【暑假培优训练】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假第05天：《相交线与平行线》提升训练

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第05天：相交线与平行线
1．（2022·全国·七年级期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，，，那么的度数为（　　）

A．100° B．132° C．142° D．154°
【答案】B
【解析】先根据平行线性质求出∠A，再根据邻补角的定义求出∠4，最后根据三角形外角性质得出∠3=∠4+∠A．
【详解】解：如图：

∵AB∥CD，∠1=26°，
∴∠A=∠1=26°，
∵∠2=74°，∠2+∠4=180°，
∴∠4=180°-∠2=180°-74°=106°，
∴∠3=∠4+∠A=106°+26°=132°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，解题的关键是求出∠A的度数和得出∠3=∠4+∠A．
2．（2022·内蒙古·乌海市第三中学七年级期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（       ）

A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
【答案】D
【解析】分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系即可得答案．
【详解】∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，
∴∠BON=∠AOC=30°，
此时，三角板旋转的角度为90°−30°=60°，
∴t=60°÷10°=6；

②如图，当ON在∠AOC的内部时，
∴∠CON=∠AOC=30°，
∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，
∴t=240°÷10°=24；

∴t的值为：6或24．
故选：D．
【点评】此题考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想．
3．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列说法中：①延长射线AB；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线AB上的点，如果，则点C为AB的中点．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据直线，射线，线段和中点的定义判断对错求解．
【详解】解：①射线无限长，不可延长，故①错误．
②经过三点一定能画出1或3条直线，故②错误．
③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，相等的两个角不一定是对顶角，故③错误．
④点C是直线AB上的点，当点C在点A 的左侧时，也可以满足，但点C不是AB的中点．故④错误．
综上所述0个正确．
故选：A．
【点评】本题考查直线，射线，线段和中点的定义和性质，解题的关键是数量掌握基本定义及性质．
4．（2022·山东临沂·七年级期末）如图，点O是直线上的一点，若，，，下列正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用补角、余角、角的n等分线的性质进行角度的和差倍数计算，判断选项的正确性．
【详解】解：∵，，
∴，
∵∠AOC=50°，，
∴，故D不符合题意；
∴,故C符合题意；
∴，故A不符合题意；
∵∠AOC=50°，
∴，故B不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知补角和余角定义、角的n等分线的性质．
5．（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（       ）

A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ//AB D．PQ＝PC
【答案】D
【解析】可利用角平分线的性质判断B，利用HL判断A，利用平行线的判定定理判断C．
【详解】解：于点M，于点N，
在的角平分线上，
，
故B正确；



故C正确；




故A正确；
由于不能说明与相等，也不能直接证明PQ与PC相等，
故选项D错误，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的性质、三角形全等的判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2022·浙江台州·九年级期末）对于平面上的点和一条线，点与线上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点到线的距离，记为，以边长为6的正方形各边组成的折线为，若 ，则满足这样条件的所有点组成的图形 (实线图) 是 (        ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】竖线根据题目信息，可以确定正方形内外都有满足条件的点，可排除A选项，再比较BCD选项的不同点进行分析即可．
【详解】解：根据题目信息，此正方形内外均有满足的点，因此可排除选项A，
其次，正方形内部满足的点应该是一个小正方形，可排除选项D，
最后，正方形外部满足的点4个角落应是圆弧形，可排除B选项，
故选：C
【点评】本题可用排除法，对比个选项的差异进行分析，即可选出满足题目条件的答案．
7．（2022·江苏南京·七年级期末）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（     ）
A．∠1＝∠4 B．∠4＋∠1＝90° C．∠1－∠4＝90° D．∠4－∠1＝90°
【答案】D
【解析】根据题意，得∠1+∠2=90°，∠3+∠2=180°，∠4=∠3，作差后，运用等量代换的思想即可确定．
【详解】∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=180°，∠4=∠3，
∴∠3-∠1=90°，∠4=∠3，
∴∠4-∠1=90°，
故选D．
【点评】本题考查了互余即和为90°、互补即和为180°和对顶角的性质，熟练掌握定义，灵活掌握性质是解题的关键．
8．（2022·辽宁锦州·八年级期末）下列四个命题中，真命题是（       ）
A．如果，，那么
B．平面内点与点关于轴对称
C．三角形的一个外角大于这个三角形中的任何一个内角
D．三角形的任意两边之和一定大于第三边
【答案】D
【解析】利用不等式的性质、关于坐标轴对称的点的坐标特点、三角形的外角的性质及三角形的三边关系分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：、如果，，那么可能，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、平面内点与点关于轴对称，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、三角形的任意两边之和一定大于第三边，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、关于坐标轴对称的点的坐标特点、三角形的外角的性质及三角形的三边关系，难度不大．
9．（2020·广东惠州·七年级期末）下列命题中，真命题的个数是（　　）
①同位角相等；②a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【详解】解：两直线平行，同位角相等，故①是假命题；
在同一平面内，a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故②是假命题；
a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，故③是真命题；
在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④是假命题.
故选A.
10．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（            ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
11．（2022·四川攀枝花·九年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）

