【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第04天 《整式的乘法与因式分解》提升训练

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第04天：整式的乘法与因式分解
一、单选题
1．若，则的值是（       ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】先把所求的代数式利用完全平方公式变形为，然后把已知整体代入计算即可．
【详解】∵
∴





故选：C
【点评】本题考查了利用完全平方公式变形，整体代入求代数式的值，正确地把所求代数式变形是解题的关键．
2．下列运算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、完全平方公式解答．
【详解】A. ，选项正确；       
B. ，选项错误；
C. ，选项错误；       
D. ，选项错误；
故选：A．
【点评】考查了完全平方公式、幂的运算，属于基础计算题．熟记相关运算法则是解题的关键．
3．我们知道一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若规定一个新数“i”，使其满与，且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，同时原有的运算法则和运算律仍然成立，则的值是（       ）
A．－i B．i C．－1 D．1
【答案】B
【解析】根据题设条件，计算出，，，，的值，随后探究出与相等，的整数指数幂出现循环，循环节为4，故，据此计算即可．
【详解】解：∵，，，，
，…
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确理解题设材料情景，找到循环节，是解题的关键．
4．如图①所示，在边长为a的正方形纸板中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形（如图②），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（          ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据图①计算阴影部分的面积为，同理计算图②阴影部分面积即可得到答案．
【详解】解：如图①，阴影部分的面积为；
如图②，阴影部分的面积为，
故得等式：，
故选B．
【点评】本题考查了整式乘法公式，结合图形特征，分别表示出图①和图②的阴影部分面积，是解题的关键．
5．将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（          ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：分四种情况：
（1）添加中间项，故可添加2x或 -2x，构成完全平方式；
（2）添加左边项（视为中间项），则可添加；
（3）添加右边项（视1为中间项），则可添加，但不是单项式，故不符合题意；
（4）考虑到与1都是平方式，故可添加或-1；综上所述可以添加的单项式有2x或 -2x或或或-1；
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
6．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，7就是一个智慧数，，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（       ）．
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】根据智慧数的定义，运用平方差公式计算判断．
【详解】由题意可得：，
故A是智慧数；
，
故C是智慧数；
，
故D是智慧数．
故选B．
【点评】本题考查了新定义问题，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．计算（       ）
A． B． C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】设，，则，，换元后化简求值即可．
【详解】解：设，，则，，








，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的简便运算，根据题中所给式子的结构特征，采用换元法简化运算是解决问题的关键．
8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱邓州 D．邓州爱你
【答案】D
【解析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．
【详解】解：   
=
=3(x+1)(x−1)(a−b)，
∵a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，
∴结果呈现的密码信息可能是：邓州爱你，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式．
9．下列运算正确的是（　　）
A．a•a3＝a3 B．（﹣m）6÷（﹣m）3＝﹣m3
C．（xy2）2＝xy4 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【答案】B
【解析】用同底数幂相乘除的法则，积的乘方法则，幂的乘方的法则，判断正误．
【详解】A. ∵，∴不能选；
B.∵，∴能选；
C.∵，∴不能选；
D.∵，∴不能选．
故选B．
【点评】本题考查了同底数幂相乘除，积的乘方，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握这些运算法则．
10．已知a，b满足，且，则关于a与b的数量关系，下列说法中正确的是（       ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】将等式整理即可得出①，根据因式分解及a≠3b即可得到④．
【详解】解：∵（3−9b）（a＋b）＋9ab＝4a−a2，
∴3a＋3b−9ab−9b2＋9ab＝4a−a2
∴a2−a＝9b2−3b
∴a2−9b2＝a−3b
故①正确，
∴（a＋3b）（a−3b）＝a−3b，
∵a≠3b，
∴a−3b≠0，
∴a＋3b＝1．
故④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式及因式分解，掌握因式分解是解题关键．
11．已知，则的值为（       ）
A．60 B．50 C．40 D．10
【答案】A
【解析】将2021-x和x-2011看作整体，利用完全平方公式，即可求解．
【详解】解：，




