【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第07天 《勾股定理》提升训练

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第07天：勾股定理
一、单选题
1．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（       ）
A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5
【答案】C
【解析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．
【详解】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：
c2=62+82 ，
则 c=10 ，
直角三角形面积 S=×6×8=×c×h ，
可得 h=4.8 ，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．
2．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据圆柱的侧面展开可得AC=12cm，由PC=5BP求得PC，再利用勾股定理求得AP即可；
【详解】解：沿点A所在圆柱的高将圆柱展开可得：
∵BC=6cm，PC=5BP，
∴6BP=6cm
∴PC=5cm，
∵圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，
∴AC=底面周长=12cm，
∴A点到P点的最短距离为线段AP的长，
Rt△ACP中，AP=cm
故选： D．

【点评】本题考查了圆柱侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理，掌握圆柱的侧面展开特征是解题关键．
3．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（       ）

A．5 B．3 C．5 D．2
【答案】D
【解析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根据，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：
∵AB2+AC2=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴
∴，
∴AD=2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的的逆应用，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC=90°是解题的关键．
4．如图，在中，，，，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（       ）


A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
【详解】解：作AC的中点D，连接OD、BD，


∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD==，OD=AD=AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为．
故选：C．
【点评】本题考查了最短路径问题，勾股定理，以及三角形的三边关系，解题的关键是能够理解在什么情况下，点B到原点O的距离最大．
5．如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）

A． B．4 C．3 D．
【答案】A
【解析】连接CF，利用垂直平分线性质可得，证明，得到，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接CF，则，如图：

∵，∴，
在和中，

∴，
∴，
∵AD=5，
∴DF=AD-AF=2，
∵，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查垂直平分线，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是证明．
6．如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先根据勾股定理求出OA的长度，再分类讨论，，，算出P点坐标即可判断．
【详解】



如图，
点A的坐标是
根据勾股定理可得
①若 ，可得
②若 ，可得
③若 ，可得或
所以，点的坐标不可能是
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握知识点并能够运用分类讨论的思想是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（，），B点坐标（，），动点P从A点出发，沿轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（     ）


A．（7，0） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）
【答案】B
【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，证明△PDB≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出DP＝BF，BD＝CF＝3，由勾股定理求出OE的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，


∵B（3，-3），A（6，0），
∴OD＝DA＝BD＝3，
∵△PBC为等腰直角三角形，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∵∠PBD＋∠CBF＝90°，∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠PBD＝∠BCF，
∴△PDB≌△BFC（AAS），
∴DP＝BF，BD＝CF＝3，
∴CE＝EF＋CF＝6，
∵OC＝10，
∴，
∴DF=8，   
∴BF=5，
∴DP=5，
∴OP=DP+OD=8，
∴P(8，0)，
故选：B．
【点评】本考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，中，，三条高AD，BE，CF交于点G，已知，，则CG长为（       ）


A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】证明为等腰直角三角形，求出AE，证明为等腰直角三角形，求出AC，进一步求出CE，证明为等腰直角三角形，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的高，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出CE，再利用为等腰直角三角形求解CG．
9．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（       ）m．


A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
【答案】C
【解析】先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可得出结论．
【详解】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC＝（m）．
∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）．
故选：C．

【点评】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．
10．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（       ）（取3）

A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm
【答案】A
【解析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】解：展开圆柱的侧面如图，

根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
由题意，得AC=3×16÷2=24，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
cm．
∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，
∴最短路径长为60cm.
故选：A．
【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．
11．如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，等腰Rt△ACE的底边AC=m，等腰△BDF的底边BD=n，腰FB=FD=n，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则m，n满足（       ）


A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n
【答案】A
【解析】过点F作FH⊥AD于点H．过点E作EG⊥AD于G，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出EG和FH，然后设BC=x，分别表示出△CDE与△ABF的面积，再将二者相减得到关于x的代数式，因为x变化时，S不变，所以x的系数为0，则可得到m与n的关系式．
【详解】解：过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G，


∵△ACE是等腰直角三角形，AC=m，
∴EG=AC=，
∵BD=n，FB=FD=n，FH⊥AD，
∴BH=BD=，
在Rt△BHF中，
FH=，
设BC=x，
则S△ABF=AB•FH=（m-x）×n，S△CDE=CD•EG=（n-x）×，
∴S△CDE-S△ABF=（n-x）×-（m-x）×n
=（-）x-，
∵当BC的长度变化时，S始终保持不变，
∴-=0，
∴m=n，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键．
12．如图，已知长方形纸板的边长，，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为（       ）