A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】C
【解析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
12．（2021·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　）


A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图：


∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，


∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；


④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键．
13．（2021·浙江·七年级期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【解析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
14．（2020·山东聊城·八年级期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（       ）

A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵，
∴
∠E=60，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故②正确；
∵，
∴，
∵,
∴∠3=∠B,
∴,故③正确；
∵，
∴∠CFE=∠C，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=,
∴∠2=90-∠1=，故④正确，
故选：D.


【点评】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
15．（2021·福建省福州延安中学七年级期末）①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是(     )
                 
A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故选C.

16．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，是等边三角形，直线于点C，点D在直线MN上一动点，以AD为边向右作等边三角形ADE，连结CE，已知，则CE的最小值是_________．

【答案】
【解析】连接BD，由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE，过点B作BH⊥CM于点H，由直角三角形的性质求出BH的值，则可得出答案．
【详解】解：连接BD，

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
过点B作BH⊥CM于点H，
∵点D在直线MN上一动点，
∴点D与点H重合时，BD有最小值，
∵AC⊥MN，
∴∠ACM＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∴BH＝BC＝6，
∴CE的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
17．（2022·湖南·衡阳市成章实验中学七年级期末）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少10°．则______．
【答案】25°或50°
【解析】根据平行线的性质以及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵与的两边一边平行，另一边垂直，
∴有两种情况，
如下图所示：

由题意得，AC∥BD，∠A＝3∠B-10°，BC⊥AD
∵AC∥BD
∴∠C＝∠B
∵BC⊥AD
∴∠A+∠C＝90°
∴3∠B-10°+∠B＝90°，
∴∠B=25°
如下图所示：

由题意得，AN∥BM，∠A＝3∠B-10°，BH⊥AM
∵AN∥BM
∴∠A+∠M＝180°，
∵BH⊥AM
∴∠B+∠M＝90°
∴∠A-∠B＝90°
∵∠A＝3∠B-10°
3∠B﹣10°﹣∠B=90°，
∴∠B＝50°，
综上所述，∠B的度数为25°或50°，
故答案：25°或50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
18．（2022·上海·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝___度．

【答案】50
【解析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据邻补角的和等于180°求解即可．
【详解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65，
∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65＝130，
∴∠AOC＝180﹣∠BOC＝180﹣130＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了角平分线的定义以及邻补角的定义．解题的关键是掌握角平分线的定义以及邻补角的和等于180，是基础题，比较简单．
19．（2022·吉林延边·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为、，把沿x轴向右平移到，若点D的坐标为，则点E的坐标为________．

【答案】
【解析】根据B点横坐标与A点横坐标之差，和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则，∴，
∴E点坐标为 ．
故答案为：
【点评】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键．
20．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝______°．

【答案】57
【解析】根据角平分线得出∠HBC=∠DBC=，根据垂直得出BC∥DE，得出∠3+∠DBC=180°，结合∠2＋∠3＝180°，得出∠DBC=∠3，证出CH∥BD即可．
【详解】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠HBC=∠DBC=，
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC∥DE，
∴∠3+∠DBC=180°，
∵∠2＋∠3＝180°，
∴∠DBC=∠2，
∴CH∥BD，
∴∠DBA=∠1=66°，
∴∠DBC=∠2=，
∴∠ACH=∠ACB-∠2=90°-33°=57°．
故答案为：57．
【点评】本题考查角平分线有关的计算，平行线判定与性质，求余角，掌握角平分线有关的计算，平行线判定与性质，余角性质是解题关键．
21．（2020·湖北武汉·七年级期末）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，．

（1）求的值；
（2）如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值；
（3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若，则的值是__________．
【答案】（1）260° ；（2）40°；（3）
【解析】（1）如下图，过点作，可得出，然后利用平行的性质进行角度转换可得出答案；
（2）如图，过点作，过点作，然后设，，利用方程思想进行角度推导，可得出答案；
（3）如下图，过点O作AB的平行线OQ，同样利用方程思想进行推导转化，可得出n的值．
【详解】（1）证明：过点作

