【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第05讲《等腰三角形的性质与判定》预习讲学案

第05讲 等腰三角形的性质与判定

【学习目标】

1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】

一．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

二．等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用．

三．等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．

【考点剖析】

一．等腰三角形的性质（共7小题）

1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（　　）

A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm

2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（　　）

A．15 B．12 C．12或15 D．9

3．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（　　）

A．180°﹣2α B．60°α C．90°α D．30°α

4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 　   　．

5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．

6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？

7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．

（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；

（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．

二．等腰三角形的判定（共7小题）

8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝　   　°时，△ABC是等腰三角形．

9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定

10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为 　   　cm．

11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．

12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（　　）

A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，4

13．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？

（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？

三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）

15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（　　）

A．4 B．3 C．5 D．1.5

16．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为 　   　cm．

17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE，则EB＝　   　．

18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．

求证：MN＝BM+CN．

19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BDE的度数．

20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（　　）

A．87° B．88° C．89° D．90°

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm

2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）

A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm

3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　）

A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm

4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（　　）

A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，4

6．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定

二．填空题（共3小题）

7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝　   　cm．

8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 　   　（直接填写序号）．

9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 　   　．

三．解答题（共3小题）

10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；

（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．

11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．

12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．