．
故选A．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用和整体思想．
12．已知，则的值等于（       ）
A．12 B．13 C．14 D．17
【答案】D
【解析】根据x-y=3，xy=2，可求出x2+y2=（x-y）2+2xy=9+4=13，进而再求出（x+y）2的值．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，利用完全平方公式进行适当的变形．
13．已知，则的值为（       ）
A．2021 B．2022 C．4043 D．4044
【答案】C
【解析】将m＝20212+20222代入2m﹣1，再将2022写成2021+1，可得一个完全平方式即可求解．
【详解】解：∵m＝20212+20222
∴2m﹣1
＝2（20212+20222）﹣1
＝2[20212+（2021+1）2]﹣1
＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1
＝4×20212+4×2021+1
＝（2×2021+1）2
＝40432
∴
＝4043，
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的意义以及完全平方公式的应用，解题的关键是将根号里的算式化成某数的平方．
14．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（　　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】将原式变形为，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，进而得到，根据三个数均为自然数，解得，此时分类讨论a和c的值即可求解．
【详解】原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故选D．
【点评】本题考查了乘方的应用，同底数幂乘法的应用，因式分解，重点是掌握相关运算法则．
15．已知，，，则代数式的值为（     ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.
【详解】∵，，，
∴，
，
，
∴






故选D.
【点评】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.
二、填空题
16．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货和，已知和的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了 、各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把 和的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.
【答案】22
【解析】设A单价为a元，实际购买x件，B单价为b元，实际购买y元，根据题意列出方程组，将两个方程相加得到，分解因式得，由和的单价总和是100到200之间的整数得到，由此求得答案.
【详解】设A单价为a元，实际购买x件，B单价为b元，实际购买y元，
，
∴，
∴，
∵和的单价总和是100到200之间的整数，即100，
∴，
即， ，
∴x+y=22，
故答案为：22.
【点评】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据
和的单价总和确定出x+y的值.
17．已知，则代数式的值为________．
【答案】6
【解析】先把代数式进行化简得到，再把整体代入即可．
【详解】解：
＝
=
=，
将代入，
原式=，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的化简求值，熟练掌握代数式的化简，整体代入求值，是解题的关键．
18．已知（x－2 022）2＋（x－2 024）2＝18，则（x－2 023）2的值是 ________．
【答案】8
【解析】先变形为[（x-2023）+1]2+[（x-2023）-1]2=18，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．
【详解】解：∵（x-2022）2+（x-2024）2=18，
∴[（x-2023）+1]2+[（x-2023）-1]2=18，
∴（x-2023）2+2（x-2023）+1+（x-2023）2-2（x-2023）+1=18，
∴（x-2023）2=8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
19．已知，，均为正整数，则的可能值有______个．
【答案】5
【解析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则变形，利用多项式相等的条件确定出的值即可．
【详解】解：
，
，均为正整数，
，
又
，，，，．
的可能值有5个，
故答案为：5
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键．
20．下列说法：
①若，则a≥0；
②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
③过一点与已知直线平行的直线只有一条;
④若代数式2 x +|9﹣3 x |+|1﹣x |+2011的值与x 无关，则该代数式值为2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1．
正确的有____________．
【答案】②
【解析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可．
【详解】∵若，则a＞0故①错误，不合题意，
∵若|a|> |b|，
则a> b> 0或a> 0> b> -a或-a>b>0> a或0> a> b，
当a>b> 0时，则有(a+b)(a-b)> 0是正数，
当a>0>b> -a时，则有(a+b)(a- b) > 0是正数，
当-a>b>0> a时，则有(a +b)(a- b) > 0是正数，
当0>a> b时，则有(a+b)(a- b)> 0是正数，
由上可得，(a+b)(a- b)> 0是正数，故②正确，符合题意；
∵同一平面内，过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条；故③错误，不合题意；
∵若代数式2x +|9- 3x|+|1- x|+ 2011的值与x无关，则
2x+ |9- 3x|+|1-x|+ 2011 = 2x+ 9- 3x+x- 1+ 2011 = 2019
故④错误，不合题意；
∵a+b+c=0， abc< 0，
.a、b，、c中一定是一负两正，b+c= -a，
a+c= -b， a+b= -c，
不妨设a> 0， b<0， c<0，
∴
=
=-1+1+1
=1，
故⑤错误，不合题意；
故正确的有：②．
【点评】本题考查有理数的混合运算、化简绝对值，整式的乘除，平方差公式，以及平行线公理，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．
三、解答题
21．已知，，求和xy的值．
【答案】x2+y2=8；xy=2
【解析】根据，得x2+2xy+y2=12①，根据，得x2+2xy+y2=12②，由①+②可求得的值，由①-②可求得xy的值．
【详解】解：∵，，
∴，
①+②，得2x2+2y2=16，
∴，
①-②，得4xy=8，
∴．
【点评】本题考查代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和整体思想的运用是解题的关键．
22．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则，原式．
再将“”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（2）将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
(1)
解：设，
则原式，
所以；
(2)
证明：
，
设，
原式．
∵为正整数，
∴也为正整数，
∴式子的值一定是某一个整数的平方．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
23．（1）从图1-3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系是 ；