∵
∴
∴，
∴
即
∵
∴
（2）解：过点作，过点作，

∵平分，平分
设，
∵∴
∴
∵，，
∴
∴，，
∴


（3）如下图，过点O作AB的平行线OQ

设∠NEO=x，则∠AEN=nx
设∠OFM=y，则∠MFD=ny
∵AB∥CD，AB∥OQ
∴AB∥OQ∥CD
∴∠EOQ=∠AEO=(n+1)x，∠QOF=180°－(n+1)y
∵∠EOF=100°
∴∠EOQ+∠QOF=100°，化简得：(n+1)(y－x)=80°
在△NPE中，∠ENP=180°－x－∠NPE
在四边形POFM中，∠PMF=360°－y－100°－∠OPM
∵∠PMF－∠ENP=50°
∴∠PMF－∠ENP=50=360°－y－100°－∠OPM－(180°－x－∠NPE)
∵∠NPE=∠OPM
∴∠PMF－∠ENP化简后得：150°+(y－x)=180°
∴y－x=30°
∵(n+1)(y－x)=80°
∴解得：n=．
【点评】本题考查平行线的综合应用，解题关键是构造平行线，然后利用方程思想进行角度转化求解．
22．（2020·河南南阳·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
（1）数学活动小组经过讨论形成下列推理，请你补全推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作图知)
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．（                    ）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（                    ）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
问题解决：
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与α、β之间的数量关系 ．

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行     两直线平行同旁内角互补   （2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.
【解析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作图知)
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（两直线平行同旁内角互补）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行     两直线平行同旁内角互补
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，

过P作PE∥AD交直线CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
23．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，直线ABCD，直线与、分别交于点、，小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．

(1)填空：______（填“”“”或“”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当ONEF，PMEF时，求的度数；
②小安将三角板保持PMEF并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①60°；②或
【解析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
(1)
解：过点作，

，
，
，
，
，
故答案为：.
(2)
解：①，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
②点在的右侧时，如图②，

，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，

，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是利用分类讨论的思想求解．
24．（2022·河南南阳·七年级期末）在学习了平行线的有关知识后，小明对下面的问题进行了研究.
问题：如图1，AB//CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE，CE，


试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC.
(1)下面是小明的解题过程，请你填空．
解：过点E作EF//AB，
∴∠BAE＝∠1（　　　　　）．     
∵CD//AB（已知），            
∴EF//CD（　　　　　　　）．
∴∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等）.
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代换）．
(2)如图2，AD//BC，点E在线段AB上运动（点E不与点A，B重合），连结CE，DE，若∠ADE=α，∠BCE=β．试说明∠CED，α，β之间的数量关系（写出过程，不需要注明依据）.



(3)如图3，AD//BC，点E在直线AB上运动（点E不与点A，B，O重合），连结CE，DE，若∠ADE=α，∠BCE=β，则∠CED，α，β之间的数量关系 ．


【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行
(2)∠CED＝α＋β
(3)∠CED＝α＋β或∠CED＝α−β或∠CED＝β−α
【解析】（1）根据平行线的性质和判定填空即可；
（2）过点E作EF//AD交CD于点F，由EF//AD，得∠DEF＝∠ADE＝α，根据BC//AD，得EF//BC，即知∠CEF＝∠BCE＝β，故∠CED＝∠DEF＋∠CEF＝α＋β；
（3）分三种情况：（Ⅰ）E在线段BA延长线上，过E作EG//AD交直线CD于G，可得∠CED＝∠CEG−∠DEG＝β−α；（Ⅱ）E在线段AB上，由（2）知∠CED＝α＋β；（Ⅲ）E在线段AB延长线上，过E作EH//AD交直线CD于H，可得∠CED＝∠DEH−∠CEH＝α−β．
(1)
解：过点E作EF//AB，
∴∠BAE＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵CD//AB（已知），
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE＋∠DCE＝∠1＋∠2（等式的性质），
∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(2)
∠CED＝α＋β，证明如下：
过点E作EF//AD交CD于点F，如图所示：


∵EF//AD，
∴∠DEF＝∠ADE＝α，
∵BC//AD，
∴EF//BC，
∴∠CEF＝∠BCE＝β，
∴∠CED＝∠DEF＋∠CEF＝α＋β．
(3)
分三种情况：
（Ⅰ）E在线段BA延长线上，过E作EG//AD交直线CD于G，如图：


