯形CEFD的面积=，
三角形BEF的面积=，
∴阴影部分面积=扇形BCD的面积+梯形CEFD的面积-三角形BEF的面积=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16．如图，分别以正五边形ABCDE的五个顶点为圆心，以对角线AC的长度为半径画五段圆弧，这五段圆弧围成的图形就是一个“圆弧五边形”．若，该“圆弧五边形”的周长为______．（圆周率用表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由正五边形的性质可得，，，可得五段圆弧相等，根据弧长公式求解即可．
解：在正五边形ABCDE中，可得，，
∴，
同理可得：，
∴，
由题意可得，该“圆弧五边形”的五段圆弧相等，
该“圆弧五边形”的周长为，
故答案为：
【点睛】
此题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，多边形内角和的性质以及弧长公式，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
17．如图1，扇形AOB中，，点C，D分别为OA，OB的中点，连接CD，AD，将绕点O逆时针旋转（如图2），若，则图2中弧AB，线段AD，BD构成的阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得出，代入数值计算可得出答案．
解：依题意得：，
过D作DE⊥AO于E，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查阴影部分面积，正确表达面积是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．
【答案】2022π
【解析】
【分析】
根据题意有后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，又因为的半径为，可知任何一段弧的半径都是的倍数，根据圆心以A、B、C、D四次一个循环，可得弧的半径为：，再根据弧长公式即可作答．
根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
．．．
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式，找到每段弧的半径变化规律是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，A、B、C三点在半径为1的上，四边形是菱形，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，利用弧长公式计算即可．
连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OB=OC=BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴的长=
【点睛】
本题考查弧长公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，是以为斜边的等腰直角三角形，其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍．
解：连接AC的中点F与弧的交点D，BC的中点E与弧的交点D，如图，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB=a，
∴AC=BC=，
∴CE=CF=，
S阴影=2（S半圆-S正方形CEDF）
=
=
=
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算，明确阴影部分的面积等于半圆的面积-正方形CEDF的面积的2倍是解题的关键．
21．如图，已知点A（0，0），B（4，0），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'．
(1)画出△AB'C'；
(2)求的长度．
【答案】(1)图形见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的C' (-2，5)和B' (0，4)，再将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'；
(2) 点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，由弧长公式即可求解．
(1)
解：由已知：C(5，2)、B(4，0)，其绕原点按逆时针方向旋转90°后对应的坐标为：C' (-2，5)和B' (0，4)，将C'、B'、A连接起来就得到△AB'C'，如下图所示：
(2)
解：点B旋转到B'时，相当于以A点为圆心，OB=4为半径的四分之一个圆弧的长度，
由弧长公式可知：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及弧长公式，属于基础题，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）10cm；（2）cm；（3）cm²
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB即可；
（2）连接OD，求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（3）分别求出扇形DOB的面积和△BOD的面积，再求出阴影部分的面积即可．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm）
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝5（cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5cm，S△DOB＝，
∴，
解得：OE＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△ODB＝﹣×＝cm2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若OE＝3，∠CBG＝30°，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【解析】
【分析】
（1）由AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，根据垂径定理可得，BE=CE，根据等弧所对圆周角性质可得∠BAD=∠CAD；
（2）连接OC，由含30度角的直角三角形的性质和圆周角定理可得∠COG=60°，OB=2OE=6，然后根据弧长公式求解即可．
解：（1）∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，
∴，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如图所示，连接OC，
∵∠CBG=30°，∠BEO=90°，
∴∠COG=60°，OB=2OE=6，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．如图，四边形内接于，且为直径，，过A点的的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)如果，求图中阴影的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理的推论确定∠BAD=90°，根据角的和差关系确定∠EAB=∠CAD，根据圆周角定理的推论求得∠ADB，根据三角形内角和定理和等角对等边确定AB=AD，根据圆内接四边形的性质确定∠ABE=∠ADC，最后根据全等三角形的判定定理和性质即可证明．
（2）根据等腰三角形的性质确定AO⊥BD，根据勾股定理求得BD的长度，进而求得OA和OD的长度，根据三角形面积公式和扇形面积公式分别求出扇形OAD的面积和△OAD的面积，最后用扇形OAD的面积减去△OAD的面积即可求出阴影部分的面积．
(1)
证明：∵BD是直径，
∴∠BAD=90°．
∵过A点的的垂线交的延长线于点E，
∴∠EAC=90°．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠BAC=∠BAD-∠BAC，即∠EAB=∠CAD．
∵∠ADB和∠ACB都是所对的圆周角，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°．
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=45°．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∵四边形ABCD内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠ADC．
∴．
∴BE=CD．
(2)
解：如下图所示，连接OA．
∵AB=AD，O为BD中点，
∴AO⊥BD．
∴∠AOD=90°．
∵，
∴．
∴．
∴OA=OD=1．
∴，S扇形OAD．
∴S阴=S扇形OAD-=．
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论，角的和差关系，三角形内角和定理，等角对等边，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
25．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据即可证明；
（2）从图中可以得就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．
（1）同圆中的半径相等，
，，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定以及扇形的面积，掌握全等三角形的判定方法以及扇形的面积公式是解题的关键．
26．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．
(1)
∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
(2)
连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的长．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
27．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD＝∠ECB；
(2)若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC．如图2，当AB＝2时，求AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接，由AD为直径，可知，，则，，由，可得，由，可得，进而结论得证；
（2）如图2，连接，由切线的性质可知，则，由，可得，，证明是等边三角形，则，求出，，的值，然后根据，计算求解即可．
(1)
证明：如图1，连接
∵AD为直径
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
(2)
解：如图2，连接
∵CE是⊙O的切线
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，，
∴
∴AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角为90°，圆内接四边形，同弧所对的圆周角相等，切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，正弦，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【答案】（1）①60°；②；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；
（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．
解：（1）①如图1，为圆的切线．
由题意可得，，．
，
②如图1，连结，交BP于点Q．则有．
在中，．
在中，，
．
（2）如图2．连结OD．设．
∵点D为的中点．
．
由题意可得，．
又
，，解得．
．
【点睛】
本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
29．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次
【解析】
【分析】
（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．
解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
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