【暑假培优训练】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假第04天：《几何图形初步》提升训练

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第04天：几何图形初步
1．（2021·四川攀枝花·七年级期末）一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（     ）
①的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作，则平分

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
【详解】

如图1，当时


如图2，当时



因此，的角度不恒为，则①错误
如图1，当时
由角平分线的定义得


如图2，当时
由角平分线的定义得


因此，的角度恒为定值，则②正确

边与三角板的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当时，设DE与AB的交点为F



，即




DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次
如图2，当时，延长DE交AB于点F



，即




只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误
如图3，作

，即平分
如图4，作
显然不平分，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个
故选：A．


【点评】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．
2．（2021·重庆酉阳·七年级期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（       ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【解析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知：
分针转动： ，
由每一大格对应30°知： ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：

由此确定此时是10点48分；
故答案为：A．
【点评】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
3．（2021·山西晋中·七年级期末）如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（     ）

A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
【答案】B
【解析】由于B选项中的结论是,而,因此只要判断和是否相等即可，根据,而,因此得到，由此得出B选项错误．
【详解】解：以O为顶点的角有个，
所以A选项正确；
，
,
,即 ,

所以B选项错误；
由中点定义可得：,,
，

,

,

所以C选项正确；
由角平分线的定义可得：,,
,

,

,


,

,
所以D选项正确，

所以不正确的只有B，
故选：B.
【点评】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．
4．（2021·全国·七年级期末）在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（       ）
A．595 B．406 C．35 D．666
【答案】B
【解析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】设锐角
第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，
第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，
第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同
则，
先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．
故选择：B．
【点评】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
5．（2021·天津·七年级期末）钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（     ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
【答案】C
【解析】钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是，再根据8点30分时时针从8开始走了一大格的大格，分针指向6，时针与分针夹角为大格，计算出角度即可.
【详解】钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是，8点30分时时针与分针的夹角是大格，则夹角度数为，
故选：C.
【点评】此题考查钟面上角度计算，掌握钟面上每个大格的度数及时针与分针在某个时间的位置是解题的关键.
6．（2021·全国·七年级期末）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．

∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．
故选D．
【点评】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
7．（2021·浙江杭州·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（    ）

A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.
由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；
由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；
由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN
逐一分析，继而得到最终选项.
【详解】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点评】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
8．（2021·山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）平面上有三点A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（     ）
A．点C在线段AB的延长线上
B．点C在线段AB上
C．点C在直线AB外
D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
【答案】B
【解析】根据AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC＋BC进行判断即可．
【详解】解答：解：如图，在平面内，AB＝10，

∵AC＝7，BC＝3，
∴点C为以A为圆心，7为半径，与以B为圆心，3为半径的两个圆的交点，
由于AB＝10＝7＋3＝AC＋BC，
所以，点C在线段AB上，
故选：B．
【点评】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．
9．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）已知∠AOB＝100°，过点O作射线OC、OM，使∠AOC＝20°，OM是∠BOC的平分线，则∠BOM的度数为（       ）
A．60° B．60°或40° C．120°或80° D．40°
【答案】B
【解析】分两种情况求解：①当OC在∠AOB内部时，②当OC在∠AOB外部时；分别求出∠BOM的度数即可．
【详解】解：如图1，当OC在∠AOB内部时，

∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝80°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝40°；
如图，当OC在∠AOB外部时，

∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝120°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝60°；   
综上所述：∠BOM的度数为40°或60°，
故选：B．
【点评】本题考察了角的计算，熟练掌握角平分线的性质，分两种情况画出图形是解题的关键．
10．（2021·福建泉州·七年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”
C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6
D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC
【答案】D
【解析】分别根据线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差进行分析可得答案．
【详解】解：A．点C不一定在线段AB上，所以错误，不符合题意；
B．原理是两点之间线段最短，所以错误，不符合题意；
C．当A在线段BC上时，AC＝2，点C在AB的延长线上时，AC＝6，所以错误，不符合题意；
D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差等概念，熟练掌握这些性质是解题关键．
11．（2021·山东济南·七年级期末）将一个正方形与直角三角板的一个直角顶点重合放置，如图所示，，OM平分，则的度数为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】由∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD=90°可得∠AOC=∠BOD，再由OM平分∠AOD可得OM平分∠BOC，由∠AOC=∠AOD求出∠AOC及∠AOD的度数，进而求解．
【详解】解：∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOC=∠AOD，
∴∠COD=∠AOD+∠AOD=∠AOD=90°，
∴∠AOD=60°，∠AOC=∠AOD=30°，
∵OM平分∠AOD，∠AOC=∠BOD，
∴OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=（∠AOC+∠AOB）=×120°=60°，
故选：C．
【点评】本题考查角的计算，解题关键是掌握角平分线的定义．
12．（2021·全国·七年级期末）如图所示，点M，N是线段AB上的两个点，且M是AB的中点，N是MB的中点，若AB＝a，NB＝b，下列结论：①AM＝a②AN＝a﹣b③MN＝a﹣b④MN＝a．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据线段的中点定义可得AM＝MB＝AB，BN＝NM＝BM，再根据线段之间的和差关系列出等式即可．
【详解】解：∵M是线段AB的中点，
∴AM＝MB＝AB＝a，故①正确；
AN＝AB﹣BN＝a﹣b，故②正确；
MN＝MB﹣NB＝AB﹣BN＝a﹣b，故③正确；
∵M是线段AB的中点，N是AM的中点，
∴AM＝BM＝AB＝a，MN＝MB＝×a＝a，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查线段中点的有关计算．能结合图形正确分析得出线段之间的和差关系是解题关键．
13．（2021·河南开封·七年级期末）已知线段，点C在的延长线上，点D在直线上，，，点M是线段的中点，则的长为（       ）
A．4或12 B．8或12 C．4或8 D．9或12
【答案】A
【解析】如图1，当D在线段AB上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段的中点的定义得到CM=CD=8，于是得到AM=AC−CM=4；如图2，当D在ABAB的延长线上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段中点的定义得到CM=CD=24，于是得到AM=CM−AC=24−12=12．
【详解】解：如图1，当D在线段AB上时，

