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【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第13讲《实数比较大小、运算、近似数》预习讲学案
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第13讲 实数比较大小、运算、近似数
【学习目标】
1．理解有理数的运算法则及运算律在实数范围内仍然适用；
2．掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算；
3. 理解近似数和有效数字的概念；
【基础知识】
一．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
二．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
三．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
四．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
【考点剖析】
一．实数大小比较（共6小题）
1．（2021秋•高邮市期末）下列各数中，大于5且小于6的无理数是
A． B． C．5.5050050005 D．
【分析】首先根据无理数的定义排除、选项，再判断、的取值范围即可求解．
【解答】解：由无限不循环小数为无理数的定义可知选项和选项错误，
因为，，
故选项错误，
因为，，
所以选项正确，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的定义和二次根式的性质，熟知有理数和无理数的定义是解题关键．
2．（2022春•吴江区期中）若，，，则，，数的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方求出每个数的值，再比较即可．
【解答】解：，，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
3．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小：① ②
【分析】①首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．
②首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．
【解答】解：①，，
，
，
．
②，，
，
，
，
．
故答案为：、．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．
4．（2022春•泗阳县月考）若，，，则、、的大小关系是 ．
【分析】利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算、、的值，再比较大小．
【解答】解：，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了负整数指数幂、零指数幂．解题的关键是掌握负整数指数幂：，为正整数），零指数幂：．
5．（2022春•沭阳县月考）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空： 2 ， ， ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，，，并作出了如下的证明：
设，，则，即，
所以，即．
所以，，．
试解决下列问题：
①计算，，；
②若令，，，试探索，，与的大小关系．
【分析】（1）根据题目所提供的方法进行计算即可；
（2）①将，，转化为，，，进而得出答案；
②根据定义和性质进行计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
故答案为：2，0，；
（2）①，，
，，
，，
；
②，，，
，，，
又，
，
即，
，
，，，．
【点评】本题考查实数大小比较，有理数的混合运算，理解“规定运算”的定义是正确解答的关键．
6．（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为，所以 2，所以 （填“”或“” ；
小英的方法是：
，因为，所以 0，所以 0，所以 （填“”或“” ．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；
（2）仿照例题的方法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）小华的方法是：
因为，所以，所以，
小英的方法是：
，因为，，因为，所以，所以，所以，
故答案为：，，，，；
（2）如果选择小华的方法，
，
，
，
如果选择小英的方法，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键．
二．估算无理数的大小（共8小题）
7．（2022春•睢宁县月考）下列无理数，与最接近的是
A． B． C． D．
【分析】求出的近似值即可得出答案．
【解答】解：，
最接近，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的估算，求出的近似值是解题的关键．
8．（2021秋•广陵区期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，则
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先求出的范围，再根据范围求出即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
9．（2022•东海县二模）已知，，，．若为整数且，则的值为
A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】根据题意可知与是两个连续整数，再估算出的值即可．
【解答】解：，，
，
，
为整数且，
的值为：44，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据题意判断与是两个连续整数，再估算出的值是解题的关键．
10．（2022•秦淮区一模）与最接近的整数是 6 ．
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
与最接近的整数是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
11．（2022春•靖江市校级月考）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中取正整数，且取尽可能大的正整数．例如：把化成，再根据近似公式得出，若利用此公式计算的近似值时，则 ．
【分析】先把化成，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减以及对无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键．
12．（2022春•如皋市校级月考）已知是的整数部分，是的小数部分，则 ．
【分析】先确定的范围，再求出、的值，最后代入求出即可．
【解答】解：，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的性质和求代数式的值，能确定出的范围是解此题的关键．
13．（2022春•海安市校级月考）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为；是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【分析】先根据题意求出、、的值，再逐一计算即可．
【解答】解：某正数的两个不同的平方根是和
，
，
的立方根为
，
，
是的整数部分，
，
（1）；
（2），
其平方根为．
【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数大小，解题关键
14．（2022春•海门市月考）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，2.13的小数部分为．
