【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第11讲《立方根》预习讲学案

第11讲 立方根

【学习目标】

1. 了解立方根的含义；

2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

【基础知识】

一．立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．

注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．

【规律方法】平方根和立方根的性质

1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

二．计算器—数的开方

正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．

【考点剖析】

一．立方根（共8小题）

1．（2022春•海安市校级月考）若，，则下列各式中正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解．

【解答】解：被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，

，

故选：．

【点评】此题考查了开立方运算中规律问题的解决能力，关键是能准确理解运用相关的规律．

2．（2022•碑林区校级二模）的立方根为　　

A． B． C． D．

【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根）解决此题．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．

3．（2022•鄞州区一模）计算：的结果是　　．

【分析】直接利用立方根定义计算即可．

【解答】解：的结果是．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意：负数的立方根还是负数．

4．（2021春•崇川区校级月考）已知的平方根是，的算术平方根是5，则的立方根是 　3　．

【分析】根据平方根和算术平方根的概念列方程求得和的值，然后代入求得其立方根即可．

【解答】解：的平方根是，的算术平方根是5，

，，

解得：，，

，

的立方根是3，

故答案为：3．

【点评】本题考查平方根，算术平方根和立方根，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键．

5．（2021秋•东台市期末）解方程：．

【分析】根据立方根的定义，求出．

【解答】解：，

，

解得．

【点评】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义及性质是解题关键．

6．（2021秋•济宁期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．

【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到、的值，最后代入代数式求解即可．

【解答】解：的平方根是，

，

，

的立方根是2，

，

把的值代入解得：

，

，

的算术平方根为5．

【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

7．（2022春•如皋市校级月考）如果与互为相反数，那么的立方根是 　　．

【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出的值，再利用立方根的定义可得出答案．

【解答】解：与互为相反数，

，

，，

解得：，，

，

的立方根是．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了立方根以及算术平方根和偶次方的性质，正确得出，的值是解题关键．

8．（2022春•开州区期中）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．

【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到、的值，最后代入代数式求解即可．

【解答】解：的平方根是，

，

，

的立方根是3，

，

把的值代入解得：

，

，

的算术平方根为13．

【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

二．计算器—数的开方（共1小题）

9．（2016春•固始县期末）按要求填空：

（1）填表：

（2）根据你发现规律填空：

已知：，则　　，　　；

已知：，，则　　．

【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．

（2）将720化为，将0.00072化为，继而可得出答案；再根据61.64化为可得出第二空的答案．

【解答】解：（1），，，；

填表如下：

（2），

；

，，

．

故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．

【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般．

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2021秋•阜宁县期末）下列说法正确的是　　

A．4的平方根是 B．8的立方根是 

C． D．

【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值，再选出即可．

【解答】解：、4的平方根是，故本选项正确；

、8的立方根是2，故本选项错误；

、，故本选项错误；

、，故本选项错误；

故选：．

【点评】本题考查了对平方根、立方根、算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．

2．（2021秋•双塔区校级期末）下列说法：①都是27的立方根；②的算术平方根是；③；④的平方根是；⑤是81的算术平方根，其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．

【解答】解：①3是27的立方根，原来的说法错误；

②的算术平方根是，原来的说法错误；

③是正确的；

④，4的平方根是，原来的说法错误；

⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．

故其中正确的有1个．

故选：．

【点评】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．

3．（2021秋•东营期末）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据算术平方根、立方根、有理数的乘方的定义解决此题．

【解答】解：．根据算术平方根的定义，，那么错误，故不符合题意．

．根据有理数的乘方，，那么错误，故不符合题意．

．根据立方根的定义，，那么错误，故不符合题意．

．根据算术平方根的定义，，那么正确，故符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查算术平方根、立方根、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根、立方根、有理数的乘方的定义是解决本题的关键．

4．（2021秋•江都区期末）面积为9的正方形的边长是　　

A．9的算术平方根 B．9的平方根 

C．9的立方根 D．9开平方的结果

【分析】设正方形边长为，根据面积公式得方程，解出即可．

【解答】解：设正方形边长为，

根据面积公式得：，

解得，不合题意，舍去，

故选：．

【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念的运用，熟练掌握它们的区别与联系，根据题意列出方程是解题关键．

