【暑假培优训练】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假第12天：《与三角形有关的角》提升训练

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第12天：与三角形有关的角
1．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形
【答案】B
【解析】因为∠A﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即为钝角三角形．
【详解】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0º），那么△ABC是钝角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是得到∠A一定大于90°．
2．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角
【答案】A
【解析】利用三角形内角和定理以及题干中各个内角之间的关系可分别求解出三个内角的度数，进而可判断三角形的形状．
【详解】解：设，则°，
根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°，
故该三角形为锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理以及已知条件求解出各个内角的度数是判断三角形形状的关键．
3．如图，中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的轴对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的轴对称图形．记，则和的关系为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据折叠的性质可得∠BED=∠FED，∠BED=∠FED=∠FEC=60°，从而得到∠C+∠EFC=∠C+∠DFE=180°-∠FEC=120°，即可求解．
【详解】解：∵四边形BEFD是以DE为对称轴的轴对称图形，
∴∠B=∠DFE，∠BED=∠FED，
∵四边形CFDE是以FE为对称轴的轴对称图形．
∴∠C=∠EDF，∠FED=∠FEC，∠EFC=∠DFE，
∴∠BED=∠FED=∠FEC，
∵∠BED+∠FED+∠FEC=180°，
∴∠BED=∠FED=∠FEC=60°，
∴∠C+∠EFC=∠C+∠DFE=180°-∠FEC=120°，
∵，
∴．
故选：A
【点评】本题主要考查了图形的折叠，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．
4．如图，一块直角三角板EOF与一把直尺ABCD放置在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．65°
【答案】D
【解析】过点O作OMAD，交EF于点M，则ADBCOM，由平行线的性质得到∠2＝∠EOM，∠1＝∠FOM，等量代换得到∠1+∠2＝90°，据此求解即可．
【详解】解：如图，过点O作OMAD，交EF于点M，

∵ADBC，
∴ADBCOM，
∴∠2＝∠EOM，∠1＝∠FOM，
∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，及两直线平行同位角相等，直角三角向的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【解析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，

∴∠1=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=∠DAE=90°，
∴∠2=45°，故③错误；
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=30°，
∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，   
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
6．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（       ）

A．100° B．120° C．130° D．140°
【答案】B
【解析】根据三角形的外角和等于360°计算即可．
【详解】解：∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝140°，∠2＝100°，
∴∠3＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣140°﹣100°＝120°，
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的外角和，解题的关键是熟练掌握三角形的外角和．三角形的外角和是360°．
7．小刚同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m，n上，测得∠α＝110°，则∠β的度数是（　　）

A．75° B．65° C．55° D．45°
【答案】B
【解析】根据平行线的性质得∠1＝∠ADE，根据三角形外角性质有∠α＝∠ADE＋∠A，可计算出∠ADE＝110°−45°＝65°，则∠1＝65°，根据对顶角相等即可得到∠β的度数．
【详解】解：如图，

∵mn，
∴∠1＝∠ADE，∠ADE=∠β，
∵∠α＝∠ADE＋∠A，
而∠A＝45°，∠α＝110°，
∴∠ADE＝110°−45°＝65°，
∴∠1＝65°，
∴∠β＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质以及对顶角的性质，解题关键是掌握平行线的性质，三角形外角性质以及对顶角的性质．
8．如图，已知，，，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依据，得到，再根据，，即可得到，即可得出．
【详解】∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
9．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(        )


A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【解析】如图（见解析），先根据直角三角形可得∠1=30°，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如下图，


∵∠1=90°−60°=30°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质．
10．如图，将△ABC沿AB边上的中线CD折叠，点B落在点B′处，连接AB′．若∠BDC＝30°，则∠BAB′的度数为（     ）


A．25° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】根据折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算判断即可．
【详解】∵△ABC沿AB边上的中线CD折叠，点B落在点B′处，∠BDC＝30°，
∴∠BDC＝∠B′DC＝30°，B′D=BD=AD，
∴∠BAB′＝∠AB′D，∠BAB′+∠AB′D=60°，B′D=BD=AD，
∴∠BAB′＝30°，
故选B．
【点评】本题考查了中线的意义，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
11．如图所示，，则______°．