（1） 1 ， ，的小数部分 ．
（2）设的小数部分为，则 ．
（3）已知：，其中是整数；且，则的相反数是 ．
【分析】（1）根据平方运算估算出，的值，即可解答，再根据的整数部分是3，即可求出的小数部分；
（2）根据平方运算估算出，的值，即可解答；
（3）利用（1）的结论可得，从而求出，的值，进而求出的值，然后根据相反数的意义，即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
的小数部分为：，
故答案为：1，2，；
（2），
，
的整数部分为2，
的小数部分为：，
，
，
，
，
，
故答案为：1；
（3），
，
，是整数，且，
，，
，
的相反数为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
三．实数的运算（共6小题）
15．（2022春•海门市期中）计算： ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
16．（2022春•崇川区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质化简，再合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（2022春•海安市校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2021秋•玄武区校级期末）计算 ．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键．
19．（2022•盐城开学）计算：．
【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根和有理数的乘方计算．
【解答】解：原式．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值、立方根、算术平方根和有理数的乘方的性质是解题关键．
20．（2022春•海安市校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先根据乘法分配律计算乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
四．近似数和有效数字（共3小题）
21．（2021秋•射阳县校级期末）小明体重为，这个数精确到十分位的近似值为
A． B． C． D．
【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：精确到十分位的近似值为．
故选：．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
22．（2021秋•句容市期末）小亮的体重为，精确到得到的近似值为 49.7 ．
【分析】把百分位上的数字5进行五入即可．
【解答】解：小亮的体重为，精确到得到的近似值为．
故答案为：49.7．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
23．按括号里的要求对下列各数取近似值．
（1）1.5982（精确到
（2）0.03049（精确到
（3）33074（精确到百位）
（4）816056.1（精确到
【分析】（1）直接将小数点后第三位四舍五入即可；
（2）直接将小数点后第五位四舍五入即可；
（3）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可；
（4）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可；
【解答】解：（1）（精确到
（2）（精确到
（3）（精确到百位）
（4）（精确到
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
【过关检测】
一．选择题（共4小题）
1．（2021秋•江都区期末）用四舍五入法得到的近似数1.05万，下列说法正确的是
A．精确到百分位 B．精确到0.01 C．精确到百位 D．精确到万位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：四舍五入法得到的近似数1.05万，近似数精确到百位．
故选：．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式，
2．（2021秋•沐川县期末）比较和的大小，下面结论正确的是
A． B． C． D．无法比较
【分析】先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可．
【解答】解：，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
3．（2022春•锡山区期中）已知满足条件，若为整数，则满足条件的整数的个数为
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：，，
，，
为整数，
满足条件的整数有4，5，6，7，8，9，10共7个，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
4．（2021秋•高邮市期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．
【解答】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握开方运算和平方运算是解决本题的关键．
二．填空题（共9小题）
5．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小： ．
【分析】首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．
【解答】解：，，，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．
6．（2021秋•海陵区期末）对于实数、，我们用符号，表示、两数中较大的数，如，．若，，则 ．
【分析】分和两种情况讨论，求出符合题意的的值即可．
【解答】解：若，则，，
，
不合题意，
若，则，，
，符合题意，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，关键是要考虑到两种情况，会分类讨论．
7．（2021秋•沭阳县校级期末）若的值在两个整数与之间，则 3 ．
【分析】利用的取值范围，进而得出的值．
【解答】解：的值在两个整数与之间，，
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
8．（2021秋•高邮市期末）无理数的整数部分是 1 ．
【分析】估算出的范围，写出的范围，从而得到整数部分．
【解答】解：，
，
，
的整数部分是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．（2021秋•淮阴区期末）已知是正整数，且，则的值为 5 ．
【分析】估算出的范围，即可得出答案．
【解答】解：
，
为正整数，且，
．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．
10．（2021春•淮安月考）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※ ．
【分析】按新定义的运算规定化简求值．
【解答】解：6※
．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．
11．（2021秋•海陵区校级月考）已知实数，满足，则代数式的值为 ．
【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：，
，，
解得：，，
则原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了实数的运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2021秋•东台市期末）东台市西溪天仙缘景区建筑以汉朝风格为主，一个美丽的传说，各式传统的小吃，吸引着无数游客心驰神往．景区游客日最大接待量为55500人，数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为 ．