∵AB=20，AC=12，
∴BC=AB+AC=32，
∵BD=16，
∴CD =BC−BD=16，
∵点M是线段CD的中点，
∴CM=CD=8，
∴AM=AC−CM=4；
如图2，当D在AB的延长线上时，

∵AB=20，AC=12，
∴BC=AB+AC=32，
∵BD=16，
∴CD=BC+BD=32+16=48，
∵点M是线段CD的中点，
∴CM=CD=24，
∴AM=CM−AC=24−12=12，
综上，的长为4或12，
故选：A．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
14．（2021·山东日照·七年级期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】根据余角与补角的概念：如果两个角的度数和为180度，则这两个角互补，如果两个角的度数和为90度，则这两个角互余，进行求解即可．
【详解】解：和互补，
，
∵，故①正确；
又，②也正确；
，故③错误；
，所以④正确．
综上可知，①②④均正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了余角与补角的定义，熟知二者的定义是解题的关键．
15．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）小明将图（甲）围成图（乙）的正方体（甲）中的笑脸标志“”所在的正方形的对面是正方体中的（　　）

A．面EFGH B．面ABCD C．面ABFE D．面CDHG
【答案】B
【解析】观察图（甲）中的笑脸标志在等腰三角形的位置， 在图（乙）中等腰三角形位于面，进而可得其对立面．
【详解】解：观察图（甲）中的笑脸标志在等腰三角形的位置
∴观察图（乙）等腰三角形位于面
∴面的对面是正方体中的面ABCD
故选B．
【点评】本题考查了几何体的展开图．解题的关键在于明确笑脸标志位于等腰三角形的面上．
16．（2021·重庆南开中学七年级期末）已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当______时，的某一边平分（指不大于180°的角）．

【答案】t=3或t=30或t=54
【解析】本题分情况讨论，当OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值，
当ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此时分为两种情况，
第一种情况：ON'没有旋转完360°，
第二种情况：ON'旋转完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分别求出t的值即可．
【详解】解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180°
得：∠EOM=30° ，∠EON=150°
①OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'


∠MOE'=30+9t
∠A'OE'=60+3t-9t
∴30+9t=60+3t-9t
解得t=3，
②ON'平分∠A'OM，此时分为两种情况，
第一种情况：ON'没有旋转完360°，


∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=9t-180       
∠A'ON'=90+(9t-180)-3t
∴9t-180=90+(9t-180)-3t
解得t=30，
第二种情况：ON'旋转完了360°


∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=180-9t+360，
∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360)
180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360)
解得t=54，
故答案为：t=3或t=30或t=54   
【点评】此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.
17．（2021·四川·成都实外七年级期末）如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．

【答案】0.9或1.1或或．
【解析】设经过t秒后PQ距离为0.5cm，然后分情况分别进行考虑：①当P、Q在AB上且P在Q左侧时；②当P、Q在AB上且P在Q右侧时；③当Q从A返回还未到B时；④当Q从A返回运动并超过B点时；⑤当Q超过P时．
【详解】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，
①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：

由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，
②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：

由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，
③Q到达A所用时间为5÷3=s，
当Q从A返回还未到B时，如图3所示：

由题意得：，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意；
④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：

此时Q从B-A-B用时为：s，
由题意得：，
解得：s；
⑤当Q超过P时，如图5所示：

由题意得：，
解得：s，
综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或或，
故答案为：0.9或1.1或或．
【点评】本题考查两点间的距离，解一元一次方程，涉及列代数式，分类讨论的思想，解题的关键是分哪几种情况讨论．
18．（2021·重庆八中七年级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．