A．6 B． C． D．
【答案】A
【解析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB=，证明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解．
【详解】解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，
设AC=b，BC=a，则AB=，


∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形，
∴AB=BJ，∠ABJ=90°，
∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=∠JBP，
∵∠ACB=∠BPJ=90°，
∴△ABC≌△BJK（AAS），
同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，
∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，
∵DE=10，EF=11，
∴2b+a=10，2a+b=11，
∴a+b=7，
∴a2+b2=49-2ab，
∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和，
∴10×11=3ab+ab×4+a2+b2+()2，
整理得：5ab+2(a2+b2)=110，
把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，
∴ab=12，
∴△ABC的面积为ab=6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形．
13．如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（       ）

A．3 B． C． D．6
【答案】C
【解析】根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原理计算即可．
【详解】如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，
∴点N在线段BP上运动，
∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，
∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，
∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，
作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，

连接BE，ED，
∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∵BC=6，
∴BE=3，CE=，
∴DN+CN最小值为，
故选C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，将军饮马河原理，直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定和将军饮马河原理是解题的关键．
14．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角（）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，PA∥y轴交x轴于A，作GM∥x轴交PA的延长线于M，PN⊥MG交MG于N，连接PG．根据题意得到PA＝2，OA＝1，MG＝8－1＝7， AM＝3，再根据勾股定理求出MN的值，即可再根据勾股定理得到线段PG的长度．
【详解】如图，PA∥y轴交x轴于A，作GM∥x轴交PA的延长线于M，PN⊥MG交MG于N，连接PG．

由题意可知，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，
∴PA＝2，OA＝1，MG＝8－1＝7， AM＝3，
∴PM＝2＋3＝5，
∵PA∥y轴，GM∥x轴
∴∠PMN＝∠1＝∠ROA＝，
又∵PN⊥MG
∴，
∴，即，
解得或（舍去）
∴
∴
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，理解题意，找准线段的长是解题的关键．
15．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（       ）．

A．4 B．6 C．2 D．2
【答案】A
【解析】过点E作于F，设，运用等腰直角三角形将其它各未知线段用表示；延长AD与BC的延长线交于点G，依据ASA判定△ABD≌△GBD，依据全等的性质求得DG=AD=2，，继而得到AG=4，；接着在直角△ACG中，运用勾股定理列出关于的方程，解出代入到中即可.
【详解】解：延长AD与BC的延长线交于点G，过点E作于F，       

易得是等腰直角三角形，
∴
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，,
∴EF=EC,,
∴
设
则，，
∵AD⊥BE,
∴,
∵在△ABD和△GBD中，

∴△ABD≌△GBD（ASA）
∴DG=AD=2,
∴AG=4,
∵在直角△ACG中，ACG=90°，，AG=4，，
∴
∴
∴=4.
故选：A.
【点评】本题考查了等腰直角三角形三边关系、运用全等构造等腰三角形和勾股定理的综合问题，设立未知数表示各未知线段、根据图形特征作辅助线构造熟悉图形、并根据勾股定理建立起各未知量之间的等式是解题的关键.
二、填空题
16．中，，，，折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，当点由向连续移动过程中，点经过的路径长记为，则________，________．

【答案】         
【解析】过B作BM⊥AC，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质求出BM，再利用勾股定理求出BC的长度，分三段分别求出点E的运动路径长度，再相加即可．
【详解】解：过B作BM⊥AC，垂足为M，如图1，

∵∠A=45°，AB=，
∴BM=AM=，
∵，
∴，
∴；
①∵由折叠可知：EF垂直平分CD，
当D与B重合时，此时最小，
如图2，作E1G⊥AB，垂足为G，连接E1B，

设，
，
，，
垂直平分 CB，
，
∴在 中，，
即，
解得：（负值舍去），
∴；
②，
∴当AE最大时，EC最短，
∴ED最短，
∴当ED⊥AB时，ED为垂线段，取最小值，
∴如图3，作，垂足为，

设，则，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴E从最近到最远走了；
③当D从点继续向A移动，ED增加，
∴AE减小，
∴当D与A重合时，如图4，