同（2）可证∠BCE＝∠CEG＝β，∠ADE＝∠DEG＝α，
∴∠CED＝∠CEG−∠DEG＝β−α；
（Ⅱ）E在线段AB上，由（2）知∠CED＝α＋β；
（Ⅲ）E在线段AB延长线上，过E作EH//AD交直线CD于H，如图：


同理可证∠BCE＝∠CEH＝β，∠ADE＝∠DEH＝α，
∴∠CED＝∠DEH−∠CEH＝α−β；
故答案为：∠CED＝α＋β或∠CED＝α−β或∠CED＝β−α．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是作平行线，利用平行线的性质转化角．
25．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．

(1)当点E，F在直线的同侧，
①如图1，若，，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②平分，理由见解析；
(2)或；
【解析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分可得，利用余角的定义证明，，即，再由对顶角相等，等量代换可得，所以平分；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可．
(1)
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
②平分，如下图：

∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
(2)
解：设，则，
当点E，F在直线的同侧时，如图：

，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
当点E，F在直线的异侧时，如图：

，
∴，①
，②
令①+②×2可得：，
综上所述：或．
【点评】本题考查对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．
26．（2022·江苏南京·七年级期末）已知与互为补角，平分．


(1)如图①，若，则______°，______°．
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)答案见解析
【解析】（1）根据补角的定义可求度数，在利用角平分线的定义可求解度数，进而求解的度数；
（2）分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时。而对于当和在的同一侧时可分为：当 时；当时；当时分别计算求解即可．
(1)
解：与互为补角，
，
，
平分，
，
，
故答案为：，；
(2)
解：当在的外部时，


与互为补角，
，
平分，
，
，
当在的内部时，


与互为补角，
，
平分，
，
，
的度数为或；
(3)
当和互为邻补角时，即和在的不同侧时，
，
，
平分，
，
，
即此时；
当和在的同一侧时，
当，如图，此时,，


平分，
,和重合，
；
当时，如图，


,，
平分，
，
，
，
即，此时，
当，如图，，，


平分，
，
，
即，此时，
综上，当和在的不同侧时，
，此时；
当和在的同一侧时，
当时，；
当时，；
当时，．
【点评】本题主要考查角的计算，三角形的外角定义，角平分线的性质，分类讨论是解决问题的关键．
27．（2022·上海·七年级期末）如图，∠A＝∠3＝55°，ABDE，求∠1、∠2的度数．
解：∵ABDE （已知）
∴∠1＝
∠2＝
∵∠A＝∠3＝55°（已知）
∴ ＝ ＝ °．

【答案】∠3，∠A，∠1，∠2，55
【解析】根据平行线的性质推出∠1＝∠3，∠2＝∠A把已知代入即可求出答案．
【详解】解：∵ABDE，
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠A （两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠3＝55° （已知）
∴∠1＝∠2＝55°，
故答案为：∠3，∠A，∠1，∠2，55．
【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
28．（2022·河南鹤壁·七年级期末）
(1)填空：如图①，AB∥CD，猜想∠BPD与∠B，∠D的关系，并说明理由．

解：过点P作EF∥AB，如图所示

∴∠B＋∠BPE=180°（______________________________）．
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么（_____________________）．
∴∠EPD＋∠D=180°
∴∠B＋∠BPE＋∠EPD＋∠D=________，
即∠BPD＋∠B＋∠D=360°
(2)仿照上面的解题方法，观察图②，已知AB∥CD，猜想图中∠BPD与∠B，∠D的关系，并说明理由．

(3)观察图③和④，已知AB∥CD，猜想图中∠BPD与∠B，∠D的关系，不需要说明理由．

【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；这两条直线互相平行；360°
(2)∠BPD=∠B+∠D；理由见解析
(3)图③：∠D=∠B+∠BPD；图④：∠B=∠BPD+∠D
【解析】（1）利用平行线的性质解答；
（2）作平行线，根据内错角相等可证∠BPD=∠B+∠D；
（3）同样作平行线，根据内错角相等可证∠B=∠BPD+∠D．
(1)
过点P作EF∥AB，如图所示：

∴∠B+∠BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；这两条直线互相平行；360°．
(2)
猜想∠BPD=∠B+∠D；
理由：过点P作EP∥AB，如图所示：

∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D．
(3)
图③结论：∠D=∠BPD+∠B，
理由是：过点P作EP∥AB，如图所示：

∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
图④结论∠B=∠BPD+∠D，
过点P作EP∥AB，如图所示：

理由是：∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D．
【点评】本题主要考察了平行线的判定性质，作出辅助线，熟练掌握运用两直线平行内错角相等是解答本题的关键．