【答案】或
【解析】由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】平分，
，


以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当平分时，


解得
，
②如图2，当平分时，







解得





故答案为：或
【点评】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
19．（2021·吉林四平·七年级期末）如图，已知点A、B、C是直线上顺次排列的三个点，并且AB＝14cm，BC＝6cm，D是AC的中点，M是AB的中点，则MD的长度为 _____．

【答案】3cm
【解析】由AB=14cm，BC=6cm，于是得到AC=20cm，根据线段中点的定义得到AD、AM的长，根据线段的和差得到MD=AD-AM，于是得到结论．
【详解】解：∵AB=14cm，BC=6cm．
∴AC=AB+BC=20cm，
∵D是AC的中点，
∴AD=AC=10cm；
∵M是AB的中点，
∴AM=AB=7cm，
∴DM=AD-AM=3cm．
故答案为：3cm．
【点评】此题主要考查了两点之间的距离，线段的和差、线段的中点的定义，利用线段差及中点性质是解题的关键．
20．（2021·吉林吉林·七年级期末）“双减”政策实施以后，吉林市全面开展了中小学生课后服务工作．目前，吉林市市区大部分学校七、八年级的学生每天下午6：30放学，这时时针与分针所成的角为______．
【答案】15°
【解析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数即可求解．
【详解】解：360°÷12＝30°，0.5×30°＝15°．
∴钟面上6点30分时，分针与时针所成的角的度数是15度．
故答案为：15°．
【点评】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键．
21．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）平面内一定点A在直线CD的上方，点O为直线CD上一动点，作射线，当点O在直线CD上运动时，始终保持∠COE＝90°，，将射线OA绕点O顺时针旋转75°得到射线OB．

（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，若OB平分，求∠AOE的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，且时，求∠AOE的度数；
（3）当点O运动到某一时刻时，满足，求出此时∠BOE的度数．
【答案】（1）50°；（2）∠AOE的度数为或30°；（3）∠BOE的度数为157.5°或97.5°或22.5°或82.5°．
【解析】（1）设∠AOE的度数为x，由题意知∠A′OE＝x，∠EOB＝75°﹣x，根据2∠EOB＝∠A′OE列出方程，解之可得答案；
（2）分射线OB在∠A′OE内部和射线 OB在∠A′OE外部两种情况求解即可；
（3）OE在CD上方时，当∠A′OB＝120°时有两种图形，分别求解即可，同理OE在CD下方时，求上述两种情况下的角的补角即可，最后产生的答案共有四种情况．
【详解】解：（1）设∠AOE的度数为x，
由题意知∠A′OE＝x，∠EOB＝75°﹣x，
∵OB平分∠A′OE，
∴2∠EOB＝∠A′OE，
∴2（75°﹣x）＝x，
解得x＝50，
答：∠AOE=50°；
（2）①如图2，当射线OB在∠A′OE内部时，设∠AOE的度数为y，
由题意知，∠A′OE＝y，∠EOB＝75°y，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°y，
∵∠AOC＝4∠A′OB，
∴∠A′OB＝（90°y），
∵∠A′OB+∠EOB＝∠A′OE，
∴（90°y）+75°y＝y，
解得；
②如图3，当射线OB在∠A′OE外部时，设∠AOE的度数为y，
由题意知，∠A′OE＝y，∠EOB＝75°﹣y，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣y，
∵∠AOC＝4∠A′OB，
∴∠A′OB＝（90°﹣y），
∵∠AOE+∠A′OE+∠A′OB＝75°，
∴y+y+（90°﹣y）＝75°，
解得y＝30，
综上可得：∠AOE的度数为或30°；


（3）如图4，当∠A′OB＝120°时，
由图可得：∠A′OA＝∠A′OB﹣∠AOB＝120°﹣75°＝45°，
又∵∠AOE＝∠A′OE，
∴∠AOE＝22.5°，
∴∠BOE＝75°+22.5°＝97.5°；
如图5，当∠A′OB＝120°，
由图可得∠A′OA＝360°﹣120°﹣75°＝165°，
又∵∠A′OE＝∠AOE，
∴∠AOE＝82.5°，
∴∠BOE＝75°+82.5°＝157.5°；
当射线OE在CD下面时，如图6、图7，
可得到或，
综上，∠BOE的度数为157.5°或97.5°或22.5°或82.5°．




【点评】本题考查了角平分线、角的运算等知识，本题的难点在于图形不确定，从而产生不同的情况，要求学生分析问题时要全面，能找到不同的表达式表示同一个角，根据相等关系建立方程，求出角度，此题对学生的分析思维能力、图形的感知力以及作图能力都有较高的要求．
22．（2021·重庆一中七年级期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．

（1）________，________，________．
（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．
（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1），，；（2）或或或；（3），1，，8，12
【解析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；
（2）由题意知，依次求出PC、PB的长，再进行分类讨论即可：当从到时，当从到时，当从到时，三种情况分类讨论．
（3）以点从为PN中点时，当0