【分析】精确到千位，根据四舍五入法，保留到第二个5这一位，将后面的5“五入”即可．
【解答】解：数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为．
故答案为：．
【点评】本题考查近似数和有效数字，用科学记数法表示近似数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
13．（2021秋•驿城区期末）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
【分析】先估计的范围，求出，，再求．
【解答】解：，
．
，．
．
故答案为：．
【点评】本题考查估计无理数范围，估计的范围是求解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
14．（2022春•海安市校级月考）（1）已知与互为相反数，求的立方根．
（2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的算术平方根．
【分析】（1）根据相反数的性质可得，据此的值，进而求出其立方根；
（2）根据算术平方根，平方根，估算无理数的大小，得出，，，代入所求式子即可求解．
【解答】解：（1）与互为相反数，
，
，
，
的立方根是：；
（2），
，
，
的平方根是，
，
，
是的整数部分，，
而，，
，
，
的算术平方根是4．
【点评】本题主要考查实数的性质，立方根的性质，相反数，算术平方根和平方根的定义，估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握相反数，算术平方根和平方根的定义．
15．（2022春•海门市月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接去括号，进而合并二次根式得出答案；
（2）直接去绝对值，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确去绝对值是解题关键．
16．（2022春•港闸区校级月考）阅读下面的文字后回答问题：我们知道无理数是无限不循环小数，例如，的小数部分我们无法全部出来，但可以用来表示．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ；
（2）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【分析】（1）用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案；
（2）用夹逼法估算无理数的大小得出，的值，代入代数式求值即可；
【解答】解：（1），
，
的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2），
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
17．（2022春•金乡县期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的值．
【分析】根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可．
【解答】解：的算术平方根是3，
，即；
的立方根是2，
，
即，
是的整数部分，而，
，
，
答：的值为13．
【点评】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．
18．（2022春•如皋市校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）原式利用算术平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（3）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点评】此题考查了实数的运算，算术平方根、立方根，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
第13讲 实数比较大小、运算、近似数
【学习目标】
1．理解有理数的运算法则及运算律在实数范围内仍然适用；
2．掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算；
3. 理解近似数和有效数字的概念；
【基础知识】
一．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
二．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
三．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
四．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
【考点剖析】
一．实数大小比较（共6小题）
1．（2021秋•高邮市期末）下列各数中，大于5且小于6的无理数是
A． B． C．5.5050050005 D．
【分析】首先根据无理数的定义排除、选项，再判断、的取值范围即可求解．
【解答】解：由无限不循环小数为无理数的定义可知选项和选项错误，
因为，，
故选项错误，
因为，，
所以选项正确，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的定义和二次根式的性质，熟知有理数和无理数的定义是解题关键．
2．（2022春•吴江区期中）若，，，则，，数的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方求出每个数的值，再比较即可．
【解答】解：，，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
3．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小：① ②
【分析】①首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．
②首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．
【解答】解：①，，
，
，
．
②，，
，
，
，
．
故答案为：、．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．
4．（2022春•泗阳县月考）若，，，则、、的大小关系是 ．
【分析】利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算、、的值，再比较大小．
【解答】解：，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了负整数指数幂、零指数幂．解题的关键是掌握负整数指数幂：，为正整数），零指数幂：．
5．（2022春•沭阳县月考）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空： 2 ， ， ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，，，并作出了如下的证明：
设，，则，即，
所以，即．
所以，，．
试解决下列问题：
①计算，，；
②若令，，，试探索，，与的大小关系．
【分析】（1）根据题目所提供的方法进行计算即可；
（2）①将，，转化为，，，进而得出答案；
②根据定义和性质进行计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
故答案为：2，0，；
（2）①，，
，，
，，
；
②，，，
，，，
又，
，
即，
，
，，，．
【点评】本题考查实数大小比较，有理数的混合运算，理解“规定运算”的定义是正确解答的关键．
6．（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为，所以 2，所以 （填“”或“” ；
小英的方法是：
