【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第36讲《相似三角形 单元综合检测》预习讲学案

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第36讲 相似三角形 单元综合检测
一、单选题
1．已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件得出b=a，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
解：∵，
∴b=a，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题考查了比例的性质，根据已知条件得出b与a的关系解题的关键．
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，若AB＝2，则BC＝（       ）
A． B． C．－1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由黄金分割的定义求出AC的长，即可求解．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=2，
∴，
∴BC=AB-AC=3-，
故选：A．
【点睛】
此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝3.6，则EF的值为（　　）

A．1.8 B．2.4 C．4.8 D．5.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
故选：
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
4．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）


A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米
【答案】B
【解析】
如图：

∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴1：4=1.5：BE，
∴BE=6m．
∴树的高度为6m．
故选B.
5．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（       ）

A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【解析】
【分析】
甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．
解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，和是位似图形，点是位似中心，点，，分别是，，的中点．若的面积为，周长为，则下列说法正确的是（       ）


A．的面积为 B．的面积为
C．的周长为 D．的周长为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据位似图形的性质，线段中点的意义求解即可.
∵和是位似图形，点是位似中心，点，，分别是，，的中点，
∴和是位似比为1:2，
∵位似图形的周长之比等于位似比，
∴的周长为，
∵位似图形的面积之比等于位似比的平方，
∴的周长为，
故选C.
【点睛】
本题考查了位似图形的性质，熟记位似图形的基本性质是解题的关键.
7．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
解：：①∵，∠A为公共角，∴；
②∵，∠A为公共角，∴；
③虽然，但∠A不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似；
④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．
综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
8．如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为（       ）

A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果．
解：∵GE∥CD，
∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，
∴ ，
∴,
又∵BD=CD，
∴，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2AD=12，
故选D．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题的关键．
9．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两直线平行得内错角相等，由相似三角形判定可得，再由相似三角形的的性质得，再根据全等三角形的判定得，即，设，即，可得，根据线段边的关系得，，，即可得出最后的结果．
如图：

∵，为边上的高线，
∴且，，，
在和中，
，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：①∽；②；③平分；④，其中正确的结论是（       ）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，所以∠HMC=∠HEC=45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH=∠CMH=45°，这样，∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ•GD，从而说明④成立．
四边形是正方形，
．
由折叠可知：，．
，
，
，
．
，
．
，
∽．
故正确；
过点作于，
由折叠可得：，
，
，
，
在和中，
，
≌．
，．
，
≌，
，
，
不正确；
由折叠可得：，
，
，
，
即平分．
正确；
连接，，，如图，

≌，≌，
，，
，
，
．
．
由折叠可得：，
．
．
由折叠可知：．
．
，，
，
，，，四点共圆，
．
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
正确；
综上可得，正确的结论有：．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．
二、填空题
11．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___．
【答案】60000000
【解析】
【分析】
根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．
解：1200千米＝120000000厘米，
2：120000000＝1：60000000．
故答案为：60000000．
【点睛】
本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题．
12．如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是_____（只需写出一个）．

【答案】∠ABD＝∠C
【解析】
【分析】
两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可．
要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等．
故答案为∠ABD=∠C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
13．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据相似多边形的性质，对应边成比例，列出比例式求出AD．
解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∵矩形ABCD∽矩形EABF，
∴，
∴AE•AD＝AB2=1，即AD2＝1，
解得，AD＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键．
14．如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是______．

【答案】16
【解析】
【分析】
根据位似图形的判定可得四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形，然后根据位似图形的性质可得，然后根据三角形中位线的性质即可得出结论．
解：∵四边形与四边形的对应边平行，
∴四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形
∴
∵是的中位线，若四边形的面积4，
∴EH=2AD
∴
解得：
故答案为：16．
【点睛】
此题考查的是位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质，掌握位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质是解决此题的关键．
15．如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．

【答案】3
【解析】
【分析】
过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．
解：过E作EG∥BC，交AC于G，

∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，
∴DG=CG，，
∴EG=6，
又∵AD：DC=1：2，
∴AG：AC=2：3，
∵EG∥BC，
∴，
∴FC=9，
∵BC=12，
∴BF=BC-FC=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
16．如图，点G是的重心，，交于点F，则______，等于______．

【答案】     2：1     3：1：2
【解析】
【分析】
根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论．
解：∵点G为△ABC的重心，
∴E是AC的中点，D是BC的中点，
又∵EF∥BC，
∴，
∴，
∴DG=2FG，
∵G为重心，
∴AG=2DG=4FG，
∴AF=3FG，
∴AF：FG：GD=3：1：2，
故答案为：2：1，3：1：2．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键．
17．如图，是的角平分线，于， 的面积是，则__________．