（2）尝试解决：
① 已知：，，则= ；
② 已知：，，求的值；
③ 已知：，求的值；
（3）填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记、、，已知 ．如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x、y、x+y，求xy的值 ．

【答案】（1）； ；；（三个中任写一个即可）（2）① ；②1；③13；（3）18
【解析】（1）利用图形中阴影部分的面积的两种计算方法可得到关于a，b的恒等式，
（2）①利用变形公式，再整体代入即可；②利用变形公式，再整体的代入即可；③利用变形公式，再整体的代入即可；
（3）由数字1~9的数字和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ，而各边上的四个数字的和都等于21， 可得，结合，可得，从而可得答案．
【详解】解：利用图1可得： ；
利用图2可得： ；
利用图3可得：； （写一个即可）
（2）① ，，


；
② ，，

=9-8 =1 ；
③∵，
∴ ．
∵，
∴；
（3）数字1~9的数字和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ．
∵各边上的四个数字的和都等于21，
∴21×3-45=18 ．
∴ ．即 ．
又∵每边四个数字的平方和、、满足，
且，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点评】本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟练的掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．
24．如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)上述操作能验证的等式是 ；（填写正确的序号）
①；②；③
(2)请应用这个公式完成下列各题：
①已知，，计算代数式的值．
②计算：．
【答案】(1)①
(2)①4；②5050
【解析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将4a2-b2=（2a+b）（2a-b），再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
(1)
图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2-b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
所以有a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：①；
(2)
①，
，
又，
，
即 ；
②，
，

，
原式．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
25．先化简，再求值：，其中．
【答案】；24．
【解析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再去括号，合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：


；
当时，
原式
=24．
【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟知完全平方公式和平方差公式，正确进行化简是解题关键．
26．（1）如图①，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开，分成四个全等的小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．结合图形，直接写出，， 这三个代数式之间的等量关系；
（2）若，，求的值；
（3）若，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积即可求解．
（2）根据（1）的结论求解即可求解．
（3）根据（1）的结论求解即可求解．
【详解】解：（1）根据图形可知大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积
即；
（2），，



；
（3）


．
【点评】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
27．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
(1)利用“配方法”分解因式：；
(2)19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：．请你把因式分解；
(3)若，求和的值；
(4)利用配方法求的最小值，并说明理由．
【答案】(1)（a+2）（a-6）；
(2)
(3)m=8，n=4；
(4)最小值为2
【解析】（1）多项式加上4再减去4，利用完全平方公式及平方差公式分解因式；
（2）多项式加上16x2y2再减去16x2y2，利用平方差公式分解即可；
（3）将5n2拆成4n2与n2，再利用完全平方公式分解因式求出m、n；
（4）将多项式加上2再减去2，利用完全平方公式分解因式，再根据式子的特点解答．
(1)

＝
=（a-2+4）（a-2-4）
=（a+2）（a-6）；
(2)

=
=
=
(3)
∵，
∴，

∴m-2n=0，n-4=0，
解得m=8，n=4；
(4)

=
=，
当时，有最小值为2．
【点评】此题考查了添项法或拆项法分解因式，正确理解题中分解因式的方法，添加适当的项或拆分项分解因式，以及掌握因式分解的方法是解题的关键．
28．阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”进行因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）（2）都要如题中举例，先对整式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解，注意（2）中配方时幂的指数要正确．
(1)
原式＝＝＝＝；
(2)
＝＝．
【点评】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用．