，因为，所以 0，所以 0，所以 （填“”或“” ．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；
（2）仿照例题的方法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）小华的方法是：
因为，所以，所以，
小英的方法是：
，因为，，因为，所以，所以，所以，
故答案为：，，，，；
（2）如果选择小华的方法，
，
，
，
如果选择小英的方法，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键．
二．估算无理数的大小（共8小题）
7．（2022春•睢宁县月考）下列无理数，与最接近的是
A． B． C． D．
【分析】求出的近似值即可得出答案．
【解答】解：，
最接近，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的估算，求出的近似值是解题的关键．
8．（2021秋•广陵区期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，则
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先求出的范围，再根据范围求出即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
9．（2022•东海县二模）已知，，，．若为整数且，则的值为
A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】根据题意可知与是两个连续整数，再估算出的值即可．
【解答】解：，，
，
，
为整数且，
的值为：44，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据题意判断与是两个连续整数，再估算出的值是解题的关键．
10．（2022•秦淮区一模）与最接近的整数是 6 ．
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
与最接近的整数是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
11．（2022春•靖江市校级月考）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中取正整数，且取尽可能大的正整数．例如：把化成，再根据近似公式得出，若利用此公式计算的近似值时，则 ．
【分析】先把化成，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减以及对无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键．
12．（2022春•如皋市校级月考）已知是的整数部分，是的小数部分，则 ．
【分析】先确定的范围，再求出、的值，最后代入求出即可．
【解答】解：，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的性质和求代数式的值，能确定出的范围是解此题的关键．
13．（2022春•海安市校级月考）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为；是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【分析】先根据题意求出、、的值，再逐一计算即可．
【解答】解：某正数的两个不同的平方根是和
，
，
的立方根为
，
，
是的整数部分，
，
（1）；
（2），
其平方根为．
【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数大小，解题关键
14．（2022春•海门市月考）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，2.13的小数部分为．
（1） 1 ， ，的小数部分 ．
（2）设的小数部分为，则 ．
（3）已知：，其中是整数；且，则的相反数是 ．
【分析】（1）根据平方运算估算出，的值，即可解答，再根据的整数部分是3，即可求出的小数部分；
（2）根据平方运算估算出，的值，即可解答；
（3）利用（1）的结论可得，从而求出，的值，进而求出的值，然后根据相反数的意义，即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
的小数部分为：，
故答案为：1，2，；
（2），
，
的整数部分为2，
的小数部分为：，
，
，
，
，
，
故答案为：1；
（3），
，
，是整数，且，
，，
，
的相反数为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
三．实数的运算（共6小题）
15．（2022春•海门市期中）计算： ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
16．（2022春•崇川区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质化简，再合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（2022春•海安市校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2021秋•玄武区校级期末）计算 ．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键．
19．（2022•盐城开学）计算：．
【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根和有理数的乘方计算．
【解答】解：原式．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值、立方根、算术平方根和有理数的乘方的性质是解题关键．
20．（2022春•海安市校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先根据乘法分配律计算乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
四．近似数和有效数字（共3小题）
21．（2021秋•射阳县校级期末）小明体重为，这个数精确到十分位的近似值为
A． B． C． D．
【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：精确到十分位的近似值为．
故选：．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
22．（2021秋•句容市期末）小亮的体重为，精确到得到的近似值为 49.7 ．
【分析】把百分位上的数字5进行五入即可．
【解答】解：小亮的体重为，精确到得到的近似值为．
故答案为：49.7．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
23．按括号里的要求对下列各数取近似值．
（1）1.5982（精确到
（2）0.03049（精确到
（3）33074（精确到百位）
（4）816056.1（精确到
【分析】（1）直接将小数点后第三位四舍五入即可；
（2）直接将小数点后第五位四舍五入即可；
（3）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可；
（4）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可；
【解答】解：（1）（精确到
（2）（精确到
（3）（精确到百位）
（4）（精确到
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
【过关检测】
一．选择题（共4小题）
1．（2021秋•江都区期末）用四舍五入法得到的近似数1.05万，下列说法正确的是
A．精确到百分位 B．精确到0.01 C．精确到百位 D．精确到万位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：四舍五入法得到的近似数1.05万，近似数精确到百位．
故选：．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式，