5．（2022春•孝南区期中）下列说法中，正确的是　　

A．4的算术平方根是 B．的平方根是 

C．8立方根是 D．的立方根是

【分析】根据平方根和立方根的性质判断即可．

【解答】解：的算术平方根是2，

不合题意．

．

9的平方根是，

符合题意．

任何数有唯一的立方根，

不合题意．

的立方根为，

不合题意．

故选：．

【点评】本题考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质及表示是求解本题的关键．

6．（2021秋•东台市期末）下列说法正确的是　　

A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4 

C．0没有立方根 D．1的立方根是

【分析】解：：正数的算术平方根是正数；

：正数的平方根有两个，并且互为相反数；

有立方根；

：正数的立方根只有1个正数．

【解答】解：的算术平方根是2，符合题意；

的平方根是，不符合题意；

有立方根，不符合题意；

的立方根是1，不符合题意；

故选：．

【点评】本题主要考查了算术平方根和平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．

二．填空题（共6小题）

7．（2022春•开州区期中）已知，，则　0.06993　．

【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位得出即可．

【解答】解：，

，

故答案为：0.06993．

【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关键．

8．（2021秋•礼泉县期末）的立方根是　　．

【分析】直接利用立方根的定义计算．

【解答】解：

的立方根是．

【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意负数的立方根还是负数．

9．（2022•秦淮区校级模拟）16的平方根是 　　；16的立方根是 　　．

【分析】根据平方根和立方根的定义解答．

【解答】解：16的平方根是，16的立方根是．

故答案为：，．

【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．

10．（2021春•海安市期中）已知，则　55.39　．

【分析】根据“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可．

【解答】解：，

故答案为：55.39．

【点评】本题考查立方根，理解“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”是正确解答的关键．

11．（2021秋•肃州区期末）的平方根是　　，的立方根是　 　．

【分析】先找出、的值，再根据平方根与立方根即可得出结论．

【解答】解：，

的平方根是；

，

的立方根是．

故答案为：；．

【点评】本题考查了平方根以及立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求法．

12．（2022•丹江口市模拟）定义一种新的运算：．计算：　5　．

【分析】根据新定义先求出，再根据新定义求即可求解．

【解答】解：，

．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了立方根，新定义，解题的关键是弄清楚新运算“※”的运算法则，属于中档题．

三．解答题（共9小题）

13．（2022春•崇川区校级期中）求下列各式中的值：

（1）；

（2）．

【分析】（1）应用平方根的计算方法进行求解即可得出答案；

（2）应用立方根的计算方法进行求解即可得出答案．

【解答】解：（1），

，

，，

或；

（2），

，

，

．

【点评】本题主要考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．

14．（2022春•海安市校级月考）求的值：

（1）；

（2）．

【分析】（1）通过系数化为1、开平方进行求解；

（2）通过系数化为1、开立方进行求解．

【解答】解：（1）系数化为1，得，

开平方，得，

解得或；

（2）系数化为1，得，

开立方，得，

解得．

【点评】此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．

15．（2021秋•仪征市期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，求代数式的平方根．

【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出，的值，求出，再求它的平方根即可．

【解答】解：的算术平方根是2，的立方根是，

，，

，，

，

的平方根为．

答：的平方根为．

【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．

16．（2021秋•大丰区期末）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和．

（1）求的值；

（2）求的立方根．

【分析】（1）根据正数的平方根的性质解决此题．

（2）根据立方根的定义解决此题．

【解答】解：（1）由题得，．

．

．

．

．

（2）由（1）得，．

．

的立方根是2．

【点评】本题主要考查立方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根是解决本题的关键．

17．（2021秋•白银期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．

【分析】利用算术平方根、立方根性质求出与的值，即可确定出所求．

【解答】解：，

，

，

，

．

【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

18．（2021秋•海陵区校级月考）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．

【分析】根据算术平方根与立方根的定义得到，，则可计算出，，然后计算后利用平方根的定义求解．

【解答】解：因为的算术平方根是3，的立方根是2，

所以，

解得，

所以，

所以的平方根为．

【点评】本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．

19．（2021秋•盱眙县期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．

（1）求、的值；

（2）求的平方根．

【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是和，列出方程解出，再根据的立方根为，列出方程解出；

（2）把、代入计算出代数式的值，然后求它的平方根．

【解答】解：（1）正数的两个不同的平方根是和，

，

解得，

的立方根为，

，

解得

、；

（2）、代入

得，

的平方根是．

【点评】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键

20．（2021秋•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，

（1）已知，求的值；

（2）已知，，求的值；

（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．

【分析】（1）先变形，再求值．

（2）先变形，再求值．

（3）先变形，再求值．

【解答】解：（1），

．

（2），

．

．

（3），

．

．

，即．

【点评】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键．

21．（2021秋•江宁区期中）（1）填空：

，　0.1　，，，　　，

（2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：

①已知，则　　；

②已知，，则　　．

（3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知，，则　　．

【分析】（1）根据二次根式的性质解决此题．

（2）根据二次根式的性质解决此题．

（3）根据立方根解决此题．

【解答】解：（1），

．

故答案为：0.1，100．

（2）①，

．

故答案为：31.6．

②，，，

．

．

．

故答案为：36800．

（3），，，

．

．

．

故答案为：2000．

【点评】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根是解决本题的关键．