此时，
∴，
∴E从到运动了，
∴点E从运动到，再运动到，
路径长为，
故答案为：；．
【点评】本题考查了折叠问题，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，根据点D运动的情况分别得出点E相应的运动情况，逐步求解．
17．已知在△ABC中，AB= 8，BC =5，∠A=30°，则△ABC的面积是_______．
【答案】##或
【解析】过点B作于点D，分高在三角形内部或者外部两种情形，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】
过点B作于点D
①当高BD在外部时，
在中，，AB= 8，∠A=30°

由勾股定理得
在中，BC =5
由勾股定理得


②当高BD在内部时，
在中，，AB= 8，∠A=30°

由勾股定理得
在中， =5
由勾股定理得


综上，△ABC的面积是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想思考问题．
18．如图，在△ABD中，点C为BD边中点，连接AC，点E在AC上，连接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝，∠BAC＝2∠EBC，BC＝，则AD的长为_____．

【答案】
【解析】作辅助线AF⊥BC，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，求出AB、AC、CE、BE的值，再利用勾股定理求出AF的值和AD的值，即可解决本题．
【详解】作AF⊥BC于点F，

∵AB＝AC，
∴AF平分∠BAC，BF＝CF，
∴∠CAF＝∠BAC，
即2∠CAF＝∠BAC，
∵∠BAC＝2∠EBC，
∴∠CAF＝∠EBC，
∵∠CAF+∠ACF＝90°，
∴∠EBC+∠ACF＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵tan∠BAC＝，
∴设BE＝3x，则AE＝4x，
∴AB＝，
∴AC＝5x，
∴CE＝x，
∵BC＝，BE＝3x，CE＝x，
∴10＝（3x）2+x2，
解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴AC＝5x＝5，
∵∠AFC＝90°，BF＝BC＝，
∴AF＝，
∵点C为BD的中点，
∴FD＝，
∵∠AFD＝90°，
∴AD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质与勾股定理，熟练掌握并应用勾股定理是解答本题的关键．
19．如图，A点坐标为，C点坐标为(0，1)，将△OAC沿AC翻折得到△APC，则P点坐标为_________．

【答案】
【解析】过点P作PG⊥x轴于点G，根据折叠的性质可得：∠PAO=60°，∠GPA=30°，AP=，进而即可求解．
【详解】如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，

∵OA= ，OC=1，
∴AC= ，
∴，
∴∠CAO=30°，
∵△AOC沿AC翻折得到△APC，
∴∠CAO=∠PAC，
∴∠PAO=60°，∠GPA=30°，AP=，
∴AG=AP=，
∴OG=AO-AG=-=，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查折叠的性质、含30°角的直角三角形及勾股定理，熟练掌握含30°角的直角三角形及勾股定理是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．

【答案】+24
【解析】连结BD，然后根据勾股定理求得BD的值和△BAD的面积，再根据勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面积，从而得到四边形ABCD的面积．
【详解】解：如图，连结BD，


∵∠BAD=90°，
∴，
∵， ，
∴BD=6，
∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴S△ABD=，S△BDC=，
∴四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24
故答案为： +24．
【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出△ABC的面积为 ．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）求出△ABC为等腰直角三角形，即可得到其面积．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示：


（2）由网格可知：，，，
∴，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴△ABC的面积为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了作轴对称图形，勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）

【答案】(12-)m
【解析】利用勾股定理求出AB，AD，进而得到BD的长即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=，
∵，
∴AD=，
∴BD=AB-AD=(12-)m．
【点评】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形是解题的关键．
23．如图，四边形是果农王大爷家的果园平面图，王大爷准备沿将果园分为和两个区域，分别种植两种不同的果树．经测量，，米，米，米，求区域的面积．

【答案】3000平方米；
【解析】过点B作BE⊥AC于E，Rt△ACD中勾股定理可得AD，由等腰三角形三线合一的性质可得AE，Rt△ABE中由勾股定理可得BE，进而可得△ABC面积；
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，
Rt△ACD中，∠ACD=90°，AD=100米，CD=60米，
∴AC=米，
△BCA中，BA=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC=AC=40米，
Rt△ABE中，BE=米，
∴△ABC面积=AC•BE=×80×75=3000(平方米)；

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式的性质等知识；结合平方差公式计算求值是解题关键．
24．已知：△ABC中，AB=BC，D在AB上，E在AC上，AD=CE，∠FEA+∠FDA=180°．