2．（2021秋•沐川县期末）比较和的大小，下面结论正确的是
A． B． C． D．无法比较
【分析】先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可．
【解答】解：，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
3．（2022春•锡山区期中）已知满足条件，若为整数，则满足条件的整数的个数为
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：，，
，，
为整数，
满足条件的整数有4，5，6，7，8，9，10共7个，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
4．（2021秋•高邮市期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．
【解答】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握开方运算和平方运算是解决本题的关键．
二．填空题（共9小题）
5．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小： ．
【分析】首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．
【解答】解：，，，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．
6．（2021秋•海陵区期末）对于实数、，我们用符号，表示、两数中较大的数，如，．若，，则 ．
【分析】分和两种情况讨论，求出符合题意的的值即可．
【解答】解：若，则，，
，
不合题意，
若，则，，
，符合题意，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，关键是要考虑到两种情况，会分类讨论．
7．（2021秋•沭阳县校级期末）若的值在两个整数与之间，则 3 ．
【分析】利用的取值范围，进而得出的值．
【解答】解：的值在两个整数与之间，，
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
8．（2021秋•高邮市期末）无理数的整数部分是 1 ．
【分析】估算出的范围，写出的范围，从而得到整数部分．
【解答】解：，
，
，
的整数部分是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．（2021秋•淮阴区期末）已知是正整数，且，则的值为 5 ．
【分析】估算出的范围，即可得出答案．
【解答】解：
，
为正整数，且，
．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．
10．（2021春•淮安月考）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※ ．
【分析】按新定义的运算规定化简求值．
【解答】解：6※
．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．
11．（2021秋•海陵区校级月考）已知实数，满足，则代数式的值为 ．
【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：，
，，
解得：，，
则原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了实数的运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2021秋•东台市期末）东台市西溪天仙缘景区建筑以汉朝风格为主，一个美丽的传说，各式传统的小吃，吸引着无数游客心驰神往．景区游客日最大接待量为55500人，数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为 ．
【分析】精确到千位，根据四舍五入法，保留到第二个5这一位，将后面的5“五入”即可．
【解答】解：数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为．
故答案为：．
【点评】本题考查近似数和有效数字，用科学记数法表示近似数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
13．（2021秋•驿城区期末）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
【分析】先估计的范围，求出，，再求．
【解答】解：，
．
，．
．
故答案为：．
【点评】本题考查估计无理数范围，估计的范围是求解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
14．（2022春•海安市校级月考）（1）已知与互为相反数，求的立方根．
（2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的算术平方根．
【分析】（1）根据相反数的性质可得，据此的值，进而求出其立方根；
（2）根据算术平方根，平方根，估算无理数的大小，得出，，，代入所求式子即可求解．
【解答】解：（1）与互为相反数，
，
，
，
的立方根是：；
（2），
，
，
的平方根是，
，
，
是的整数部分，，
而，，
，
，
的算术平方根是4．
【点评】本题主要考查实数的性质，立方根的性质，相反数，算术平方根和平方根的定义，估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握相反数，算术平方根和平方根的定义．
15．（2022春•海门市月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接去括号，进而合并二次根式得出答案；
（2）直接去绝对值，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确去绝对值是解题关键．
16．（2022春•港闸区校级月考）阅读下面的文字后回答问题：我们知道无理数是无限不循环小数，例如，的小数部分我们无法全部出来，但可以用来表示．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ；
（2）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【分析】（1）用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案；
（2）用夹逼法估算无理数的大小得出，的值，代入代数式求值即可；
【解答】解：（1），
，
的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2），
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
17．（2022春•金乡县期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的值．
【分析】根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可．
【解答】解：的算术平方根是3，
，即；
的立方根是2，
，
即，
是的整数部分，而，
，
，
答：的值为13．
【点评】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．
18．（2022春•如皋市校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）原式利用算术平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（3）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点评】此题考查了实数的运算，算术平方根、立方根，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
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