【答案】2cm
【解析】
【分析】
过点D作，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE．
解：如图，过点D作，垂足为点F，
∵BD是∠ABC的角平分线，，
∴DE=DF，
∵的面积是，
∴，
即，
∴DE=2cm．
故答案为：2cm．

【点睛】
本题考查了三角形的问题，掌握角平分线的性质、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比是解题的关键．
18．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为 __________．

【答案】0.5或1.25
【解析】
【分析】
分两种情况：①∠BMG是直角，②∠BGM是直角，进行讨论即可求解．
解：①∠BMG是直角，如图，

过O点作OH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∴BH＝CH＝2，
∴CO＝2.5，
∴OH＝1.5，
由折叠的性质可得∠OMH＝45°，
∴MH＝OH＝1.5，
∴BM＝BH﹣MH＝4﹣2﹣1.5＝0.5；
②∠BGM是直角，如图，

由折叠的性质可得OE＝OC＝2.5，∠ACB＝∠E，
∵∠ABC＝∠EGO＝90°，
∴△OEG∽△ACB，
∴OG：OE＝AB：AC，即OG：2.5＝3：5，
解得OG＝1.5，
∴BG＝2.5﹣1.5＝1，
∵∠ACB＝∠MBG，
∠ABC＝∠MGB＝90°，
∴△ABC∽△MGB，
∴BM：BG＝CA：CB，即BM：1＝5：4，
解得BM＝1.25．
综上所述，线段BM的长为0.5或1.25．
故答案为：0.5或1.25．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
三、解答题
19．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28
（1）求a、b的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4．
【解析】
【分析】
（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值；
（2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．
解：（1）
设，，
，
，
，
，；
（2）是的比例中项，
，
是线段，，
．
【点睛】
本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
20．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F，若，EF=6，求DE的长.

【答案】DE=3.
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理，可证得  ，再根据AB与AC的比值及EF的长，就可求出DE的长.
解:∵l1∥l2∥l3，
∴
设DE=k，则DF=3k，EF=DF-DE=2k,
∵EF=6,
∴2k=6，解得k=3,
∴DE=3
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，根据定理得到比例式是解题的关键.
21．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？

【答案】这棵树高．
【解析】
【分析】
因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高．
过点作交于点
则，
，即


答：这棵树高．

【点睛】
解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解．
22．如图，△ABC中，A（-4，4），B（-4，-2），C（-2，2）．
（1）请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；
（2）以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2．
（3）画出一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比是无理数，并写出所画三角形与△ABC的相似比.

【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
(1) 首先将A、B、C分别向右平移8个单位，得到点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、A1C1、B1C1即可得所求作的三角形；
(2)利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用三角形相似的判定与性质得出对应点位置画出图形.
解：作图如下：

(1) △A1BlC1是将△ABC向右平移8个单位长度后的三角形；
(2) △A2B2C2是将△A1BlC1缩小得到的三角形；
(3) △A3B3C3是要求作的三角形，与△ABC的相似比是.
【点睛】
本题考查了图形的平移和位似变换，三角形相似的判定与性质.
23．如图，在△ABC中， 点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．

(1)求证：；
(2)若，△EFC的面积为20， 求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)由平行线的性质得出，，即可证得结论；
(2)由平行线的性质得出，易证△EFC∽△BAC，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
(1)
证明：，
，

(2)
解：





【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．

(1)求证：△AMD∽△CND；
(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由直角三角形的性质证出∠CDN=∠ADM，∠MAD=∠ACD，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）证明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性质可得出结论．
(1)
解：证明：∵AD为Rt△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠CDN=90°，
∵∠ADN+∠ADM=90°，
∴∠CDN=∠ADM，
又∵∠BAC=90°，
∴∠MAD+∠DAC=90°，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠MAD=∠ACD，
∴△AMD∽△CND；
(2)
解：成立．
证明：∵EF∥BC，
∴∠EAD=∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAM=∠DAN，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
∴△AEM∽△ADN，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，证明△AEM∽△ADN是解题的关键．
25．如图1．在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知．

(1)线段与垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K．求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）证明（），得到，进一步得到，由△CFH是等腰三角形，结论得证；
（2）过点K作于点G．先证△AKG∽△ACB，得，证△KHG∽CHB可得，结论得证；
（3）过点K作点G．求得，设，，则KG＝AG＝GB＝3a，则，勾股定理得，，由得，得，，即可得到答案．
(1)
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴（），
∴．
又∵，
∴．
∵
∴△CFH是等腰三角形，
∴．
(2)
证明：如图1，过点K作于点G．

∵，
∴．
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
∴．
(3)
解：如图2，过点K作点G．

∵点K为中点：
由（2）得，
∴，
设，，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．