【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第09讲《勾股定理逆定理及简单应用》预习讲学案

第09讲勾股定理逆定理及简单应用

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

【基础知识】

一．勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

二．勾股数

勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

三．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

【考点剖析】

一．勾股定理的逆定理（共7小题）

1．（2021秋•邗江区期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（　　）

A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定

2．（2021秋•镇江期末）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（　　）

A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm 

C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm

3．（2021秋•沛县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．

4．（2021秋•惠山区校级期末）以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是（　　）

A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、6

5．（2022春•姜堰区期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　   　个直角三角形．

6．（2022春•泗阳县期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△ACD的周长大 　   　cm．

7．（2022春•高港区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．

（1）求证：∠ADC＝90°；

（2）求△ABD的面积．

二．勾股数（共3小题）

8．（2021秋•溧阳市期末）在下列各数中，不是勾股数的是（　　）

A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，41

9．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　   　；

10．（2022春•清江浦区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

其中m、n为正整数，且m＞n．

（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．

（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝　   　，b＝　   　，c＝　   　．

（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．

三．勾股定理的应用（共6小题）

11．（2021秋•沛县期末）如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 　   　m．

12．（2021秋•句容市期末）有5cm，13cm两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（　　）

A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm

13．（2022春•启东市期中）如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此绿地ABCD的面积．

14．（2021秋•苏州期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．

15．（2022春•东湖区期中）如图，货船和快艇分别从码头A同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以15海里/小时的速度匀速航行，快艇沿着北偏东36°方向以36海里/小时的速度航行．1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．

16．（2021秋•新吴区期末）如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2021秋•梁溪区校级期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）

A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，13

2．（2022春•启东市校级月考）下列各组数不是勾股数的是（　　）

A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1

3．（2021秋•锡山区期末）如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（　　）

A．1m B．2m C．3m D．4m

4．（2021秋•溧阳市期中）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（　　）

A．16米 B．20米 C．24米 D．25米

5．（2021秋•赣榆区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（　　）尺．

A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55

6．（2021秋•六合区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　）

A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺

二．填空题（共9小题）

7．（2021秋•仪征市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是 　   　．

8．（2021秋•无锡期末）若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为 　   　．

9．（2021秋•惠山区校级期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　   　尺．

10．（2021秋•海门市期末）一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是 　   　尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）

11．（2021秋•泗县期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　   　米．

12．（2021秋•溧阳市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC边上的中线AD＝3，则AC＝　   　．

13．（2021秋•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 　   　时，此三角形为直角三角形．

14．（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　   　°（点A，B，P是网格线交点）．

15．（2021秋•姜堰区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 　   　米．

三．解答题（共9小题）

16．（2021秋•大丰区期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．

17．（2021秋•朝阳区期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．

（1）求A、C两点之间的距离．

（2）求这张纸片的面积．

18．（2021秋•淮安区期末）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．

19．（2021秋•姜堰区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．

（1）判断△BCD的形状，并说明理由；

（2）求△ABC的周长．

20．（2021秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．

（1）求证：∠ADC＝90°；

（2）求DF的长．

21．（2022春•长沙期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．

（1）求AC、CE的长；

（2）求证：∠ACE＝90°．

22．（2021秋•仪征市期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．

小东经测量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形ABCD的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形ABCD的周长；若不同意，请说明理由．

23．（2021秋•阜宁县期末）阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米2．求这块地草坪绿化的价钱．

24．（2021秋•高邮市期末）图1是超市购物车，图2为超市购物车侧面示意图，测得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．

（1）两轮中心AB之间的距离为 　   　dm；

（2）若OF的长度为dm，支点F到底部DO的距离为5dm，试求∠FOD的度数．