【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第30讲《成比例线段》预习讲学案

第30讲 成比例线段

一、比例线段

1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。

2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。

3．比例的性质：

（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）

（2）合比性质：如果

               如果

要点：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

二、黄金分割

1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

要点：

≈0.618AB(叫做黄金分割值).

2.作一条线段的黄金分割点：

图4－7

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

要点：

一条线段的黄金分割点有两个. 

例1．下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）

A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2

C．5，6，15，18                         D．1.5，4，1.2，5

例2．若，则下列等式成立的是（       ）

A． B． C． D．

例3．已知2a＝5b，则（a-b）：b的值为（       ）

A．2：5 B．3：5 C．7：5 D．3：2

例4．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）

A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米

例5．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（　　）

A．1cm B．10cm C．cm D．cm

例6．如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（       ）

A．2＋2 B．2﹣2 C．＋1 D．﹣3

例7．已知四条线段2，3，4，x成比例，则x的值不可能是（       ）

A．6 B． C．8 D．

例8．如图，点C是线段AB的黄金分割点，（），下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．

例9．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（       ）

A．3.71cm B．4.14cm C．4.32cm D．4.86cm

例10．已知，则＝_____________

例11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．

例12．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．

（2）已知x：y＝4：3，求的值．

例13．如果，且，求的值．

例14．已知＝＝＝x，求x的值．

例15．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形．

（1）若这个矩形的面积等于，求的长度；

（2）这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由；

（3）若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）

一、单选题

1．下列各组线段的长度成比例的是（     ）

A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm

C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm

2．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（     ）

A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5

3．如果，那么下列等式中不成立的是（　　）

A． B． C． D．

4．已知线段是线段、的比例中项，且，，则等于（       ）．

A． B． C． D．无法确定

5．下列说法正确的是（　　）

A．每一条线段有且只有一个黄金分割点

B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍

C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项

D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618

6．如果a=2，b=4，c=8，那么（       ）

A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18

C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项

7．下列结论不一定成立的是（       ）

A．如果，那么

B．如果，那么

C．如果，（），那么

D．如果，那么

8．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　）

①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）

A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm

C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm

10．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如果，那么________．

12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．

13．若a:b:c=1:3:2，且a+b+c=24，则a+b-c=____．

14．已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．

15．已知，则_________．

16．已知点，在线段上，，是线段中点，是线段中点，线段，则线段__________．

17．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．

18．，，，，，满足关系：，则代数式的值是______．

19．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是__________．

20．若，则的值为_____________．

三、解答题

21．已知x：y＝2：3，求：

（1）的值；

（2）若x+y＝15，求x，y的值．

22．已知，求的值．

23．已知线段，，满足，且．   

求，，的值；

若线段是线段，的比例中项，求．

24．（1）已知，求的值；

（2）已知点是线段的黄金分割点，且，，求的长度

25．如果，试求k的值.

26．（1）已知，求的值．                    

（2）已知，求的值．

27．如图，设线段AC＝1.

（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．

（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？

28．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．

（1）请你证明这个结论；

（2）延长交于点I，则正方形与矩形的面积有怎样的关系，说出你的理由．

29．阅读与思考

（图①）

黄金分割是指把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．它们的比值为．

我们可以通过下面的方法得到线段的黄金分割点：

①过点B作，使；②连接，在上截取；③在上截取．则点C为线段的黄金分割点．

如下是证明点C是线段的黄金分割点的部分证明过程：

证明：设，则，

…

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）应用：如图②是一个包装盒的封口面，线段是这个包装盒的造型线．为了视觉美观，现要在造型线上找一点作为丝带打结点．请你用尺规作图的方式找出这个点（保留作图痕迹，不写作法）．

          （图②）

30．如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．

（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是　   　；四边形CEAF面积＝　   　．

（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．

（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝　   　时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．