(1)如图1，求证：△ABC是等边三角形；
(2)如图2，DG⊥BE于G，直接写出∠FDG的度数 ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CG，若G在CD的垂直平分线上，AG=，求△BGD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)30°
(3)3
【解析】（1）根据∠FEA+∠FDA=180°，可得∠ADC=∠BEC，再由AB=BC，可得∠A=∠ACB，可证得△ACD≌△CBE，进而得到AC=BC，即可求证；
（2）根据△ACD≌△CBE，可得∠ACD=∠CBE，再由三角形外角的的性质可得∠DFG=∠CBE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=60°，即可求解；
（3）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，可得∠MGN=120°，再由G在CD的垂直平分线上，可得CG=DG，从而得到∠DGC=120°，可证得△DGM≌△CGN，从而得到∠GAM=∠GAN=30°，进而得到，再证明△AGB≌△AGC，可得△BGD是等腰直角三角形，即可求解．
(1)
证明：∵∠FEA+∠FDA=180°，∠FEA+∠BEC=180°，
∴∠ADC=∠BEC，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∵AD=CE，
∴△ACD≌△CBE，
∴AC=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
(2)
解：由（1）得：△ACD≌△CBE，
∴∠ACD=∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DFG=∠CBE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=60°，
∵DG⊥BE，即∠DGE=90°，
∴∠FDG=30°；
故答案为：30°


(3)
解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，


∵∠BAC=60°，∠AMG=∠ANG=90°，
∴∠MGN=120°，
∵G在CD的垂直平分线上，
∴CG=DG，
∴∠DCG=∠CDG=30°，
∴∠DGC=120°，
∴∠MGN=∠DGC，
∴∠DGM=∠CGN，
∴△DGM≌△CGN，
∴∠GAM=∠GAN=30°，
∵AG=，
∴，
∵AB=AC，AG=AG，
∴△AGB≌△AGC，
∴BG=CG，
∴BG=DG，
∵DG⊥BE，即∠BGD=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠DBG=∠BDG=45°，
∵MG⊥BD，
∴△DMG和△BMG均为等腰直角三角形，
∴，
∴△BGD的面积为．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点P是边AC上的动点（点P与点A不重合），D是边AB上的动点，且PA=PD，ED⊥DP，交边BC于点E．


(1)求证：BE=DE；
(2)若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
(3)延长ED交CA的延长线于点F，连接BP，若△BDP与△DAF全等，求线段PE的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)
【解析】（1）利用等角的余角相等证明，从而证明；
（2）过作于，在中计算，从而得出的长，；
（3）由全等推出是顶角为的等腰三角形，从而推出是的中点，与重合，计算此时的长度即可．
(1)
证明：，
，
，
又，
，
，
，
，
．
(2)
如图1，过点作于，
在中，，，，
，，．
，，
，
在中，，
，，
，
，
，，
是等边三角形，

当点与点重合时，，即，解得；
当点与点重合时，，即，解得．
点与点不重合，．
；


(3)
如图2，延长交的延长线于点，连接，．
则，
，
是顶角为的等腰三角形，
与全等，，
，
，
，点与点重合，
，，即，．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的应用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
26．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．


(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；
(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
【答案】(1)9；
(2)存在，CF=DG，证明见解析；
(3)．
【解析】（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长；
（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG；
（3）求出，，利用，即可求出．
(1)
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，
∴，∠A=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∴∠ADC=90°，
∴，
∴△DEF的周长为9；
(2)
解：结论：CF=DG.
理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，
∴，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∵∠DEF=∠B+∠EGB，
∴∠B=∠EGB=∠DGE=30°，
∴EG=BE，
∵EG+DG=CF+BE=3，
∴CF=DG；
(3)
解：∵，，
∴，即．
【点评】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AC﹣CB﹣BA运动，到点A停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在边的垂线，交△ABC的另一边于点Q．设点P的运动时间为t秒．