【答案】200
【解析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答．
【详解】如图，


∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案为200．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理．掌握三角形的三个内角的和为是解题关键．
12．“三角形三个内角中最多只能有一个直角”，这个命题是_____命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】根据三角形内角和为180°，即可求解．
【详解】解：因为三角形内角和为180°，
所以三角形三个内角中最多只能有一个直角，
所以命题“三角形三个内角中最多只能有一个直角”为真命题．
故答案为：真
【点评】本题主要考查了判断命题的真假，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
13．当三角形中的一个内角是另一个内角的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为______．
【答案】90°或60°
【解析】分①“特征角”的是直角时，根据“特征角”的定义列式计算即可得解；②“特征角”不是直角，根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：“特征三角形”恰好是直角三角形，
①若α=90°时，β=，符合题意；
②若α不是直角，根据题意可得：β=
α+，
解得：α=60，
综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°．
故答案为90°或60°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，读懂题目信息，理解“特征角”的定义是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝_____．

【答案】45°##45°
【解析】延长CH交AB于点F，锐角三角形三条高交于一点，所以CF⊥AB，再根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：延长CH交AB于点F，

在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．
15．如图，在中，，M是射线上的一个动点，过点M作交射线于点N，连接，若中有两个角相等，则的度数可能是___________．

【答案】##25度
【解析】根据平行线的性质得进而得即可判断相等的角，即可求解；
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴
∴只能是，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及三角形的内角的关系，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
16．如图，，与相交于点，，在直线上方有一点，连接，，，若平分，．则下列结论正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）


①；
②；
③；
④三角形的面积等于三角形的面积．
【答案】①③④
【解析】根据，得出，根据，得出，即可证明；②设，，用表示出，用表示出，无法证明这两个角相等；③用，和已知角表示出，即可得出结果；④根据，得出，根据，得出，即可得出，从而说明，即可证明结论正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
②③设，，
∵，
∴，
∵EF平分∠CED，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
与不一定相等，




故②错误，③正确；
④连接AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，故④正确；


综上分析可知，正确结论的序号为①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，是解题的关键．
17．如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为_____．

【答案】145°
【解析】连接AC并延长，延长线上一点为E．由三角形外角的性质可得：，．所以可得：

【详解】解：连接AC并延长，延长线上一点为E
是的外角

同理可得：

故答案为．

【点评】本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解决本题的关键．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度数等于 _____．

【答案】110°##110度
【解析】由三角形的内角和可求得∠BAC＝60°，再由角平分线的定义得∠BAD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠ADC的度数．
【详解】解：∵∠B＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握．
19．如图，，，那么＝___．

【答案】##65度
【解析】利用三角形的外角性质得出，从而求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
20．在ABC中，D、E为AB边上两点，把∠A、∠1、∠2这三个角用“>”链接起来是_____．

【答案】∠2>∠1>∠A
【解析】根据三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵∠1是△ACE的外角，
∴∠1＞∠A，
∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A．
故答案为：∠2＞∠1＞∠A．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角是解题的关键．
21．如图，在中，，是的平分线，，，在同一条直线上，，，求的度数．

【答案】
【解析】由，证明可得再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解： ，
，
是的平分线，
，
，
，

【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键．
22．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．


(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
【答案】(1)∠AED+∠D=180°，理由见解析
(2)110°
【解析】（1）根据∠CED＝∠GHD．可得CE∥FG，从而得到∠EFG+∠CEF=180°，进而得到∠C +∠CEF=180°，继而得到AB∥CD，即可求解；
（2）根据AB∥CD，可得∠DEF=∠D=30°，再由三角形内角和定理可得∠EFH=70°，再由CE∥FG，可得∠CEF=110°，然后根据对顶角相等，即可求解．
(1)
解∶∠AED+∠D=180°．
理由：∵∠CED＝∠GHD．
∴CE∥FG，
∴∠EFG+∠CEF=180°，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠C +∠CEF=180°，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°；
(2)
解：∵AB∥CD，∠D＝30°，
∴∠DEF=∠D=30°，
∵∠EHF＝80°，
∴∠EFH=180°-∠EHF-∠DEF=70°，
∵CE∥FG，
∴∠CEF=110°，
∵∠AEM=∠CEF，
∴∠AEM=110°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角相等是解题的关键．
23．如图，∠1＝∠2，∠DAB＝85°，那么∠B的度数是多少，为什么？