(1)边AC的长为 　 　．
(2)当点P在△ABC的直角边上运动时，求点P到边AB的距离．（用含t的代数式表示）
(3)当点Q在△ABC的直角边上时，若PQ＝，求t的值．
(4)当△APQ的一个顶点到△ABC的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出t的值．
【答案】(1)4
(2)t或﹣t+
(3)5或
(4)或或4或5
【解析】（1）由勾股定理即可得出AC的长；
（2）设点P到边AB的距离为h，分两种情况：①当点P在AC边上运动时，②当点P在BC边上运动时，由锐角三角函数定义分别求解即可；
（3）分两种情况：①当点Q在AC边．上时，②当点Q在BC边上时，由锐角三角函数定义分别表示出PQ，列出方程，求解即可；
（4）分情况讨论：①P在AC上，P到AB的距离=P到BC的距离，②P在BC上，P到AB的距离=P到AC的距离，③P在AB上，Q到AB的距离=Q到AC的距离，④P在AB上，Q到AB的距离=Q到BC的距离，分别求出t的值即可．
(1)
解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
(2)
解：设点P到边AB的距离为h．
①当点P在AC边上运动时，过P作PH⊥AB于H，如图1所示：


∵sinA＝＝＝，AP＝2t，
∴PH＝；
②当点P在BC边上运动时，过P作PH⊥AB于H，如图2所示：


∵sinB＝＝＝，PB＝7﹣2t，
∴PH＝；
综上所述，点P到边AB的距离为t或﹣t+；
(3)
解：tanA＝＝，tanB＝＝，
①当点Q在AC边上时，AP＝12﹣2t，如图3所示：


则PQ＝＝AP•tanA，
即，
解得：t＝5．
②当点Q在BC边上时，BP＝2t﹣7，如图4所示：


则PQ＝＝BP•tanB，则，
解得：；
综上所述，若PQ＝，t的值为5或；
(4)
解：分情况讨论：
①P在AC上，P到AB的距离＝P到BC的距离，
过P作PM⊥AB于M，如图5所示：


则PM＝PC，
由（2）得：PM＝t，
∵PC＝AC﹣AP＝4﹣2t，
∴t＝4﹣2t，
解得：t＝；
②P在BC上，P到AB的距离＝P到AC的距离，
过P作PM⊥AB于M，如图6所示：


则PM＝PC，
由（2）得：PM＝﹣t+，
∵PC＝2t﹣4，
∴﹣t+＝2t﹣4，
解得：t＝；
③P在AB上，Q到AB的距离＝Q到AC的距离，如图7所示：


则QP＝QC，
∵QP⊥AB，
∴∠APQ＝90°＝∠ACP，
∵AQ＝AQ，
∴Rt△APQ≌Rt△ACQ（HL），
∴AP＝AC，
即12﹣2t＝4，
解得：t＝4；
④P在AB上，Q到AB的距离＝Q到BC的距离，如图8所示：


则PQ＝CQ，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ACB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：PQ＝9﹣t，AQ＝15﹣t，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣（15﹣t）＝t﹣11，
∴9﹣t＝t﹣11，
解得：t＝5；
综上所述，当△APQ的一个顶点到△ABC的斜边和一条直角边的距离相等时，t的值为或或4或5．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．
28．如图，在中，，，点在边上．

(1)如图1，，，交于点，求证：；
(2)如图2，平分，的面积为．
①直接写出的长；
②，是的三等分线上的点，，当的值最小时，直接写出的度数和的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①8；②8
【解析】（1）过点E作EF⊥AC于点F，证明△AEF≌△DAC (AAS)，根据全等三角形的性质得EF=AC，AF=DC，推出CF=BD，再证△BCM≌△EFM ( AAS)，根据全等三角形的性质得CM=FM= CF，可得CF= 2CM，即BD=2CM；
（2）①过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得DC=DE，由等腰直角三角形的性质得DE=BE，利用S△ABC=求出BC，设CD=x，则DE=BE=x，则BD=，根据勾股定理可得CD=，即可得AD的长；②当B，P，Q三点共线时，BQ+BP的值最小，此时，延长BP，AC交于点F，作∠BA C的平分线AD交BC于点D，证明△APF≌△AQB ( ASA) ，则AB=AF，PF=BQ，求出∠ABP=∠F=67.5°，则∠ADC=∠BFC，再证△ACD≌△BCF(AAS) ，可得BF=AD=8，即可得BQ+BP=PF+BP=BF=8．
(1)
证明：过点作于点，

，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
(2)
解：①过点作于点，

，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即，
，
，
；
②、是的三等分线，
，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，
此时，延长，交于点，作的平分线交于点，

，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
，的最小值为8．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，利用全等三角形的判定和性质是解本题的关键．