【答案】95°，理由见解析
【解析】由已知角度及等量代换可得∠2+∠BAC＝85°，再根据三角形的内角和为180°即可求解．
【详解】解：∵∠1+∠BAC＝∠DAB＝85°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAC＝85°，
∵∠B+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠B＝180°﹣85°＝95°．
故∠B的度数是95°．
【点评】此题考查了三角形的内角和．解题的关键是掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
24．如图，在中，是角平分线，，．

(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】（1）根据三角形内角和定理可求出，然后利用角平分线进行计算即可得；
（2）根据垂直得出，然后根据三角形内角和定理即可得．
(1)
解：∵，，
∴，
∵AD是角平分线，
∴，
∴；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．
25．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A=∠D=40°．求∠B和∠ACD的度数．

【答案】∠B=50°；∠ACD=90°．
【解析】由DF⊥AB，在Rt△BDF中可求得∠B；再由∠ACD=∠A+∠B可求得结论．
【详解】解：∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B+∠D=90°，
∵∠D=40°，
∴∠B=90°-∠D=90°-40°=50°；
∴∠ACD=∠A+∠B=40°+50°=90°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
26．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．

【答案】87°，40°
【解析】根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点评】本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．
27．如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作Rt△ADE，且AD=AE．

解答下列问题：
(1)当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图a，连接线段CE，那么CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ；
(2)当点D在线段BC的延长线上时，如图b，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如果点D在线段BC上运动，如图c，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作∠EAD=45°，交边BC于点E，请问线段BD、DE、EC所围成的三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)垂直，相等；
(2)成立，理由见解析；
(3)直角三角形，理由见解析
【解析】（1）连接CE，由题意得∠BAD=∠CAE，根据SAS可判断△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得BD=CE，∠ACE=∠B=45°，得∠BCE=90°，即可得；
（2）连接CE，由题意得，即可得，根据SAS可判定，根据全等三角形的性质得且，根据，得，则，即可得
即BD=CE，CE⊥BD；
（3）作，且AF=AD，连接CF，EF得，根据，得，根据SAS可判定，根据全等三角形的性质得，，根据得，即，根据，，得，根据SAS可判定，根据全等三角形的性质得，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，即，根据勾股定理的逆定理即可得线段BD、DE、EC所围成的三角形是直角三角形．
(1)
解：如图所示，连接CE，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
，

∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴CE⊥BD，
故答案为：CE⊥BD，BD=CE．
(2)
结论仍然成立，理由如下：
解：如图所示，连接CE，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴且，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴BD=CE，CE⊥BD．
(3)
直角三角形，理由如下：
解：如图所示，作，且AF=AD，连接CF，EF，

∴，
∵，，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，，
∴，
∴线段BD、DE、EC所围成的三角形是直角三角形．
【点评】本题考查了与三角形有关的动点，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
28．如图，，是与之间的一点，是上的任意一点，且．

(1)求证：平分；
(2)过点作直线于．
①如备用图，若，过点作的平分线交于点，求证：；

②如备用图，过点，分别作，的平分线相交于点，设，求的值．（用含的式子表示）

【答案】(1)见解析
(2)见解析；②∠CEF
【解析】（1）根据可知，，结合已知条件可以证明，即可得出结论；
（2）①设AC与IF交于点O，根据平行线的性质，先证明，再结合FI平分∠AFE，平分，得出，证明，即可证明结论；
②过点E作，根据CK平分∠DCG，FK平分∠BFE，得出∠DCG=2∠1，∠BFE=2∠2，根据平行线的性质，得出∠3=∠6，∠4=∠EFB，∠2=∠5，根据∠ECG=90°，得出，根据三角形的外角得出，最后根据，表示出最后结果即可．
(1)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
(2)
证明：①设AC与IF交于点O，如图所示：

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵FI平分∠AFE，平分，
∴，，
∴，
∴，
，
∵，
∴；
②过点E作，

∵CK平分∠DCG，FK平分∠BFE，
∴∠DCG=2∠1，∠BFE=2∠2，
∵，
∴，
∴∠3=∠6，∠4=∠EFB，∠2=∠5，
∵CH⊥CE，
∴∠ECG=90°，
∴，
∵，
∴





．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．